Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 6. Примеры задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями Пример 1 (нормальное размножение). Пусть x – количество особей в некоторой биологической популяции (например, количество рыб в пруду). При нормальных условиях – достаток пищи, отсутствие хищников и болезней – скорость размножения пропорциональна числу особей, т.е. биосистема описывается уравнением , 0 x kx k = > . Решение с начальным условием 0 0 ( ) x t x = имеет вид ( ) 0 0 ( ) − = k t t x t x e (рис. 1). Рис. 1 Пример 2 (радиоактивный распад). Пусть x – количество радиоак- тивного вещества. Тогда скорость распада будет пропорциональна количеству этого вещества: , 0 x kx k = < . Глава 1 22 Как и в примере 1, решением с начальным условием 0 0 ( ) = x t x будет функция ( ) 0 0 ( ) − = k t t x t x e (рис. 2). Время T , необходимое для умень- шения количества радиоактивного вещества вдвое, называется пе- риодом полураспада и определяется из уравнения 1 2 = kT e , т.е. ln 2 T k = − . Для радия-226 он составляет 1620 лет, для урана-238 – 9 4,5 10 ⋅ лет. Рис. 2 Пример 3 (взрыв). В физико-химических задачах часто встречается ситуация, когда скорость реакции пропорциональна концентрации обоих реагентов. В задачах динамики популяций в некоторых случа- ях скорость прироста также пропорциональна не количеству особей, а количеству пар, т.е. 2 , 0 x kx k = > . В данном случае рост решения происходит гораздо быстрее экспоненциального, и величина ( ) x t неограниченно возрастает за конечное время: интегральная кривая решения с начальным услови- ем 0 (0) 0 x x = ≠ описывается формулой Введение 23 0 0 1 1 ( ) ( 0) 1 x t x k t kx = ⋅ ≠ − и имеет вертикальную асимптоту (момент взрыва) 0 1 t kx = (рис. 3). Рис. 3 Пример 4 (уравнения Лагранжа для механических систем). Рас- смотрим систему из N свободных материальных точек j A с масса- ми , 1,2,..., j m j N = . Пусть в некоторой декартовой инерциальной системе координат (т. е. в такой, где справедлив второй закон Нью- тона) радиус-вектор точки j A есть ( ) j j r r t = . Тогда ее скорость и ускорение вычисляются как производные от ( ) j r t : ( ) , = j j v r t ( ) = j j a r t . Допустим, что сумма всех внешних и внутренних сил, приложенных к j A , есть вектор-функция ( ) , , , j j F F t r r = где 1 2 , , , N r r r r ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … . Тогда данная механическая системаописывается, Глава 1 24 согласно второму закону Ньютона,задачей Коши длясистемы обыкновенных дифференциальных уравнений: ( ) , , j j j m r F t r r = , (1) 0 0 0 0 ( ) ( ) 1,2,..., j j j j r t r r t v j N = , = = Таким образом, второй закон Ньютона дает общий метод опи- сания механических систем с помощью дифференциальных уравне- ний. Однако практически бывает удобно рассматривать вместо (1) эквивалентную ей систему уравнений Лагранжа, записанную в обобщенных координатах ( ) 1 2 , ,..., n q q q . Вывод уравнений Лагранжа дается в курсе теоретической механики, а здесь мы только кратко напомним алгоритм построения этих уравнений, состоящий из трех шагов: 1) выражение кинетической энергии системы через обобщенные координаты: ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 = = = ∂ ⎛ ⎞ = = = + ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ N N N j j j j j j j j j j m v r r T m r m q t q ; 2) вычисление обобщенных сил: 1 , 1,2,..., = ∂ = = ∂ ∑ N j i j i j r Q F i n q ; 3) выписываниеуравнений Лагранжа: , 1,2,..., ∂ ∂ − = = ∂ ∂ i i i d T T Q i n dt q q Пример 5 (гармонический осциллятор и математический маятник). Составим уравнения Лагранжа для двух конкретных механических систем, изображенных на рис. 4. Гармонический осциллятор – это грузик на гладком стержне, поддерживаемый с двух концов пружинами. Для него в качестве единственной обобщенной координаты q можно взять декартову координату q x = ; для маятника естественно выбрать q ϕ = : осциллятор: ( ) ,0,0 r x = ; маятник: ( ) sin ,0, cos r l l ϕ ϕ = − Введение 25 Рис. 4 Для маятника эта функция взаимно однозначна при ( , ) ϕ π π ∈ − или при (0,2 ) ϕ π ∈ (две локальные системы координат). Кинетическая энергия этих механических систем вычисляется по формулам: осциллятор: ( ) 2 1 2 = T m x , маятник: ( ) 2 2 1 2 ϕ = T ml ; а обобщенные силы – по формулам: осциллятор: ( ) ,0,0 F kx = − , ( ) 1,0,0 r x ∂ = ∂ , ∂ = = − ∂ r Q F kx x , маятник: ( ) 0,0, F mg = − , ( ) cos ,0, sin r l l ϕ ϕ ϕ ∂ = ∂ , sin ϕ ϕ ∂ = = − ∂ r Q F mgl Для осциллятора получим: T T mx q x ∂ ∂ = = ∂ ∂ , 0 T T q x ∂ ∂ = = ∂ ∂ и уравнение движения mx kx = − , или 2 0 0 mx x ω + = , где 0 ω = k m . Для маятника: 2 T T ml q ϕ ϕ ∂ ∂ = = ∂ ∂ , 0 T T q ϕ ∂ ∂ = = ∂ ∂ и уравнение движения 2 sin ϕ ϕ = − ml mgl , или 2 0 sin 0 ϕ ω ϕ + = , где 0 ω = g l . Глава 1 26 Если 1 ϕ << , то sin ϕ ϕ ≈ , и получаем линеаризованное урав- нение колебаний 2 0 0 ϕ ω ϕ + = . Если длина стержня маятника изменяется во времени, т.е. ( ) l l t = , то уравнение движения будет иметь вид ( ) 2 2 sin 0 ϕ ϕ ω ϕ + + = l t l , где ( ) ( ) g t l t ω = (получите это самостоя- тельно). Пример 6 (уравнение RLCE-контура). Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рисунке. Рис. 5 Она состоит из четырех двухполюсников: сопротивления R, индуктивности L, емкости Cи источника ЭДС E. Если для двухпо- люсника A произвольно выбрать положительное направление, то в любой момент времени ему можно сопоставить две величины: на- пряжение A u и ток A i . При смене положительного направления они меняют знак. Каждый из двухполюсников описывается опреде- ленным уравнением: = R R u Ri , = L L di L u dt , = C C du C i dt , ( ) = − E u e t . Неотрицательные параметры R , L и C называются, как и са- ми двухполюсники, сопротивлением, индуктивностью и емкостью; заданная функция ( ) e t характеризует источник ЭДС. Соединения двухполюсников в цепь описываются двумя законами Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа гласит: сумма токов, втекающих в любой узел, равна нулю. В рассматриваемом контуре четыре узла, они помечены цифрами. Из закона Кирхгофа для узла 1 следует, что E R i i = , так как в этот узелвтекают токи E i и – R i . Из рассмотрения остальных узлов следует, что ток во всем контуре одинаковый: = = = = E R C L i i i i i Введение 27 Второй закон Кирхгофа утверждает, что сумма напряжений при обходе любого замкнутого контура равна нулю (положительные направления двухполюсников должны быть согласованы с направ- лением обхода). В нашем случае: 0 + + + = E R C L u u u u , или ( ) C di L u Ri e t dt + + = Из уравнения емкости следует, что = C du i dt , 2 2 = di d u C dt dt Введя обозначение C u u = , получаем окончательно ( ) LCu RCu u e t ′′ ′ + + = Это и естьуравнение RLCE-контура. В него входит только на- пряжение емкости u; все остальные напряжения и токи вычисляются по известному значению u: = R u Ri , i Cu′ = , ( ) = − − L R u e t u u . Заметим, что при 0 R = и ( ) 0 e t = полученное уравнение лишь обозначениями отличается от уравнения гармонического осциллято- ра. Здесь проявляется универсальность языка дифференциальных уравнений: он выявляет существенные связи между разными урав- нениями. В уравнении контура роль величины 0 ω играет 1 LC На практике, при выводе дифференциальных уравнений по- мимо строгих законов нередко используются гипотезы и различные приближенные представления. Пример 7 (модель биологической системы "хищник-жертва"). Приведем вывод уравнений, описывающих изменение числен- ности двух взаимосвязанных биологических видов – "жертвы" ( 1 N ) и "хищника" ( 2 N ) – по книге известного итальянского матема- тика Вито Вольтерры. Встречающийся в этом выводе термин "ко- эффициент прироста" обозначает отношение N N ′ скорости из- менения численности