Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ 1 0 . Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ ( ) x f t x = , , (1) состоит в отыскании решения ( ) x x t = , удовлетворяющего началь- ным условиям 0 0 ( ) = x t x . (2) В задаче (1)–(2) введены обозначения: { } 1 , , = m x x x … , ( ) ( ) ( ) { } 1 , , , = , , m f t x f t x f t x … , где верхние индексы – номера коор- динат вектора, а вектор-функция ( ) f t x , задана в области G ( ) 1 m + − мерного пространства переменных ( ) t x , . Далее также бу- дем использовать норму вектора max i i y y = и норму вектор- функции 1,..., [ ; ] ( , ) max max ( , ) = ∈ = i i m t a b f t x f t x Предположим, что выполнены следующие условия. (У1) Пусть ( ) f t x , определена и непрерывна в замкнутом ( ) 1 m + -мерном параллелепипеде { } 0 0 | | , | | i i i D t t a x x b = − ≤ − ≤ , 1,2,..., i m = т.е. существует постоянная M такая, что ( ) f t x M , ≤ в D . (У2) Пусть ( ) f t x , удовлетворяет условию Липшица, т.е. су- ществует постоянная 0 N > , не зависящая от i такая, что всюду в замкнутом параллелепипеде D для всех 1,2,..., i m = выполнено не- равенство ( ) ( ) 1 , , | | = − ≤ ⋅ − ∑ m i i j j j f t y f t z N y z Глава 2 68 Замечание 1 . Условие (У2) будет выполнено, в частности, если все частные производные ( ) i j f t x x ∂ , ∂ непрерывны в D . Замечание 2 . Так же, как и для скалярного случая, имеет место следующее утверждение: Лемма 1 .Пусть вектор-функция ( ) f t x , удовлетворяет (У1) в D . Тогда задача Коши для системы (1) эквивалентна интегральному уравнению ( ) ( ) ( ) 0 0 τ τ τ = + , ∫ t t x t x f x d (3) в классе непрерывных функций. Доказательство практически дословно повторяет доказательство аналогичной леммы из §2. Теорема 1 .Пусть выполнены условия (У1) и (У2). Тогда решение задачи (1)–(2) существует и единственно на отрезке [ ] 0 0 ; t H t H − + Доказательство можно провести с помощью метода последова- тельных приближений аналогично доказательству Теоремы 1 в §2 для скалярного случая. Здесь мы докажем эту теорему с помощью принципа сжимающих отображений, который подробно рассмотрен в курсе «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление» (см. [5]). 2 0 . Принцип сжимающих отображений Напомним основные понятия, следуя указанному выше курсу лекций. Пусть задан, вообще говоря, нелинейный оператор ˆ Φ с множеством определения D , лежащем в банаховом пространстве B . Определение 1 . Элемент (точка) y B ∈ называется неподвиж- ной точкой оператора ˆ Φ , если ˆ ( ) y y Φ = . Определение 2 . Оператор ˆ Φ называется сжимающим (или сжимающим отображением) на множестве D , если существует по- Уравнения первого порядка 69 стоянная (0;1] q ∈ такая, что для любых элементов 1 2 , y y D ∈ вы- полняется неравенство 1 2 1 2 ˆ ˆ ( ) ( ) y y q y y Φ − Φ ≤ ⋅ − Следующая теорема является незначительной модификацией теоремы о неподвижной точке, доказанной в курсе лекций по инте- гральным уравнениям, например, в §9 (лекция 6) из учебника [5]. Теорема 2 (о неподвижной точке). Пусть оператор ˆ Φ ото- бражает замкнутое подмножество D банахова пространства B в се- бя и является сжимающим в D . Тогда: 1) в D существует единственная неподвижная точка ˆ : ( ) y y y Φ = оператора ˆΦ ; 2) эта точка может быть найдена методом последовательных приближений 1 ˆ ( ) + = Φ n n y y , где 0 y D ∈ – произвольная фиксиро- ванная точка, и ˆ : ( ) →∞ → = Φ n n y y y y . 