Курс лекций схемотенхника. Курс лекций схемотехника. Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности

• Название: Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности
• Анкор: Курс лекций схемотенхника
• Дата: 08.02.2023
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Курс лекций схемотехника.docx
• Тип: Курс лекций; #926629
• страница: 9 из 14

Импликация

Импликация (логическое следование, от implicatio — тесно связывать) яв­ляется также простейшей логической операций логики высказываний. Эта операций в классической логике выражается словосочетанием «Если . ., то или «В необходимо для А»; «А достаточно для В». Импликация обозначается А В или А В. По определению импликация А В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно. Таблица истинности для импликации имеет следующий вид:

А	В	А В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Из первых двух строчек таблицы следует, обычно использующееся в классической логике, утверждение "из лжи можно вывести все что угодно", то сеть получить как истинное, так и ложное высказывание.

Например, А) Если 2 + 3 = 1, то 2 2 = 4.

Б) Если 2+ 3=4, то 2 2 = 5.

Очень часто высказывание, стоящее после слова "Если", называется ос­нованием или посылкой, а стоящее после слова "то", называется следствием или заключением. Например, "Если идет дождь, то земля мокрая". Здесь простое высказывание "идет дождь" – основание, а следствие - "земля мокрая''.

Эквиваленция

Эквиваленция (эквивалентность, двойная импликация, от acquivalens — равноценное) является также простейшей логической операцией. Эквиваленция обозначается А В или А В. Сложное высказывание А В (читается: А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда А истинно и В истинно либо А ложно и В ложно. В остальных случаях А В ложно. Эквиваленция задается следующей таблицей истинности.

А	В	А В
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Таким образом, сложное высказывание А В - это высказывание, в котором утверждается одновременно наличие или отсутствие ситуаций А и В. В классической логике и на естественном языке эквиваленция выражается сло­восочетаниями: «Если и только если . . , то . .» , «В том и только в том случае, когда. . , то . .» «Тогда и только тогда, когда ..». "Тогда и только тогда ко­гда, А необходимо и достаточно для В". В соответствии с определением эквиваленции как двойной импликации, ее можно представить как конъюкцию двух импликаций: из А следует В, а из В следует А



Если сравнить приведенные таблицы истинности для эквиваленции и исключающей дизъюнкции, то видно, что одна является инверсией другой (исклю­чающее ИЛИ есть инверсия эквиваленции и наоборот). Поэтому часто логиче­скую связку исключающее ИЛИ так и называют неэквивалентность. Некоторые простейшие логические операции не являются независимыми, они могут быть выражены через систему других простейших логических операций.

Например, А В = , то есть эквиваленция может быть выражена через строгую дизъюнкцию и отрицание. В свою очередь логическая операция исключающей дизъюнкции может быть выражена также через операции конъ­юнкции, дизъюнкции и отрицания следующим образом:



Как видим, все логические операции, за исключением операции отрица­ния, являются бинарными или двухместным» операциями, в которых обяза­тельно присутствуют два операнда, а операция отрицания является унарной или одноместной логической операцией, которая действует на одно логическое вы­сказывание или операнд.
2. Логические функции

С помощью логических операции и логических переменных можно со­ставить различные логические функции.

Логические функции от любого количе­ства логических переменных часто называют двоичными функциями (Булевыми функциями), так как при любом допустимом наборе логических переменных логические функции принимают только два значения - истина или ложь (1 или 0). Каждая логическая переменная также может принимать только два значения - истина или ложь (1 или 0). Логические переменные иногда назы­вают пропозиционными переменными {от propositio - предложение, высказыва­ние).

Кроме высказываний и логических операций в алгебре высказываний рассматриваются логические константы. Таких логических констант две - 1 и 0. Они отождествляются с абсолютной истиной и абсолютной ложью.

Введенных в рассмотрение логических операций вполне достаточно для того, чтобы из простейших высказываний образовывать любые сложные вы­сказывания. Зная таблицы истинности логических операции, можно построить таблицу истинности для любого сложного высказывания.

Примерами составных высказываний могут быть следующие высказыва­ния:







Приведенные выше высказывания называются формулами алгебры вы­сказываний. Эти формулы состоят из простых высказываний А, В, знаков логических операций ( ), а также скобок. Скобки, как и в обыч­ной алгебре, указывают последовательность выполнения логических операций. При отсутствии скобок все логические операции выполняются в зависимости от их приоритетности. Иногда вместо приоритетности в алгебре логики гово­рят о "связывании" логических операций: первой всегда выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, дизъюнкция, исключающая дизъюнкция, имплика­ция и эквиваленция. Все введенные выше логические операции приведены в порядке приоритета. Например, по приоритету конъюнкция выполняется раньше дизъюнкции. В этом случае говорят, что конъюнкция связывает силь­нее, чем дизъюнкция.