§ 3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши
от параметров и начальных условий
1
0
. Постановка задачи
Простейшим примером параметра, от которого зависит реше- ние задачи Коши
0 0
( , ),
( )
,
μ
=
=
=
dy
f x y
dx
y x
y
является начальное значение. Выбирая различные значения
0
y
μ
= , получаем семейство решений ( , )
y x
μ
, зависящее от параметра
μ
От различных параметров могут зависеть также и правые час- ти уравнения, т.е. ( , , )
μ
=
f
f x y
. При этом часто некоторые величи- ны, входящие в правую часть уравнения, определяются эксперимен- тально и, следовательно, известны с погрешностью. Поэтому вопрос о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров важен и с практической точки зрения.
Покажем, что изучение зависимости решения от параметров, содержащихся в правой части и начальных условиях, может быть проведено единым образом. Действительно, если в задаче Коши
0 0
( , ),
( )
,
μ
=
=
=
dy
f x y
dx
y x
y
сделать замену z y
μ
= − , то для новой функции z получим задачу
0
( ,
)
( , , ),
( ) 0,
μ
μ
=
+
≡
=
dz
f x z
f x z
dx
z x
в которой от параметра теперь зависит правая часть уравнения. По- этому далее будем рассматривать следующую задачу Коши с пара- метром в правой части:
0 0
( , , ),
( )
,
μ
=
=
dy
f x y
dx
y x
y
(1)
Уравнения первого порядка
59
2
0
. Теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра
Рассмотрим задачу (1) при следующих условиях.
(У1)
Функция ( , , )
μ
f x y
определена и непрерывна по со- вокупности переменных в области
{
}
0 0
0
|
|
, |
|
, |
|
μ μ
=
−
≤
−
≤
−
≤
D
x x
a
y y
b
c и, следовательно, огра- ничена, т.е. существует постоянная max | ( , ,
|
μ
=
D
M
f x y
(У2)
Функция ( , , )
f x y
μ
удовлетворяет в области D усло- вию Липшица
1 2
1 2
( , , )
( , , )
f x y
f x y
N y
y
μ
μ
−
≤
−
, где постоянная
N
не зависит от параметра
μ
на отрезке
0
|
| c
μ μ
−
≤ .
Теорема 1
. Пусть выполнены условия (У1) и (У2).
Тогда на отрезке
0 0
[ ,
]
x x
H
+
, где min
,
⎧
⎫
=
⎨
⎬
⎩
⎭
b
H
a
M
, существует единственное решение задачи (1), непрерывное по параметру
μ
при
0
|
| c
μ μ
−
≤ .
Доказательство этой теоремы дословно повторяет доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши
(см. §2) и основано на равномерной сходимости функциональной последовательности
{
}
(
)
0 0
( , ) :
( , )
( , ),
μ
μ
ξ
ξ μ μ ξ
=
+
,
∫
x
n
n
n
x
y x
y x
y
f
y
d .
Замечание
Результат теоремы очевидным образом обобщается на случай, когда правая часть зависит от нескольких параметров, т.е.
1 2
{ ,
,...,
}
μ
μ μ
μ
=
m
, среди которых
0
μ =
i
y .
Теорема 2
. Пусть функция ( , , )
f x y
μ
непрерывна и при каж- дом
0
|
| c
μ μ
−
≤ удовлетворяет условию Липшица в полосе
0 0
[ ,
],
x x
a
y R
+
∈ .
Тогда задача (1) имеет единственное решение на отрезке
0 0
[ ,
]
x x
a
+ , непрерывное по параметру
μ
Глава 2
60
Для доказательства этой теоремы достаточно повторить дока- зательство теоремы 2 из §2.
§ 4. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств
1
0
. Постановка задачи
Теоремы сравнения, лежащие в основе принципа сравнения, играют важную роль в исследовании различных классов нелиней- ных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений в частных производных. Они гарантируют сущест- вование (а при некоторых естественных требованиях и единствен- ность) решения задач при условии существования так называемых верхних и нижних решений. Этот подход в исследовании нелиней- ных дифференциальных уравнений носит также название метода дифференциальных неравенств и является развитием идей метода
«вилки» решения нелинейных конечных уравнений.