3 0 . Доказательство Теоремы 1 Определим оператор ˆ ( ) Φ x , действующий в пространстве не- прерывных векторных функций ( ) 0 0 ˆ ( ) , ( ) τ τ τ Φ = + ∫ t t x x f x d (4) Теперь задачу решения интегрального уравнения (3) можно рассматривать как задачу нахождения неподвижной точки оператора ˆ ( ) x Φ Обозначим min min , i i b H a M ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ . Аналогично тому, как было сделано в §2, можно показать, что если решение задачи (1)–(2) су- ществует, то интегральная кривая находится в параллепипеде { } 0 0 | | , | | , 1,2,..., i i H i D t t H x x b i m = − ≤ − ≤ = . Таким образом, опера- тор ˆ ( ) x Φ действует на множестве непрерывных функций, графики которых лежат в замкнутом параллелепипеде H D . Покажем, что если H достаточно мало, то оператор ˆ ( ) Φ x является сжимающим. Действительно, для любых , H x y D ∈ имеем: Глава 2 70 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1,..., [ ; ] ˆ ˆ ( ) ( ) max max , ( ) , ( ) = ∈ − + Φ − Φ = = ⎡ ⎤ = − ≤ ⎣ ⎦ ∫ см определение нормы t i i i m t t H t H t x y f s x s f s y s ds ( ) ( ) 0 0 0 0 ( , . ( 2)) 1,..., [ ; ] [ ; ] 1 max max , ( ) , ( ) max ( ) ( ) = ∈ − + ∈ − + = ≤ ⋅ − ≤ ≤ ≤ ⋅ ⋅ − ≤ ∑ i i условие Липшица см У i m t t H t H n j j t t H t H j H f t x t f t y t H N x t y t 0 0 ( ) 1,..., [ ; ] max max ( ) ( ) = ∈ − + ≤ ⋅ ⋅ ⋅ − = = j j см определениенормы j n t t H t H H N n x t y t , = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − H N n x y H K x y откуда следует, что при 1 H K ⋅ < оператор ˆΦ является сжимающим в H D . Согласно принципу сжимающих отображений, оператор ˆ Φ имеет единственную неподвижную точку H y D ∈ . Это означает, что интегральное уравнение (3), а следовательно, и задача (1)–(2), имеет единственное решение на отрезке [ ] 0 0 ; t H t H − + В случае 1 H K ⋅ ≥ результат теоремы получается путем при- менения процедуры продолжения решения аналогично тому, как было сделано для скалярного уравнения (см. §2). Теорема 1 доказана. 4 0 . Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть непрерывна и удовлетво- ряет условию Липшица в полосе Теорема 3 Если вектор-функция ( ) f t x , непрерывна и удовлетворяет условию Липшица в полосе { } 0 m t t a Π = ≤ ≤ ×ℜ , то- гда для любой точки ( ) 0 0 , t x ∈Π существует единственное решение ( ) x t задачи (1)–(2) на отрезке 0 t t a ≤ ≤ . Доказательство данной теоремы, так же как и в скалярном случае, лишь незначительно отличается от доказательства Теоремы 1. Аналогично Теореме 2 из §3 по изложенной выше схеме мож- но получить следующий результат, который потребуется нам при рассмотрении нелинейных краевых задач. Уравнения первого порядка 71 Теорема 4 Пусть функции ( ) 1 2 , , ,..., μ μ μ , i n f t y непрерывны и удовлетворяют условию Липшица в полосе { } 0 0 , i t t t a y R ≤ ≤ + ∈ при 0 i i i C μ μ − ≤ . Тогда решение задачи (1) существует, единственно и непрерывно зависит от параметров 1 2 , , ... , n μ μ μ при 0 0 t t t a ≤ ≤ + , 0 i i i C μ μ − ≤ . § 6. Уравнения n-го порядка, разрешенные относительно старшей производной Задача Коши в этом случае выглядит так ( ) ( ) ( 1) , , ,..., , − ′ ′′ = , n n i y f x y y y y 0 0 1 0 0 2 ( 1) 0 0 1 ( ) , ( ) , ( ) − − = ′ = = n n y x y y x y y x y (1) Путем замены ( 1) 1 2 , ,..., − ′ = = = n n y y y y y y данная задача сводится к задаче Коши для нормальной системы ОДУ 1 2 2 3 0 0 1 1 2 , , ( ) , 1,2,..., , ( , , ,..., ), − ′ = ⎧ ⎪ ′ = ⎪⎪ = = ⎨ ⎪ ′ = ⎪ ′ = ⎪⎩ i i n n n n y y y y y x y i n y y y f x y y y Очевидно, что функции в правых частях уравнений 1 , 1,2,..., 1 i i f y i n + = = − непрерывны и удовлетворяют условию Липшица, и для применения к системе теоремы существования и единственности достаточно потребовать, чтобы функция ( ) 1 2 , ,..., , n f x y y y в последнем уравнении также была непрерывна в параллелепипеде { } 0 0 , , 1,2,..., = ≤ ≤ − ≤ = i i i D x a y y b i n и удов- летворяла условию Липшица по переменным i y , т. е. ( ) ( ) 1 2 1 2 1 , ,..., , ,..., | | = , − , ≤ ⋅ − ∑ n n n i i i f x y y y f x y y y N y y . Глава 2 72 Из Теоремы 1 §5 вытекает следующий результат: Теорема 5 . Пусть функция ( ) 1 2 , ,..., n f x y y y , непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменным i y в параллеле- пипеде { } 0 0 , , 1,2,..., i i i D x a y y b i n = ≤ ≤ − ≤ = Тогда задача (1) имеет единственное решение на отрезке 0 0 [ , ] x x H + , где 1 min , min ≤ ≤ ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ i i n b H a M , ( ) 1 2 max , ,..., n D M f x y y y = , § 7. Замечания, примеры, упражнения Замечание 1 . Можно доказать разрешимость задачи Коши лишь при выполнении (У1), т.е. ( ) ( ) f t x C D , ∈ (теорема Пеано). Однако в этом случае решение не обязательно единственно. Замечание 2 . Метод последовательных приближений Пикара обес- печивает существование решения ( ) x t ϕ = задачи Коши (1)–(2) на некотором отрезке [ ] 0 0 , t H t H − + , т.е. Теорема 1 носит локальный характер. Замечание 3 . Возможность продолжения решения. Рассмотрим решение (1) ( ) 1 x t ϕ = (простроенное методом Пи- кара), с начальными значениями 1 0 t t H = + , ( ) ( ) 1 1 0 1 t t H x ϕ ϕ = + = . Это решение существует на некотором отрезке [ ] 1 1 1 1 , t H t H − + Возьмем функцию ( ) x t ψ = , определенную на отрезке [ ] 0 1 1 , t H t H − + : ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 0 0 1 0 1 1 , , , , , t t t H t H t t t t H t H ϕ ψ ϕ ⎧ ∈ − + ⎪ = ⎨ ∈ − + ⎪⎩ Очевидно, что ( ) x t ψ = будет решением задачи Коши (1)–(2), т.е. мы получили продолжение решения ( ) x t ϕ = с отрезка [ ] 0 0 , t H t H − + на больший отрезок [ ] 0 1 1 , t H t H − + Уравнения первого порядка 73 Далее, построив решение (1) ( ) 2 x t ϕ = с начальными условия- ми 2 1 1 t t H = + : ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 t t H x ϕ ϕ = + = , получим продолжение реше- ния на еще больший отрезок [ ] 0 2 2 , t H t H − + и т.д. Аналогично мож- но строить продолжение в сторону убывания t. В результате такого процесса будет построено решение задачи Коши (1), (2), определенное на некотором максимальном интервале ( ) , a b и такое, что любое его продолжение совпадает с ним самим. Такое решение называется непродолжаемым. Замечание 4 Метод последовательных приближений Пикара яв- ляется хорошим приближенным методом решения задачи Коши. По- сле n итераций получается приближенное решение ( ) n x t , тем более точное, чем больше n. Пример . Методом последовательных приближений найдем решение задачи Коши для однородной системы линейных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами: , = dx Ax dt ( ) 0 0 x t x = . Последовательные приближения в этом случае будут иметь вид: ( ) 0 0 x t x = , ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 τ τ τ = + = + = + − ∫ ∫ t t t t x t x Ax d x Ax d x t t Ax , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 2 0 1 0 0 0 0 2 τ τ − = + = + − + ∫ t t t t x t x Ax d x t t Ax A x , …………………………………………………………… ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ! ! = = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ k k n n k k n k k t t t t x t A x A x k k , 0 A E = . Поскольку для систем линейных уравнений последовательные приближения сходятся равномерно на любом отрезке [ ] , t a b ∈ , где правая часть системы непрерывна по t, в данном случае правая часть от t не