Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
§ 1. Простейшие случаи интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка 1 0 . Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним Уравнения вида ( ) y f x ′ = . Пусть функция ( ) f x – определена и непрерывна на некотором интервале a x b < < . В таком случае все решения данного диффе- ренциального уравнения определяются формулой ( ) y f x dx C = + ∫ Если заданы начальные условия 0 x и 0 y , то можно найти постоян- ную C Определение 1 . Уравнение вида ( ) ( ) Y y dy X x dx = называется уравнением с разделяющимися переменными. Решение. Пусть решение существует. Тогда, подставляя это решение в записанное выше уравнение, получим общий интеграл ( ) ( ) 0 X x dx Y y dy − = => ( ) ( ) ( ) 0 d X x dx Y y dy − = ∫ ∫ => ( ) ( ) Y y dy X x dx C − = ∫ ∫ , т.е. уравнение проинтегрировано в квадратурах. В случае задачи Коши с начальным условием 0 0 ( ) y x y = , ре- шение определяется соотношением 0 0 ( ) ( ) 0 η η ξ ξ − = ∫ ∫ y x y x Y d X d Уравнения, сводящиеся к уравнению с разделяющимися пе- ременными. Уравнения ( ) ( ) dy f x g y dx = или ( ) ( ) dy g y f x dx = риводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Уравнение вида Глава 2 32 ( ) y f ax by ′ = + также сводится к рассматриваемому типу заменой ax by z + = . Определение 2 . Дифференциальное уравнение ( , ) y f x y ′ = называется однородным, если его правая часть удовлетворяет соот- ношению ( , ) ( , ) f kx ky f x y = Уравнение вида ( , ) ( , ) 0 P x y dx Q x y dy + = является однород- ным , если ( , ) ( , ) α = P kx ky k P x y и ( , ) ( , ) α = Q kx ky k Q x y . Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи замены = z y x или = z x y Уравнение вида 1 1 1 ax by c y f a x b y c ⎛ ⎞ + + ′ = ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ при условии 1 1 0 a b a b Δ = ≠ сводится к однородному заменой переменных 0 x x t = + , 0 y y z = + , где 0 x и 0 y – решение системы 1 1 1 0, 0. + + = ⎧ ⎨ + + = ⎩ ax by c a x b y c 2 0 . Линейное уравнение первого порядка Определение 3 . Уравнение вида ( ) ( ) ( ) dy p x y x f x dx + = назы- вается линейным. В случае ( ) 0 f x ≡ данное уравнение называется линейным однородным Решим однородное уравнение. Очевидно, что ( ) 0 y x = – реше- ние. Если ( ) 0 y x ≠ разделим переменные: ( ) = − dy p x dx y Вычислив квадратуры от обеих частей, получим ln ( ) y p x dx C | |= − + ∫ , или ( ) ( ) − + − ∫ ∫ | |= = ⋅ p x dx C p x dx C y e e e . Раскрыв модуль и заменив C e ± на произвольную константу C , получим окончательно ( ) ( ) − ∫ = ⋅ p x dx y x C e Уравнения первого порядка 33 Покажем, что формула ( ) ( ) − ∫ = ⋅ p x dx y x C e дает общее решение задачи. Пусть ( ) x ϕ – любое решение линейного однородного урав- нения первого порядка, т.е. ( ) ( ) ( ) 0 d x p x x dx ϕ ϕ + = . Рассмотрим функцию ( ) ( ) ( ) ϕ ∫ Φ = ⋅ p x dx x x e . Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ Φ ∫ ∫ = ⋅ + ⋅ = p x dx p x dx d x d x e x p x e dx dx ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ϕ ϕ ⎛ ⎞ ∫ = + ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ p x dx d x x p x e dx Следовательно, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ϕ − Φ ∫ = ⇒ Φ = ⇒ = p x dx d x x C x Ce dx Решение ( ) 0 y x ≡ получается при 0 C = Решение задачи Коши с начальным условием 0 0 ( ) y x y = имеет вид ( ) ( ) 0 0 ξ ξ − ∫ = ⋅ x x p d y x y e В том, что это решение, убеждаемся