Указанный метод будет продемонстрирован нами на примере решения задачи Коши для скалярного дифференциального уравне- ния первого порядка. Эта задача впервые с точки зрения метода дифференциальных неравенств была рассмотрена С.А. Чаплыгиным в начале 20-х годов прошлого века и положила начало одному из наиболее эффективных методов качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений. Отметим, что важность этих резуль- татов подчеркивалась одним из основоположников курса дифферен- циальных уравнений на физическом факультете МГУ академиком
А.Н. Тихоновым, по инициативе которого теоремы Чаплыгина были включены в основной учебник для студентов-физиков [1].
Рассмотрим скалярную задачу Коши
0
( , ), 0
,
(0)
=
< ≤
=
dy
f x y
x a
dx
y
y
(1)
Основной особенностью задачи (1) является то, что она рас- сматривается на фиксированном промежутке времени
0 x a
≤ ≤
и значение
a
входит в постановку задачи. Такая постановка является естественной для приложений, где задача (1) может выступать в ка- честве математической модели. Классическая теорема существова- ния и единственности (см. Теорему 1 из §2, лекция 3), являющаяся локальной и гарантирующая существование решения в некоторой
Уравнения первого порядка
61 достаточно малой окрестности начальной точки, как правило, стано- вится мало пригодной.
Напомним формулировки двух теорем, доказанных выше
(см. Теоремы 1 и 2, лекция 4).
Теорема 1
. Пусть функция ( , )
f x y определена и непрерыв- на в прямоугольнике
{
}
0 0
,
D
x a
y y
b
=
≤ ≤
−
≤
и, следовательно, существует постоянная max ( , )
D
M
f x y
=
. Пусть, кроме того, функ- ция ( , )
f x y удовлетворяет в области D условию Липшица по пере- менной y :
1 2
1 2
( , )
( , )
f x y
f x y
N y
y
−
≤
−
Тогда на промежутке
0
min ,
⎛
⎞
≤ ≤
⎜
⎟
⎝
⎠
b
x
a
M
задача Коши (1) име- ет единственное решение.
Очевидно, что при больших значениях M сформулированная теорема дает слишком грубую оценку промежутка существования решения. Это особенно ярко проявляется для так называемых сингу- лярно возмущенных задач, когда правая часть имеет вид
1
( , )
f x y
μ
, где
μ
– малый параметр. В этом случае
1
M
μ
∼
и, следовательно, промежуток существования решения, гарантированный этой теоре- мой, имеет оценку
H
μ
, т.е. является асимптотически малым.
Теорема 2
Пусть функция ( , )
f x y определена, непрерыв- на и удовлетворяет условию Липшица по переменной y в полосе
{
}
0
,
x a
y
≤ ≤
− ∞ < < +∞ .
Тогда на промежутке
0 x a
≤ ≤
задача Коши (1) имеет единст- венное решение.
Данная теорема уже не является локальной, однако класс функций ( , )
f x y , удовлетворяющих сформулированным в ней усло- виям, достаточно узкий. Поэтому во многих случаях более эффек- тивным для исследования задачи (1) является метод дифференци- альных неравенств Чаплыгина. Изложение этого подхода начнем со следующего классического результата.
