Главная страница
Навигация по странице:

  • Совокупность этих цифр используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления или базой (базовые цифры).

  • Количество символов в алфавит системы счисления при натуральном основании соответствует основа­нию системы счисления.

  • Позиция символа в изо­бражении числа называется разрядом.

  • Правила представления чисел в позиционных системах счисления

  • Из формулы следует, что в любой однородной позиционной системе счисления число можно представить как сумму произведений цифр этого числа на основание системы счисления в некоторой степени.

  • Курс лекций схемотенхника. Курс лекций схемотехника. Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности


    Скачать 0.83 Mb.
    НазваниеКурс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности
    АнкорКурс лекций схемотенхника
    Дата08.02.2023
    Размер0.83 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаКурс лекций схемотехника.docx
    ТипКурс лекций
    #926629
    страница2 из 14
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

    Непозиционные системы счисления


    Все непозиционные системы счисления задаются перечислением изображаемых в них значений (или таблицей). Классическим примером непозиционной системы счисления является, так на­зываемая, римская система счисления, в которой числа изображаются буквами латинского алфавита.

    Так буква (символ) I всегда обозначает 1,

    V всегда обозначает 5,

    X всегда обозначает 10,

    L всегда обозначает 50,

    С всегда обозначает 100

    D всегда обозначает 500,

    М всегда обозначает 1000 и т.д.

    Например, число 1678 запишется в римской системе счисления в виде MDCLXXVIII Из этого примера видно, что значения написанных рядом букв при изображении числа складываются. Для уменьшения числа требуемых сим­волов, в римской системе счисления было введены дополнительные правила. Размещение меньшего числа справа от большего числа означает прибавление его к большему числу. Так VI - означает 6, XI - 11, LX - 60, а размещение меньшего числа слева от большего числа означает вычитание. Например, IV -означает 4, IX - 9, XL – 40. Число 247 запишется в виде –CCXLVII

    Для записи больших чисел в непозиционных системах счисления надо либо записывать длинные строки из повторяющихся символов, либо увеличи­вать набор этих символов. Это и явилось общим недостатком всех непозиционных систем счисления. Поэтому для записи больших чисел в римской сис­теме счисления, чтобы не вводить новых символов были введены дополни­тельные обозначения: над символами основного набора ставилась черточка, которая обозначала, что данный символ (число) надо умножить на 1000. Не такие приемы все равно не решали проблемы записи очень больших чисел, с которыми приходится иметь дело в повседневной жизни.

    Самая простая непозиционная система счисления, имеющая наимень­шее число символов — аддитивная система, в которой используется только одни символ – I. В ней единице соответствует I, 2 - II, 3 - III, 4 – IIII. И во­обще, величина числа равна количеству одинаковых знаков его представления. Так как в этой системе используется только одна цифра - I, то иногда такую систему счисления называют единичной или палочной.

    В непозиционных системах счисления количественные значения цифр не меняется при изменении их положения в последовательности цифр представ­ляющей число. В непозиционных системах счисления действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют строгих правил, и в этих систе­мах нельзя выражать отрицательные и дробные числа. В силу указанных не­достатков, непозиционные системы счисления имеют ограниченное примене­ние. В основном их используют для обозначения каких-либо натуральных чи­сел - как правило, для наименования дат, веков, годов, томов, глав и т.д.

    Ранее использовались и другие непозиционные системы счисления. Так из­вестны древнеегипетская и вавилонская непозиционные системы счисления. У древних славян использовалась, так называемая, алфавитная системы счисления, в которой в качестве цифр применялись буквы древнерусского алфавита,

    Позиционные системы счисления


    Большее распространение получили позиционные системы счисления, которые являются более совершенными по отношению к непозиционным системам счисления.

    Позиционной системой счисления называется система представления чисел, в которой количественное значение каждой цифры, входящей в запись числа, зависит от места, то есть по­зиции, в ряду цифр, изображающих число.

    В каждой позиционной системе счис­ления используется определенный набор символов (их договорились называть цифрами), последовательная запись которых изображает число.

    Совокупность этих цифр используемых в позиционной системе счисления для записи чисел, называется алфавитом системы счисления или базой (базовые цифры).