подстановкой. Единст- венность следует из единственности представления. В частности, при 0 0 y = линейное однородное дифференциальное уравнение пер- вого порядка имеет только нулевое (тривиальное)решение. Получим теперь общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка ( ) ( ) ( ) ( ) y x p x y x f x ′ + = Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) ( Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик, президент Берлинской Академии Наук, почетный член Петербургской Академии наук (1776) ). Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем, т.е. решается однородное урав- нение ( ) 0 y p x y ′ + = . Его общее решение было получено выше и вы- глядит так: ( ) ( ) 0 − ∫ = ⋅ p x dx y x C e Глава 2 34 Решение неоднородного уравнения ( ) ( ) ( ) dy p x y x f x dx + = бу- дем искать в виде ( ) ( ) ( ) − ∫ = ⋅ p x dx y x C x e , т.е. формально заменяя по- стоянную C некоторой функцией от ( ) C x в формуле общего реше- ния однородного уравнения. Далее, по правилам дифференцирова- ния произведения функций имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − ∫ ∫ ′ = = ⋅ − ⋅ p x dx p x dx dy dC x y e C x p x e dx dx Подставляя это соотношение в исходное уравнение, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − ∫ ∫ ∫ ⋅ − ⋅ + ⋅ = p x dx p x dx p x dx dC x e C x p x e p x C x e f x dx ( ) ( ) − ∫ ⋅ = p x dx dC e f x dx Разделяя переменные ( ) ( ) ∫ = ⋅ p x dx dC f x e dx , найдем ( ) 1 ( ) ( ) ∫ = ⋅ + ∫ p x dx C x f x e dx C Подставив последнюю формулу в выражение для ( ) y x , полу- чим общее решение линейного уравнения в виде квадратур: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) − − ⎛ ⎞ ∫ ∫ ∫ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ p x dx p x dx p x dx y x C e f x e dx e Метод Бернулли ( Якоб Бернулли (1654-1705) – швейцарский ма- тематик ). Суть метода заключается в том, что искомая функция пред- ставляется в виде произведения двух функций ( ) ( ) y u x v x = , тогда dv du y u v dx dx ′ = ⋅ + ⋅ Подставляя в исходное уравнение, получаем ( ) ( ) dv du u v p x uv f x dx dx + + = или ( ) ( ) ⎛ ⎞ + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dv du u v p x u f x dx dx Уравнения первого порядка 35 Важное замечание : так как функция ( ) y x была представлена в ви- де произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это про- изведение, определен неоднозначно. Таким образом, одну из функ- ций можно выбрать так, чтобы ( ) 0 du p x u dx + = Интегрируя полученное уравнение с разделяющимися пере- менными, найдем функцию ( ) u x : ( ) du p x dx u = − ==> ( ) − ∫ = ⋅ p x dx u C e Для определения второй неизвестной функции ( ) v x подставим полученное выражение для функции ( ) u x в исходное уравнение ( ) ( ) dv du u v p x u f x dx dx ⎛ ⎞ + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю, т.е. ( ) ( ) − ∫ ⋅ = p x dx dv C e f x dx ==> ( ) ( ) ∫ = ⋅ p x dx Cdv f x e dx . Интегрируя, найдем функцию ( ) v x : ( ) 1 ( ) ∫ = ⋅ + ∫ p x dx Cv f x e dx C ==> ( ) 1 1 ( ) ( ) ⎛ ⎞ ∫ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ p x dx v x f x e dx C C Подставляя функции ( ) u x и ( ) v x в формулу для решения, получа- ем: ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) − ⎛ ⎞ ∫ ∫ = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ p x dx p x dx y u x v x C e f x e dx C C , или ( ) ( ) 1 ( ) ( ) − ⎛ ⎞ ∫ ∫ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ p x dx p x dx y x e f x e dx C , где 1 C – произвольная константа. Легко видеть, что данное представление совпадает с получен- ным ранее методом вариации постоянной. Анализ структуры реше- ния линейного дифференциального уравнения позволяет сформули- ровать следующее утверждение. Принцип суперпозиции . Решение линейного дифференци- ального уравнения представляет собой сумму общего решения соот- Глава 2 36 ветствующего однородного уравнения и частного решения однород- ного уравнения. Для задачи Коши с начальным условием 0 0 ( ) y x y = имеет ме- сто теорема существования и единственности решения. Теорема 1 . Пусть ( ) ( ) , p x С a b ∈ и ( ) ( ) , f x С a b ∈ . Тогда че- рез каждую точку ( ) 0 0 , x y полосы ( ) , a b R × проходит одна и только одна интегральная кривая, определенная при всех ( , ) x a b ∈ Доказательство. В силу линейности задачи Коши 0 0 ( ) ( ) ( ) y p x y f x y x y ′ + = ⎧ ⎨ = ⎩ , (1) представим функцию ( ) y x в виде суммы 1 2 ( ) ( ) ( ) y x y x y x = + , где 1 ( ) y x удовлетворяет однородной задаче Коши с неоднородным на- чальным условием: ( ) 1 1 1 0 0 ( ) 0 y p x y y x y ′ + = ⎧⎪ ⎨ = ⎪⎩ , (2) а 2 ( ) y x удовлетворяет неоднородной задаче Коши с однородным на- чальным условием: ( ) ( ) 2 2 2 0 ( ) 0 y p x y f x y x ′ ⎧ + = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ (3) Непосредственной подстановкой легко проверить, что реше- ние задачи (2) имеет вид ( ) 0 1 0 ( ) ξ ξ − ∫ = x x p d y x y e , а решение задачи (3) – ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) η η ξ ξ ξ ξ ξ ξ η η η η − − ∫ ∫ ∫ = = ∫ ∫ x x x x p d p d p d x x x x y x e e f d e f d . Следовательно, решение задачи Коши (1) существует и может быть получено по формуле Уравнения первого порядка 37 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) η ξ ξ ξ ξ η η − − ∫ ∫ = + ∫ x x x p d p d x x y x y e e f d . Единственность решения (1) следует из того факта, что задача Коши для однородного уравнения с нулевым начальным условием имеет только тривиальное решение. Действительно, пусть 1 ( ) y x и 2 ( ) y x два решения задачи Коши (1). Тогда их разность 1 2 ( ) ( ) ( ) h x y x y x = − , в силу линейности уравнения, является реше- нием следующей задачи Коши: 0 ( ) 0 ( ) 0. ⎧ + = ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ dh p x h dx h x Поскольку эта задача имеет единственное решение ( ) 0 ≡ h x , то 1 2 ( ) ( ) ≡ y x y x Замечание. Обозначим ( ) ( ) η ξ ξ η − ∫ , = x p d K x e –импульсная функция (функция Коши). Тогда общее решение запишется в виде 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η η η = , + , ∫ x x Y x y x y x CK x x K x f d , где ( ) Y x – общее решение однородного уравнения, ( ) y x – частное решение неоднородного. Решение задачи Коши с начальным усло- вием 0 0 ( ) y x y = теперь будет выглядеть так: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) η η η = , + , ∫ x x y x K x x y K x f d . 3 0 . Уравнение Бернулли и уравнение Риккати Определение 4 . Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида ( ) ( ) q y p x y f x y ′ + = ⋅ Глава 2 38 Заменой 1 1 − = q z y уравнение Бернулли приводится к линейно- му. Для этого разделим исходное уравнение на q y 1 ( ) ( ) 1 y p x f x q q y y ′ + = − Выполнив подстановку 1 1 q z y − = , с учетом 2 2 2 ( 1) ( 1) − − ′ − − ′ ′ = − ⋅ = − q q q q y q y z y y y , получим ( ) ( ) 1 z p x z f x q ′ − + = − , или ( 1) ( ) ( 1) ( ) ′ − − = − − z q p x z q f x – линейное уравнение относительно неизвестной функции ( ) z x . Решение этого уравнения можно представить в виде ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) − ∫ ∫ = + ∫ p x dx p x dx z x e e f x dx C , где 1 1 ( ) ( 1) ( ); ( ) ( 1) ( ) = − − = − − p x n p x f x n f x Решение уравнения Бернулли можно также искать непосред- ственно, используя описанные выше метод вариации постоянной (Лагранжа) или метод Бернулли. Определение 5 . Уравнение вида 2 ( ) ( ) ( ) ′ + + = y p x y q x y f x на- зывается уравнением Риккати. Если известно какое либо частное решение 1 ( ) y x уравнения Риккати, то замена 1 ( ) y y x z = + приводит его к уравнению Бернулли относительно функции ( ) z x . В качестве упражнения проделайте со- ответствующие выкладки самостоятельно. 4 0 . Уравнения в полных дифференциалах Определение 6 . Дифференциальное уравнение первого прядка вида ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy + = называется уравнением в полных Уравнения первого порядка 39 дифференциалах , если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции ( , ) u F x y = Интегрирование такого уравнения сводится к построению функции ( , ) u F x y = , после чего решение легко находится в виде ( , ) F x y C = , так как 0 du = . Таким образом, для решения задачи не- обходимо определить: а) в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции ( , ) u x y ; б) как найти эту функцию. а) Если выражение ( , ) ( , ) M x y dx N x y dy + является полным дифференциалом некоторой функции ( , ) u x y , то можно записать: ( , ) ( , ) u u du M x y dx N x y dy dx dy x y ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ Так как ( , ), ( , ) u u M x y N x y x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ , то найдем смешанные произ- водные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х: 2 2 ( , ) , ( , ) ⎧ ∂ ∂ = ⎪∂ ∂ ∂ ⎪ ⎨ ∂ ∂ ⎪ = ⎪∂ ∂ ∂ ⎩ u M x y x y y u N x y x y x Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и дос- таточное условие того, что левая часть дифференциального уравне- ния является полным дифференциалом: ( , ) ( , ) M x y N x y y x ∂ ∂ = ∂ ∂ б) Рассмотрим один из возможных способов нахождения функции ( , ) u F x y = . Проинтегрировав равенство ( , ) u M x y x ∂ = ∂ , по- лучим ( , ) ( , ) ( ). u x y M x y dx C y = + ∫ Заметим, что в последней форму- ле первообразные отличаются друг от друга не на константу C , а на некоторую функцию ( ) C y , так как при интегрировании переменная y считается параметром. Глава 2 40 Определим функцию ( ) C y , для чего продифференцируем по- лученное равенство по y ( , ) ( , ) ( ) ∂ ∂ ′ = = + ∂ ∂ ∫ u N x y M x y dx C y y y , откуда ( ) ( , ) ( , ) C y N x y M x y dx y ∂ ′ = − ∂ ∫ Для нахождения функции ( ) C y теперь необходимо проинтег- рировать последнее соотношение. Однако, перед интегрированием надо доказать, что ( ) C y действительно не зависит от x , что будет выполнено, если производная по переменной x равна нулю. Убе- димся в этом, вычислив нужную производную: [ ] ( , ) ( ) ( , ) ∂ ∂ ∂ ′ ′ = − = ∂ ∂ ∂ ∫ x N x y С y M x y dx x x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = − = − = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫ N x y N x y M x y M x y dx x y x x y Теперь определяем функцию ( ) C y : ( ) ( , ) ( , ) C y N x y M x y dx dy C y ⎡ ⎤ ∂ = − + ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ ∫ Подставив этот