вида к его численности. В подобных моделях Глава 1 28 функцию удобно считать гладкой, хотя на самом деле она принима- ет целочисленные значения и, следовательно, изменяется скачкооб- разно. Поскольку модель носит приближенный характер, такая ин- терпретация допустима. Если бы в среде, где обитают эти виды, находился только один из них, а именно жертва, то у него был бы некоторый коэффициент прироста 1 0 ε > . Другой вид (хищник), питающийся только жертвой, в предположении, что он существует изолированно, имеет некото- рый коэффициент прироста 2 0 ε − < . Когда два такие вида сосущест- вуют в ограниченной среде, первый будет развиваться тем медлен- нее, чем больше существует индивидуумов второго вида, а второй — тем быстрее, чем многочисленнее будет первый вид. Гипотеза, довольно простая, состоит в том, что коэффициенты прироста равны соответственно 1 1 2 ε γ − N , 1 1 0, 0 ε γ > > и 2 2 1 ε γ − + N , 2 2 0, 0 ε γ > > Это приводит к системе дифференциальных уравнений для описания численности видов: ( ) 1 1 1 1 2 dN N N dt ε γ = − ( ) 2 2 2 2 1 dN N N dt ε γ = − + ( ) 0 1 0 1 N t N = , ( ) 0 2 0 2 N t N = Решение уравнений в частных производных также часто при- водит к необходимости решать обыкновенные дифференциальные уравнения. Пример 8 . (уравнение теплопроводности на отрезке с «холодиль- никами» на концах). Начально-краевая задача для распределения температуры ( , ) u x t в тонком однородном стержне длины l при заданных (нуле- вых) температурах на концах отрезка имеет вид ( ) 2 2 2 , ∂ ∂ = + ∂ ∂ u u a f x t t x , (0 ) x l < < ; граничные условия: (0 ) 0 u t , = , ( ) 0 u l t , = ; начальное условие: ( ,0) ( ) u x x ϕ = Введение 29 Рассмотрим два подхода к решению этой задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. 1) Преобразование Лапласа. В результате применения преобразования Лапласа, для образа ( ) 0 ( , ) , +∞ − = ∫ pt U x p u x t e dt полу- чим обыкновенное дифференциальное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , , , ϕ ∂ − = + ∂ U x p pU x p x a F x p x , (0 ) x l < < с граничными условиями (0 ) 0 U p , = , ( ) 0 U l p , = , где ( ) 0 ( , ) , +∞ − = ∫ pt F x p f x t e dt . Решая эту задачу Коши и обращая преобразование Лапласа (например, по формуле Меллина) получим искомую функцию ( ) , u x t . 2) Метод Фурье. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности можно искать в виде ряда Фурье ( ) ( ) ( ) 1 , ψ ∞ = = ∑ n n n u x t u t x по ортонормированной системе ( ) { } ψ n x собственных функций за- дачи Штурма–Лиувилля 2 2 0 ψ λ ψ + = ∂ n n n d x , (0 ) x l < < (0) 0 ψ = n , ( ) 0 ψ = n l Подставив решение в указанном выше виде в исходное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 , ψ ψ ∞ ∞ = = = + ∑ ∑ n n n n n n du t d x x a u t f x t dt dx и учитывая определение ( ) { } n x ψ , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , ψ λ ψ ∞ ∞ = = = − + ∑ ∑ n n n n n n n du t x a u t x f x t dt Глава 1 30 Умножим обе части последнего равенства на ( ) { } ψ n x и про- интегрируем по переменной x от 0 до l: ( ) ( ) ( ) 1 0 ψ ψ ∞ = = ∑ ∫ l n n k n du t x x dx dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 , λ ψ ψ ψ ∞ = = − + ∑ ∫ ∫ l l n n n k k n a u t x x dx f x t x dx Учитывая условие нормировки ( ) ( ) 0 0, 1, ψ ψ ≠ ⎧ = ⎨ = ⎩ ∫ l n k k n x x dx k n , и обо- значив ( ) ( ) 0 ϕ ϕ ψ = ∫ l k k x x dx , а ( ) ( ) ( ) 0 , ψ = ∫ l k k f t f x t x dx , для опре- деления функций ( ) k u t получим обыкновенное дифференциальное уравнение ( ) ( ) ( ) 2 λ + = k k k k du t a u t f t dt с начальным условием (0) ϕ = k k u (задача Коши). В частности, решение однородного уравнения теплопровод- ности (при ( ) , 0 f x t ≡ ) с граничными условиями первого рода имеет вид ( ) 2 1 2 , sin π π ϕ ⎛ ⎞ ∞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ na t l n n nx u x t e l l Получите самостоятельно эту формулу. |