    Существуют различные позиционные системы счисления. Возможно бесчисленное множество позиционных систем, так как за основание можно принять любое число, образовав новую систему счисления. С теоретической точки зрения, основанием системы счисления может быть любое ненулевое число (в том числе отрицательные и даже комплексные). Наиболее часто ис­пользуются системы счисления с натуральным основанием, более редко отри­цательные целые и дробные основания. В теоретическом отношении все сис­темы счисления равноправны. Лишь на практике отдельным системам отдаст­ся предпочтение для тех или иных применений. Во всех системах счисления по одним и тем же правилам выполняются арифметические операции, спра­ведливы одни и те же законы для этих операций.

    Количество символов в алфавит системы счисления при натуральном основании соответствует основа­нию системы счисления.

    Основание показывает, во сколько раз изменяется ко­личественное значение каждой цифры при перемещении на соседнюю пози­цию, и какое число различных цифр входит в алфавит.

    Позиция символа в изо­бражении числа называется разрядом.

    В позиционных системах различают по­нятие базиса системы счисления.

    Базисом системы счисления называют последовательность чисел, каждое из которых показывает, во сколько раз меняется значение цифры в зависимости от се месторасположения (позиции) или "вес" каждого разряда.

    Название системы счисления с натуральным основанием соот­ветствует ее основанию, которое задастся в десятичной системе счисления (например, десятичная, двоичная, восьмеричной и т.д.), В математике и в обычной повседневной практике, чаще всего используется десятичная система счисления, в которой в качестве базы используется десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Базисом десятичной системой счисления является по­следовательность - ...10-3, 10-2, 10-1, 1, 10, 102, 103 ,…10n ...

    Позиционные системы счисления, в которых для всех разрядов числа используется одинаковое основание (базис в соседних разрядах меняются в одинаковое количество раз — в р раз), называются однородными. В любой од­нородной системе счисления с натуральным основанием р базисом является числовая последовательность

    ...,p-3, р-2, р-1, р0 = 1, р12, р3, ...,рn,...,

    кото­рая является геометрической прогрессией со знаменателем равным основанию системы счисления р.

    Применяются также позиционные системы счисления, в которых в ка­честве базиса используется некоторая числовая последовательность, но она не является геометрической прогрессией. Такие системы счисления называются неоднородными. Примерами неоднородных систем счисления могут быть фибоначчиевая система и факториальная система. В фибоначчиевой системе в каче­стве базиса используются числа последовательности Фибоначчи - 1,2,3,5,8,13,..., и далее по закону

    аnn-1 + an-2, а алфавитом в этой системе счисления явля­ются цифры 0, 1. В факториальной системе в качестве базиса используются факториалы натуральных чисел –

    1! = 1, 2! = 2, 3!=6 (n-1)!, n!, где факто­риал числа л (обозначается n!) вычисляется по формуле n!=l*2*3..(n-l)*n. Для каждого разряда в этой системе используется определенный набор цифр из алфавита системы.

    Существуют и другие позиционные системы счисления. Широкое рас­пространение имела двенадцатеричная система счисления, происхождение ко­торой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев од­ной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Ос­татки двенадцатеричная системы счисления до сих пор используются в устной речи и обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго раз­ряда в двенадцатеричной системе счисления - числа 12 - дюжина. Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами. Например, сто­ловые приборы и сервизе или стулья в мебельном гарнитуре (12 стульев - дю­жина стульев, 6 тарелок - полдюжины тарелок), число месяцев в году, в сутках две дюжины часов и т.д. Название единицы третьего разряда в двенадцатерич­ной системе счисления - гросс - встречается теперь редко (наверное, только в кроссвордах), но в торговой практике начала столетия оно бытовало, и его можно было легко встретить. В 1928 году В.В.Маяковский в стихотворении "Плюшкин" писал «… укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек».

    Использовались и другие системы счисления. В Древнем Китае приме­нялась пятеричная система счисления, в Центральной Америке у древних кельтов - 20-ричная система счисления, в Вавилоне - 6-ричная, которая ис­пользуется до сих пор при оперировании и измерении времени и угловых ве­личии.

    При представлении чисел в позиционной системе счислений с любым основанием для однородных систем счисления нулевому разряду (позиция единиц) соответствует младший разряд целой части числа. Номер каждого сле­дующего разряда числа, расположенного слева от запятой (целой частью числа) увеличивается на единицу, а разряд числа, расположенного справа от запятой (дробной частью числа) уменьшается на единицу. Номер разряда показывает, в какую степень надо возвести основание системы счисления.

