Курс лекций Москва Физический факультет мгу им. М. В. Ломоносова 2016 Содержание 2 удк 517. 9 Ббк 22. 161. 6
 Скачать 1.87 Mb.
|
|
Содержание 1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА Н.Н. Нефедов, В.Ю. Попов, В.Т. Волков ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Курс лекций Москва Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова 2016 Содержание 2 УДК 517.9 ББК 22.161.6 Н е ф е д о в Н . Н . , П о п о в В . Ю . , В о л к о в В . Т . Обыкно- венные дифференциальные уравнения. Курс лекций — М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2016. — 200 с. ISBN 978-5-8279-0134-1 Учебное пособие подготовлено на основе многолетнего опыта чте- ния авторами общего курса «Обыкновенные дифференциальные уравне- ния» и наиболее полно соответствует программе данного курса, читаемого в настоящее время для студентов физического факультета МГУ. В книге рассмотрены классические теоремы о существовании и единственности решений некоторых классов дифференциальных уравне- ний и систем, изложены традиционные методы исследования линейных за- дач. Наряду с классическими результатами значительное место отведено знакомству с качественной теорией нелинейных дифференциальных урав- нений, изучению фазовой плоскости, теории устойчивости, современным асимптотическим методам, что чрезвычайно важно для обучения будущих физиков. Большое внимание авторы уделяют изучению краевых задач, причем, в отличие от традиционных учебников по дифференциальным уравнениям, подробно рассмотрены подходы к исследованию нелинейных краевых задач. Заключительные лекции посвящены рассмотрению линей- ных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. При изложении материала используются оригинальные методики доказательств, основанные на применении классических теорем сравнения и современных результатов, полученных на их основе. Для студентов физических специальностей университетов. Рецензенты: профессор Н.Х. Розов, профессор А.В. Тихонравов ISBN 978-5-8279-0134-1 © Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2016 г © Коллектив авторов, 2016 г. Системы линейных дифференциальных уравнений 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .................................................................................................................5 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ Лекция 1............................................................................................................6 § 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения ...................6 § 2. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения ..............................8 § 3. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл ..................10 § 4. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Дополнительные условия.................................................................15 § 5. Геометрическая интерпретация ОДУ .................................................................18 Лекция 2.............................................................................................................. § 6. Примеры задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями..........................................................................................................21 Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Лекция 3..........................................................................................................31 § 1. Простейшие случаи интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. .................................................................................................................31 Лекция 4..........................................................................................................43 § 2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения .............................................................................................................43 Лекция 5..........................................................................................................58 § 3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий............................................................................................58 § 4. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств............................60 Лекция 6..........................................................................................................67 § 5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. ...........................................................................67 § 6. Уравнения n-го порядка, разрешенные относительно старшей производной.71 § 7. Замечания, примеры, упражнения.....................................................................72 Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА Лекция 7..........................................................................................................76 § 1. Общие свойства линейных ОДУ n-го порядка...................................................76 § 2. Линейное однородное уравнение. .......................................................................78 § 3. Неоднородное линейное уравнение. .................................................................83 Лекция 8..........................................................................................................89 § 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами...................................89 Оглавление 4 Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Лекция 9..........................................................................................................98 § 1. Общие свойства систем линейных ОДУ.............................................................98 § 2. Однородная система...........................................................................................100 § 3. Неоднородная система .......................................................................................104 Лекция 10......................................................................................................110 § 4. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами..................110 § 5. Некоторые приемы, упрощающие решение линейных дифференциальных уравнений и систем ............................................................................................115 Глава 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Лекция 11......................................................................................................120 § 1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка ................................................................................................................120 Лекция 12......................................................................................................133 § 2. Нелинейные краевые задачи.............................................................................133 Глава 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Лекция 13......................................................................................................139 § 1. Постановка задачи. Основные понятия ............................................................139 § 2. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Устойчивость тривиального решения................................140 § 3. Второй метод Ляпунова. Лемма Ляпунова.......................................................143 § 4. Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова). Теорема Ляпунова...........................................................................147 § 5. Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости.149 Лекция 14 .....................................................................................................155 § 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами .......................................155 § 7. Консервативная механическая система с одной степенью свободы ..............158 § 8. Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения 2-го порядка .160 Глава 7. ПОНЯТИЕ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ Лекция 15......................................................................................................174 § 1. Понятие о регулярных и сингулярных возмущениях......................................174 § 2. Регулярно возмущенная задача .........................................................................176 § 3. Сингулярные возмущения ................................................................................182 Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 16......................................................................................................190 § 1. Линейное однородное уравнение ......................................................................190 § 2. Общее решение линейного уравнения в частных производных.....................191 § 3. Задача Коши........................................................................................................194 § 4. Квазилинейное уравнение..................................................................................197 Список литературы.................................................................................................199 Введение 5 Предисловие Предлагаемое издание соответствует курсу лекций «Дифферен- циальные уравнения», читаемому в настоящее время для студентов 2-го курса физического факультета МГУ (4-й семестр). Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения авторами лекций на физическом факультет МГУ. В его основу положены разде- лы, как традиционно рассматриваемые в курсе дифференциальных уравнений, так и существенно модернизированные специально для данного курса лекций. Среди важных особенностей этого курса следует отметить усиление разделов, где обсуждаются нелокальные постановки начальных задач и использование этих результатов при рассмотрении линейных уравнений и систем. При этом авторам представляется ме- тодически важным демонстрация подходов и математических идей на простых примерах и задачах. Более подробное изложение некото- рых разделов можно найти в книгах [1-3]. Повышенное внимание уделено методу дифференциальных не- равенств, который применяется как в начальных задачах (теоремы Чаплыгина), так и в нелинейных краевых задачах (теорема Нагумо). Последний раздел, на наш взгляд, отражает современную тенденцию применения в приложениях более сложных нелинейных моделей и является введением в аналогичные разделы теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим также подробное рассмотрение качественной теории дифференциальных уравнений, где, наряду с отмеченными выше теоремами о дифференциальных неравенствах, рассматриваются ме- тоды исследования дифференциальных уравнений на фазовой плос- кости и элементы теории устойчивости. Также существенно перера- ботан и дополнен материал по асимптотическим методам, изложе- ние которого, на наш взгляд, особенно важно для студентов- физиков. Авторы благодарны за полезные советы в ходе подготовки этого курса лекций В.Ф. Бутузову, А.Б. Васильевой, А.Г. Яголе, А.А. Па- нину и другим коллегам по кафедре математики физического фа- культета МГУ, сделавшим ценные замечания, а также М.А. Теренть- еву за помощь в оформлении издания. Авторы Глава 1 6 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ Лекция 1 § 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения Определение 1. Дифференциальным уравнением (ДУ) назы- вают уравнение, в котором неизвестная функция находится под зна- ком производной или дифференциала. Определение 2. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то уравнение называют обыкновенным дифференци- альным уравнением (ОДУ). Примеры. 1) Задачу отыскания всех первообразных ( ) y x для заданной функции [ ] ( ) , f x C a b ∈ можно записать в виде ОДУ ( ) dy y f x dx ′ ≡ = Как известно из курса математического анализа, это уравнение име- ет на [ ] , a b однопараметрическое семейство решений вида ( ) ( , ) y x C F x C = + , где ( ) F x – одна из первообразных функции ( ) f x , а C R ∈ – вещественный параметр. 2) Замечательным свойством функции ( ) x y x e = является ра- венство ее своей производной, что позволяет для этой функции за- писать обыкновенное дифференциальное уравнение y y ′ = , решени- ем которого является любая функция вида ( ) x y x Ce = . Проверьте это самостоятельно. 