Глава 2 62 20. Теорема Чаплыгина о дифференциальных неравенствахТеорема 3 ( сравнения, Чаплыгина). Пусть существует клас- сическое решение ( ) y x задачи (1) и существует функция ( ) z x та- кая, что ( ] [ ] 1 ( ) 0; 0; z xCaCa∈ ∩ , 0 (0) zy< и ( ] ( , ( )), 0; dzf x z xxadx< ∈ Тогда при всех [0; ] xa∈ имеет место неравенство ( ) ( ) z xy x< Доказательство.При 0 x= неравенство выполняется. Пусть оно первый раз нарушается в точке ( ] 1 0, xa∈ , т.е. имеем 1 1 ( ) ( ). z xy x= Это означает, что при 1 x x= кривые ( ) y y x= и ( ) y z x= либо пере- секаются, либо касаются. Следовательно, 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )), dzdyxxf x y xf x z xdxdx≥ = = что противоречит условию теоремы. Замечание.С.А. Чаплыгин называл функцию ( ) z x нижней функци-ей. Аналогично определяется верхняя функция. 30. Теорема Чаплыгина о существовании и единственности ре-шения задачи КошиИспользуя результат Теоремы 3 можно доказать теорему су- ществования и единственности решения задачи (1). Для этого нам понадобится определение нижнего и верхнего решений. Так в со- временной литературе принято называть нижние и верхние функции Чаплыгина. Определение 1.Функция ( ] 1 ( ) 0, [0, ] xCaCaα ∈ ∩ называется нижним решениемзадачи (1), если выполнены неравенства 0 ( , ( )), 0 , (0) df xxx aydxα α α < < ≤ < Определение 2.Функция ( ] 1 ( ) 0, [0, ] xCaCaβ ∈ ∩ называется верхним решением задачи (1), если выполнены неравенства 0 ( , ( )), 0 , (0) df xxx aydxβ β β > < ≤ > .
Уравнения первого порядка
63
Замечание
. Используя схему доказательства теоремы сравнения, можно показать, что между нижним решением
( )
x
α
и верхним ре- шением ( )
x
β
имеет место неравенство ( )
( )
x
x
α
β
<
Теорема 4
(существования и единственности, Чаплыгина).
Пусть существует нижнее ( )
x
α
и верхнее ( )
x
β
решения за- дачи (1), такие что ( )
( )
x
x
α
β
<
,
[ ]
0;
x
a
∈
. Пусть функция ( , )
f x y непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной y т.е. при каждом
[ ]
0;
x
a
∈
выполнено неравенство
[
]
1 2
1 2
1 2
( , )
( , )
,
,
( ), ( )
f x y
f x y
N y
y
y y
x
x
α
β
−
≤
−
∈
Тогда задача Коши (1) имеет единственное решение
( )
y x , причем
( )
( )
( ),
0
x
y x
x
x a
α
β
<
<
≤ ≤ .
Доказательство. Продолжим ( , )
f x y так, чтобы она была непре- рывна и удовлетворяла условию
Липшица в полосе
{
}
0
,
x a
y
≤ ≤
− ∞ < < +∞ , и рассмотрим вместо (1) задачу
0
( , ),
0
,
(0)
,
dy
h x y
x a
dx
y
y
=
< ≤
=
(2) где функция
( , )
h x y выбрана, например, так:
( , ( )) (
( )),
,
( , )
( , ),
, (0
) ,
( , ( )) (
( )),
β
β
β
α
β
α
α
α
+
−
≥
⎧
⎪
=
≤ ≤
≤ ≤
⎨
⎪
+
−
≤
⎩
f x
x
y
x
y
h x y
f x y
y
x a
f x
x
y
x
y
Очевидно, что функция ( , )
h x y удовлетворяет условию Лип- шица с константой max( ;1)
L
N
=
, где
N
– постоянная Липшица функции ( , )
f x y , введенная в условии теоремы. В силу Теоремы 2 решение задачи (2) существует и единственно. Это решение, лежа- щее в начальный момент между нижним и верхним решением, не может покинуть область между ними в силу Теоремы 3. Поэтому для указанных значений y имеет место равенство ( , )
( , )
h x y
f x y
=
, т.е. решение задачи (2) является решением задачи (1).
Глава 2
64
Замечание 1
. Можно показать, что в определении верхнего и ниж- него решений допустимы нестрогие знаки неравенств. В частности, в качестве нижнего (верхнего) решения задачи (1) может быть взято решение уравнения в (1)
*
( )
y x , которое в начальный момент
(
)
*
*
0 0
(0)
(0)
y
y
y
y
<
>
. Действительно, в этом случае предположе- ние о том, что кривая
*
( )
y
y x
=
пересекает кривую
( )
y y x
=
в не- которой точке
1
x , приводит к нарушению условия единственности решения в окрестности этой точки.
Замечание 2
. Пусть нижнее и верхнее решения определены на мно- жестве
0 x
≤ < ∞
, а функция ( , )
f x y непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной y с константой
N
, не зависящей от
x
. Тогда Теорема 4 остается справедливой на всем промежутке
0 x
≤ < ∞
. Этот факт будет использован далее при изучении некото- рых задач теории устойчивости.
