Курс лекций схемотенхника. Курс лекций схемотехника. Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности

• Название: Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности
• Анкор: Курс лекций схемотенхника
• Дата: 08.02.2023
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Курс лекций схемотехника.docx
• Тип: Курс лекций; #926629
• страница: 12 из 14

Законы идемпотентности.

Idempoiens — одинаковость; сохраняющий ту же степень.

1. А + А = А - идемпотентность дизъюнкции

2. А А = А идемпотентность конъюнкции.

Законы идемпотентности (их еще иногда называют формулами приведе­ния) определяют результат логической операции для двух одинаковых членов.

Законы коммутативности.

Commutatio - изменение, перемена.

3. A + В = В + А - коммутативность дизъюнкции.

3¹ А В = В А – коммутативность строгой дизъюнкции.

4. А В = В • А - коммутативность конъюнкции

5. А В = В А - коммутативность эквиваленции.

Законы коммутативности (переместительиые законы) утверждают, что для операций логического сложения, строгого логического сложения, умноже­ния и эквиваленции безразлично в каком порядке записываются высказыва­ния.

Законы ассоциативности

Associatio- соединение.

6. - ассоциативность дизъюнкции

7. - ассоциативность конъюнкции.

8. (А В) С = А (В С) - ассоциативность эквиваленции.

Законы ассоциативности (сочетательные законы) утверждают, что при выполнении операций логического сложения, умножения или эквиваленции без­различен порядок их выполнения.

Дистрибутивные законы

Distribution- размещение, распределе­ние

9. А • (В + С) = (А • В) + (А С) - 1 дистрибутивный закон.

10. А + (В• С) = (А + В) (А + С) – 2 дистрибутивный закон.

Дистрибутивные законы (распределительные законы) определяют порядок преобразований сложных логических операций. Одинаковые логические переменные в дизъюнкции и конъюнкции можно выносить за скобки. 1 дистрибутив­ный закон называется также распределением конъюнкции по дизъюнкции.

2дистрибутивный закон, в отличие от предыдущего, не имеет аналога в алгебре и применяется только для логических переменных и функций. 2 ди­стрибутивный закон называется также распределением дизъюнкции по конъюнк­ции.

Законы инфолюции.

11. - закон двойного отрицания.

Закон двойного отрицания утверждает, что двойное отрицание некоторого высказывания равносильно этому высказыванию.

12.

13.

Законы де Моргана

Законы отрицания - законы инверсии. Inversio- переворачивание.

14. - первый закон де Моргана.

15. - второй закон де Моргана.

С помощью этих формул конъюнкция может быть выражена через дизъюнкцию с отрицанием и наоборот, дизъюнкция может быть выражена че­рез конъюкцню с отрицанием.

Операции с логическими константами.

16. А+1=1

А 1=А

17. А+0=А

А 0=0

Операции с переметши и ее инверсией.

18. - закон исключенного третьего

закон непротиворечия (противоречия)

Применение операции инверсии для логических констант.

19.

20.

Из законов дистрибутивности и операций с переменной и се инверсией вытекают важные следствия, которые называют формулами расщепления:

21. - первая формула расщепления

22. - вторая формула расщепления.

Некоторые из приведенных законов математической лотки аналогичны соответствующим законам арифметики или алгебры и поэтому легко запоми­наются. Но некоторые из них не имеют соответствующих аналогов в арифме­тике и алгебре. Наиболее сильно отличаются от привычных законов алгебры законы идемпотентности, законы инверсии и инфолюции, а также законы, ис­ключающие тождественно истинные и тождественно ложные высказывания, которые определяют работу с логическими константами. Все без исключения законы соответствуют законам над множествами в теории множеств, которые также подчиняются законам булевой алгебры.

С помощью аппарата алгебры логики достаточно легко записываются за­коны классической логики: закон двойного отрицания , закон ис­ключения третьего , закон непротиворечия или ,

закон тождества А = А или А А = 1

С помощью аппарата алгебры логики можно записать некоторые прин­ципы, применяемые к логике и теории доказательств. Например, прием дока­зательство от противного: если утверждение влечет некоторое следствие-утверждение, но не выполняется, то не выполняется и само утверждение. В символах алгебры логики это записывается следующим образом

.

Законы логики можно доказать и с помощью таблиц истинности. Дока­зательство законов де Моргана с помощью таблиц истинности уже было фак­тически получено в предыдущем примере.

Следствия из законов алгебры логики.

Из законов алгебры логики выте­кают очень важные правила, которые применяются для преобразования и уп­рощения логических формул. Эти правила преобразовании логических формул называются следствиями алгебры логики.

Такими следствиями являются:

23.

24.

Законы поглощения.

25. - закон поглощения для конъюнкции.

26. - закон поглощения для дизъюнкции.

Данные законы распространяются на большее количество членов. На­пример, закон поглощения для дизъюнкции трех переменных может быть за­писан в следующем виде:



Укажем еще два следствия.

27. - закон Блейка-Порецкого.

28. - закон Блсйка-Порецкого.

В этих формулах пропадают переменные, входящие с отрицанием отно­сительно внешней переменной в соответствующих конъюнкциях и дизъюнк­циях.