зависит, то построенная выше функциональная последова- тельность сходится к решению задачи Коши при всех значениях t. Глава 2 74 Обозначим ( ) ( ) 0 0 ! = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ k n k n k t t A B t k , тогда ( ) ( ) 0 = n n x t B t x . Полагая { } 1 2 0 , , , 1,2, δ δ δ = ≡ = m i i i i x e i m … … , получим, что существу- ет ( ) ( ) lim , , 1,2 →∞ = j n i n B t i j m … . Предел такой матричной последова- тельности называют матричной экспонентой и обозначают ( ) ( ) 0 0 0 ! ∞ − = − = ∑ k A t t k k t t e A k Теперь решение задачи Коши можно записать в виде ( ) ( ) 0 0 − = A t t x t e x . Ряд для матричной экспоненты быстро сходится, что дает хороший приближенный метод решения задачи Коши для од- нородной линейной системы ОДУ с постоянной матрицей. Прибли- женно матричную экспоненту можно вычислить по формуле ( ) ( ) 0 0 0 ! − = − ≈ ∑ k n A t t k k t t e A k Упражнение 1 . Покажите, что если 1 1 2 0 0 J λ λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то 1 1 2 0 0 λ λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ t J t t e e e Упражнение 2 . Покажите, что если 2 1 0 J λ λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то 2 0 t t J t t e te e e λ λ λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Упражнение 3 . Покажите, что если 3 J α β β α − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то 3 cos sin sin cos J t t t t e e t t α β β β β − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Замечание 5 . В приложениях часто встречаются линейные однород- ные дифференциальные уравнения вида ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 a t x a t x a t x + + = Уравнения первого порядка 75 с аналитическими коэффициентами, у которых ( ) 0 0 0 a t = . Такая точка 0 t называется особой точкой уравнения, поскольку в ее окре- стности уравнение нельзя разрешить относительно старшей произ- водной. В этом случае, решения представимого в виде степенного ряда может не существовать, но могут существовать решения, пред- ставимые в виде обобщенных степенных рядов ( ) 0 0 ( ) ∞ + = = − ∑ r k k k x t c t t , где r – некоторое (не обязательно целое) число. Упражнение 4 (сложное). Найдите решение уравнения 2 2 1 0 4 t x t x ⎛ ⎞ + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ в виде обобщенного степенного ряда ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 0 ∞ + = = − ≠ ∑ r k k k x t c t t c Ответ: ( ) ( ) 2 0 2 2 0 1 ( ) 2 ! ∞ = − = ∑ m m m m t x t c t m . Убедитесь, что этот ряд сходит- ся при 0 t ≥ Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Используя теорему о существовании и единственности реше- ния задачи Коши выясните, могут ли графики двух различных решений уравнения 2 y x y ′′ = + а) пересекаться в какой-либо точке 0 0 ( , ) x y плоскости xOy ; б) касаться в какой-либо точке 0 0 ( , ) x y плоскости xOy . 2. Используя теорему о существовании и единственности реше- ния задачи Коши (теорема 1 §6) выясните, могут ли графики двух различных решений уравнения 2 y x y ′′′ = + а) пересекаться в какой-либо точке 0 0 ( , ) x y плоскости xOy ; б) касаться в какой-либо точке 0 0 ( , ) x y плоскости xOy . Глава 3 76 Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА Лекция 7 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) ( 1) 1 ( ) ( ) ( ) − ≡ + + + = n n n Ly y a x y a x y f x (1) при условии, что все функции ( ), 1, 2,..., i a x i n = , а также ( ) f x непрерывны на множестве X , где X – некоторое подмножество числовой прямой, например, отрезок, интервал, полупрямая или вся числовая прямая. |