4
0
. Примеры
Пример 1
.Рассмотрим начальную задачу
2 0
,
0
,
(0)
0,
= −
< ≤
=
>
dy
y
x a
dx
y
y
точным решением которой является
0 1
( )
1
=
+
y x
x
y
Классическая теорема существования и единственности дает оценку для промежутка существования решения
0 1
0 4
x
y
≤ ≤
(убе- дитесь в этом самостоятельно). Заметим также, что условие Липши- ца в полосе
{
}
0
,
x a
y
≤ ≤
− ∞ < < +∞ не выполняется.
Выберем в качестве нижнего решения функцию
0
α
=
(см. за- мечание 1). Действительно, соответствующее определение выполня- ется, так как
( ,0) 0
d
f x
dx
α
−
= .
Уравнения первого порядка
65
В качестве верхнего решения возьмем
0
( )
const
β
= =
>
x
d
y .
Определение верхнего решения тоже выполнено:
2
( , ) 0 0
β
β
−
= +
>
d
f x
d
dx
Так как частная производная
( , )
2
y
f x y
y
= − ограничена при
[0; ]
y
d
∈
и
0 x a
≤ ≤
, где
0
a
>
– любое число, то функция
2
( , )
f x y
y
= − удовлетворяет условию Липшица в этой области. От- сюда на основании Теоремы 4 можно утверждать, что при всех
0 x
≤ < ∞
существует решение
( )
y x , причем 0
( )
y x
d
≤
≤ .
Пример 2
.Рассмотрим начальную задачу
0
( , ), 0
,
(0)
,
=
< ≤
=
dy
f x y
x a
dx
y
y
где функция ( , )
f x y удовлетворяет условиям Теоремы 2 и при каж- дом
x
имеет вид, изображенный на рис. 1.
Рис. 1
Пусть
1
( )
x
ϕ
– наибольший отрицательный корень уравнения
( , ) 0
f x y
= ,
2
( )
x
ϕ
– наименьший положительный корень этого уравнения. Обозначим
*
*
1 2
[0, ]
[0, ]
max
( ),
min
( )
a
a
x
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
и предпо- ложим, что начальное значение
0
y удовлетворяет условию
*
*
0
y
ϕ
ϕ
<
<
. Тогда существует постоянная
0
ε
>
такая, что
*
*
0
y
ϕ ε
ϕ
ε
+ <
<
− . Выберем в качестве нижнего решения функцию
Глава 2
66
*
α ϕ
ε
=
+ , а в качестве верхнего функцию
*
β ϕ
ε
=
− . В силу того, что ( ) 0
f
α
> , а ( ) 0
f
β
< (см. рисунок), соответствующие диффе- ренциальные неравенства выполнены. Поэтому из теоремы Чаплы- гина (Теорема 4) следует, что существует решение рассматриваемой задачи ( )
y x , удовлетворяющее неравенствам
*
*
( )
y x
ϕ
ϕ
<
<
Типовые вопросы и задачи к экзамену
1.
Сформулируйте теорему Чаплыгина о существовании и един- ственности решения задачи Коши. Докажите, что решение на- чальной задача
2
;
(0) 1
′ = −
=
y
y
y
существует на любом сег- менте
0 x a
≤ ≤
, причем выполнено неравенство 0
( ) 1
y x
≤
≤ .
2.
Используя теорему Чаплыгина о существовании и единствен- ности решения задачи Коши, докажите, что существует един- ственное решение начальной задачи
3
;
(0) 0.3
y
y
y
y
′ =
−
=
, удовлетворяющее неравенству
1
( ) 1
y x
− <
< .
3.
Используя теорему Чаплыгина о существовании и единствен- ности решения задачи Коши, докажите, что существует един- ственное решение начальной задачи
2 2 ;
′ =
+
y
y
y (0)
1
= −
y
, удовлетворяющее неравенству
2
( ) 0
y x
− <
< .
Уравнения первого порядка 67 Лекция 6 |
Скачать 1.87 Mb.