результат в выражение для u , найдем ( , ) ( , ) ( , ) u M x y dx N x y M x y dx dy C y ⎡ ⎤ ∂ = + − + ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид ( , ) ( , ) ( , ) M x y dx N x y M x y dx dy C y ⎡ ⎤ ∂ + − = ⎢ ⎥ ∂ ⎣ ⎦ ∫ ∫ Отметим, что при решении уравнений в полных дифферен- циалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным, если просто следовать мето- ду, который использовался при ее выводе. Теорема 2 . Пусть в прямоугольнике ( ) ( ) , , Q a b c d = × функции ( , ) M x y и ( , ) N x y непрерывны вместе со своими частными Уравнения первого порядка 41 производными M y ∂ ∂ и N x ∂ ∂ , причем всюду в Q выполнено условие ( , ) ( , ) M x y N x y y x ∂ ∂ = ∂ ∂ и ( , ) 0 N x y ≠ . Тогда через каждую точку ( ) 0 0 , x y Q ∈ проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy + = . Упражнение 1. Докажите теорему существования и единствен- ности решения задачи Коши для уравнения в полных дифференциа- лах. Теорема 3 . Пусть в прямоугольнике ( , ) ( , ) = × Q a b c d функции ( , ) M x y и ( , ) N x y непрерывны вместе со своими частными произ- водными M y ∂ ∂ и N x ∂ ∂ , причем всюду в Q выполнено условие ( , ) ( , ) ∂ ∂ = ∂ ∂ M x y N x y y x и ( , ) 0 N x y ≠ . Выберем произвольную точку ( ) 0 0 , x y Q ∈ . Тогда функция 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ξ ξ η η = + ∫ ∫ y x x y F M y d N x d x y является первым интегралом уравнения ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy + = . Упражнение 2. Докажите теорему о первом интеграле уравнения в полных дифференциалах. Типовые вопросы и задачи к экзамену 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения ( ) ′ = y f x 2. Найдите общее решение дифференциального уравнения ′ = − x y y 3. Найдите общее решение уравнения ( ) ′′ = y f y в квадратурах. Глава 2 42 4. Найдите общее решение дифференциального уравнения 2 0 0 y y ω ′′ + = . 5. Найдите решение задачи Коши 2 0 , (0) y ky y y ′ = = . Нарисуйте эскиз графика решения. 6. Найдите решение задачи Коши 3 0 , (0) ′ = = y ky y y . Нарисуй- те эскиз графика решения 7. Запишите общий вид линейного неоднородного дифференци- ального уравнения первого порядка. 8. Найдите в квадратурах общее решение уравнения ( ) ( ) y p x y f x ′ + = 9. Найдите решение задачи Коши 0 0 ( ) ( ), ( ) y p x y f x y x y ′ + = = 10. Опишите алгоритм метода вариации постоянной для решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Приме- няя указанный метод, найдите общее решение уравнения , (0) 1 y y x y ′ = − = 11. Опишите алгоритм метода вариации постоянной для решения линейного неоднородного уравнения первого порядка. Приме- няя указанный метод, найдите общее решение уравнения 2 xy y x ′ = − . 12. Постройте функцию Коши линейного уравнения первого по- рядка. Запишите с ее помощью решение задачи Коши 0 0 ( ) ( ), ( ) y p x y f x y x y ′ + = = 13. Постройте функцию Коши начальной задачи ( ) ( ) ( ), (0) 0 y t y t f t y ′ − = = . Запишите с ее помощью решение этой задачи. 14. Постройте функцию Коши начальной задачи ( ) ( ) ( ), (0) 0 y t y t f t y ′ + = = Запишите с ее помощью решение этой задачи. 15. Запишите общий вид уравнения Бернулли и опишите алго- ритм его решения. Найдите общее решение уравнения 2 y y y x ′ − = 16. При каком условии уравнение ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy + = явля- ется уравнением в полных дифференциалах? Запишите его первый интеграл и общее решение. |