3) Поскольку первая производная координаты по времени в механике называется скоростью, то прямолинейное равномерное движение со скоростью v описывается ОДУ dx x v dt ≡ = , а его реше- ние, удовлетворяющее начальному условию ( ) 0 0 x t x = , имеет вид ( ) ( ) 0 0 x t x v t t = + − Введение 7 4) Аналогично, прямолинейное равноускоренное движение с ускорением a описывается ОДУ 2 2 ≡ = d x x a dt , а его решение, удов- летворяющее начальным условиям ( ) 0 0 x t x = , ( ) 0 0 x t v = имеет вид ( ) ( ) 2 0 0 0 0 ( ) 2 − = + − + a t t x t x v t t 5) Если в уравнении окружности 2 2 2 + = x y R переменные x и y считать дифференцируемыми функциями ( ) x x t = , ( ) y y t = па- раметра t , то после дифференцирования обеих частей равенства по- лучится обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее семейство всех окружностей с центром в начале координат: 0 xdx ydy + = , или 0 dx dy x y dt dt + = , или dy x dx y = − . Легко проверить, что одним из решений этих уравнений явля- ется пара функций sin x R t = , cos y R t = . Видно, что это пара функ- ций является также решением следующей системы дифференциаль- ных уравнений: x y y x = ⎧ ⎨ = − ⎩ 6) Уравнение малых линейных свободных колебаний без зату- хания имеет вид 2 0 0 x x ω + = . Проверьте, что его решением является функция ( ) 1 0 2 0 cos sin x t C t C t ω ω = + , или ( ) ( ) 0 sin x t A t ω ϕ = + . Убе- дитесь в том, что сделав замены 1 x x = , 2 x x = , уравнению 2 0 0 x x ω + = можно сопоставить эквивалентную систему дифферен- циальных уравнений 1 2 2 2 0 1 x x x x ω = ⎧⎪ ⎨ = − ⎪⎩ 7) Уравнение малых линейных свободных затухающих коле- баний имеет вид 2 0 0 2 0 γ ω + + = x x x , 0 0 0 γ ω < < . Проверьте, что его решением является функция ( ) ( ) 0 1 2 cos sin γ ω ω − = + t x t e C t C t , или ( ) ( ) 0 sin γ ω ϕ − = + t x t Ae t , где 2 2 0 0 ω ω γ = − . Убедитесь в том, что Глава 1 8 сделав замены 1 x x = , 2 x x = , уравнению 2 0 0 2 0 x x x γ ω + + = можно сопоставить эквивалентную систему дифференциальных уравнений 1 2 2 2 0 2 0 1 2 x x x x x γ ω = , ⎧⎪ ⎨ = − − ⎪⎩ § 2. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения В нашем курсе мы, как правило, будем обозначать неизвест- ную функцию либо буквой x , тогда независимой переменной будет t ; либо буквой y , тогда независимой переменной будет x . Мы бу- дем также использовать сокращенные обозначения ( ) ( ) , , , , = n n t J x x x x x … или ( ) ( ) , , , , ′ ′′ = n n x J y y y y y … В этом случае произвольное дифференциально уравнение с одной неизвестной функцией может быть записано в виде ( ) , 0 = n F t J x , или ( ) , 0 = n F x J y Определение 3 . Порядком дифференциального уравнения на- зывается наивысший порядок входящей в него производной. Например, ( ) ( ) 2 , 0 F x J y F x y y y ′ ′′ ≡ , , , = – обыкновенное диф- ференциальное уравнение 2-го порядка. Определение 4 . Уравнением, разрешенным относительно старшей производной, называется ОДУ вида ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , , , , , , − ′ ′′ = ≡ n n n x y x f x y y y y f x J y … Определение 5 . Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, правая часть которого не содержит явно независимой переменной, называется автономным, т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , , , , − ′ ′′ = ≡ n n n x y x f y y y y f J y … Определение 6 . Нормальной системой ОДУ называют систему дифференциальных уравнений первого порядка вида Введение 9 1 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ′ = , , , , ⎧ ⎪ ′ = , , , , ⎪ ⎨ , ⎪ ⎪ ′ = , , , ⎩ n n n n n f x y y y f x y y y f x y y y или векторной форме ( ) ( ) , y x f x y ′ = , где ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) n y x y x y x y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … , ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ′ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ ⎜ ⎟ ′ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ′ ⎝ ⎠ n y x y x y x y x … , ( ) 1 1 2 1 1 ( ) ( ) , ( ) n n n n f x y y f x y y f x y f x y y , , , ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ , , , ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , , , ⎝ ⎠ … Определение 7 . Если правая часть нормальной системы не содержит явно независимой переменной, то ее называют динамиче- ской системой Подчеркнем характерную особенность обыкновенных диффе- ренциальных уравнений, отличающую их от прочих уравнений, со- держащих производные неизвестных функций: все неизвестные должны быть функциями одного вещественного аргумента; все они и их производные должны входить в уравнение только в виде своих значений в одной и той же переменной точке, которая также может фигурировать в уравнении. Примеры дифференциальных уравнений, не относящихся к обыкно- венным дифференциальным уравнениям: 1) ( ) ( ) 2 x t x t = ; 2) ( ) ( ) 1 x t x t = − – уравнение с запаздывающим аргументом или дифференциально-разностное уравнение; 3) ( ) ( ) 0 τ τ = ∫ t t x t x d – интегро-дифференциальное уравнение. Определение 8 . Если в уравнении неизвестная функция за- висит от нескольких переменных, то такое уравнение называют дифференциальным уравнением в частных производных Глава 1 10 Примеры дифференциальных уравнений в частных производных. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ,grad , A r u r F r u = – уравнение в частных производ- ных 1-го порядка. 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , div , , grad , , , u r t k r u t u r t F r u t t ∂ = + ∂ – уравнение ко- лебаний (волновое уравнение) – уравнение в частных произ- водных 2-го порядка. 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , div , , grad , , , u r t k r u t u r t F r u t t ∂ = + ∂ – уравнение диффузии, (теплопроводности, Шрёдингера и т.д.) – уравне- ние в частных производных 2-го порядка. 4) ( ) ( ) ( ) ( ) div , grad , k r u u r F r u = − – уравнение Пуассона (Лапла- са, если 0 F ≡ ) – уравнение в частных производных 2-го по- рядка. 5) ( ) , , 1 , 0 f r v t f e f v E v B t r m c v ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ + + + = ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ – уравнение Власова- Максвелла – уравнение в частных производных 1-го порядка. |