    Для систем с основанием меньшим десяти можно использовать те же цифры, что и в десятичной системе. В этом случае, надо указывать в какой именно системе счисления записано число. В дальнейшем, при рассмотрении задач, связанных с системами счислений, основание числа записывать в виде индекса справа от числа, либо указывать основание справа от числа в скобках. Само основание, в этом случае, пишется в десятичной системе счисления. На­пример, десятичное число 1928 может быть обозначено как 1928(10) 1342(5) означает, что число записано в пятеричной системе, а 5324(7) означает, что число записано в семеричной системе.

    В позиционной системе счисления с натуральным основанием р должно быть использовано ровно р различных цифр. В любой позиционной системе счисления с натуральным основанием число равное основанию системы записыва­ется в виде 10, поскольку основание есть единица первого разряда, но надо помнить, что эта десятка имеет различное количественное значение в различ­ных системах счисления.
    Правила представления чисел в позиционных системах счисления
    В од­нородной системе счисления с основанием р положительное смешанное чис­ло А(р) записывается в виде последовательности р-ичпых цифр, разделенных запятой на две последовательности, которые выражают целую и дробную части соответственно:

    Вторая строчка равенства называется степенным рядом либо развернутой формой записи числа. Первая строчка называется свернутой формой, которая наиболее употребима. Степенной ряд или данное число можно коротко записать в виде

    где р - основание системы счисления; - цифра в i-ом разряде; n, m - число позиций (разрядов), соответственно, для целой и дроб­ной части числа. m - наименьший разряд в дробной части числа, а также точ­ность приближенного представления числа. Черта над цифрами означает, что это не произведение всех чисел, записанных с помощью цифр, а именно одно число, записанное с помощью этих цифр. Иногда, в дальнейшем, эту черту бу­дем опускать, когда из контекста ясно, что мы имеем дело с многоразрядными числами.

    Сами цифры и их обозначения берутся из алфавита, который содержит р символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эк­вивалент - числовое значение. В большинстве случаев для любой цифры, вхо­дящей в такую систему счисления, выполняется неравенство



    Из формулы следует, что в любой однородной позиционной системе счисления число можно представить как сумму произведений цифр этого числа на основание системы счисления в некоторой степени. Существуют системы счис­ления, в которых это соотношение не выполняется. Например, в системах, с так называемым, симметрическим или кососимметричным алфавитом. По­ясним что это такое. Если в системе с основанием р множество цифр состо­ит из элементов {0,1…р=1}, то говорят, что система имеет естественное мно­жество цифр; если р=2m+1 и множество цифр равно {-m,....,-1,0,1,....,m], то говорят, что система имеет симметрическое множество цифр, если р = 2m и множество цифр равно {-m....,-1,0,1, ....,m-1} или {-m + 1,....-1,0,1,....m}, то го­ворят, что система имеет кососимметрическое в отрицательную или положи­тельную сторону множество цифр, соответственно.

    Показатели степени основания дробной части -m могут изображаться отрицательными числами от -1до - (из арифметики и алгебры известно, что дробная часть может выражаться с помощью бесконечной периодической или непериодической дроби).

    Для некоторых, часто встречающихся, систем счислений применяются следующие алфавиты или цифры:

    в 2 СС - {0, 1),

    в 3 СС – {0, 1, 2} или {1; 0;1} - симметричный алфавит,

    в 8СС- {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

    в 10 СС - {0, 1. 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9}

    в 16 СС - {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}.

    Приведем примеры записи целых, дробных и смешанных чисел в раз­личных системах счислений. Например,

    0,CD16=

    Эти примеры показывают, что некоторое число можно записать в раз­личных системах счисления. Любое число можно записать в системе счисле­ния с любым основанием.

    В современных ЭВМ используются двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и, конечно, привычная нам, десятичная системы счисления. Для ка­ждой системы используется свой алфавит - набор цифр для изображения чи­сел. Рассмотрим более подробно представление чисел в применяемых в ЭВМ двоичной, восьмеричной н шестнадцатеричной системах счисления.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


    написать администратору сайта