Формула (27), также как и законы (25) и (26), являются законом поглоще­ния. Формула (28) называют правшам свертки, которое является следствием 2 дистрибутивного закона (10). Докажем формулу (28).

Применив к левой части формулы (28) 2 дистрибутивный (распредели­тельный) закон, получим



Формулу (27) можно доказать следующим образом:



Укажем также важные следствия из законов де Моргана. Отрицание логи­ческой суммы нескольких высказываний равно произведению отрицании от каждого из высказываний

29.

Отрицание логического произведение нескольких высказываний равно сумме отрицаний от каждого из высказываний

30.

31.

32.

Приведенные равносильности используют Для преобразования логиче­ских формул. Рассмотрим несколько примеров.

2. 
   Применение законов алгебры логики
   

Пример 1.

С помощью аналитических преобразований в базисе { } получить равносильную логическую формулу для исключающей дизъюнкции .

Решение.

Операция исключающей дизъюнкции является отрицанием эк­виваленции. Используя законы инфолюции и законы де Моргана, имеем:

1 способ.

1. 
   по формуле 31
   
2. 
   по формуле 13
   
3. 
   по формуле 14
   
4. 
   по формуле 15
   

2 способ.

1. по формуле 31

2. по формуле 32

3. по формуле 12





4. по формуле 15

5. по формуле 14





Таким образом,

Пример 2.

Упростить логическую функцию

Решение.

1. по формуле 29

2. по формуле 11

3. по формуле 15



4. по формуле 9

5. по формуле 18

6.



Пример 3

Преобразовать логическую функцию

1. 
   по формуле 11
   
2. 
   по формуле 14
   
3. 
   по формуле 15
   

4.



А+А=А



=

Принцип двойственности
Представленные законы (пары: (1) и (2), (3) и (4), (6) и (7), (9) и (10), (14) и (15), (19)# и (20), (21) и (22)) показывают, что между формулами, запи­санными слева и справа, существует вполне определенная зависимость. Если в любой формуле дизъюнкцию заменить конъюнкцией, конъюнкцию заменить дизъ­юнкцией, 0 заменить 1,1 заменить 0, а отрицание сохранить без изменения, то формула с нечетным номером (например, (9) перейдет в формулу с четким номе­ром (10), и наоборот). Значит, с помощью указанных замен можно из одних равносильностей получить другие. Эта закономерность называется законом или принципом двойственности. Этот закон справедлив вообще для всех формул ал­гебры логики. Дело в том, что приведенных равносильностей вполне достаточ­но, чтобы с их помощью доказать любую другую равносильность. Поэтому ус­тановленная закономерность сохраняется и по отношению к любым другим равносильностям, если только соответствующие формулы не содержат импли­кацию. В связи с этим говорят, что операция конъюнкции двойственна опера­ции дизъюнкции и наоборот, а формулы F₁и F₂называют двойственными, если одна получается из другой, как указано выше, заменой каждой операции на двойственную операцию.

Иллюстрацией сказанного является следующий пример.

Пример. Дана формула . Получить двойственную ей формулу.

Решение.

Преобразуем исходную формулу в равносильную.



=

Составим теперь двойственную равносильность



Эту равносильность можно доказать с помощью формулы (10).

Обобщая вышеприведенное правило получения двойственной формулы, в математической логике доказано, что если есть некоторая формула F(A,B,...,Z) и к ней двойственна логическая формула Ф(А,В,...Z) то они удовлетворяют тождествам

или .

Эти соотношения используют при преобразовании логических формуя и называют правилам отрицания, которое дополняет следствия алгебры логики.

Справедлив также принцип двойственности; Если две логические форму­лы F₁(A,B,...,Z) и F₂(A,B,...,Z) равносильны, то сеть

F₁(A,B,...,Z) = F₂(A,B,...,Z) и каждая из них имеет двойственную формулу Ф₁(A,B,...,Z) и Ф₂(A,B,...,Z), то рав­носильны и двойственные формулы

F₁(A,B,...,Z) = F₂(A,B,...,Z)
Тема 1.6 Переключательные функции

1. 
   Переключательные функции
   

В логике не требуется знания абсолютного значения величины, поэтому физическая величина, подвергаемая логическим преобразованиям, называется переменной, или аргументом, и представляется ее положительная (Н) или менее положительная (L). Этим Значениям, называемым логическими уровнями, условно приравнивая значения 1 и 0, или наоборот 0 и 1, в зависимости от го соглашения.

Логические переменные могут подвергаться различным преобразованиям с использованием логических элементов. Такие преобразования описываются с помощью переключательных функций в которых используются различные буквы латинского алфавита: А, В, С, D, X, Y, x₁, x₂, х_з и т.д.

Функция от входных переменных называется переключательной если она так же, как ее аргументы, принимает два значения: лог ческой единице (лог. 1) или логического нуля (лог. 0).

2. 
   Основные базисы.
   

Одна из основных задач синтеза заключается в выборе типов элементов, на которых будут реализовываться заданные функции. Поэтому необходимо определить минимальный набор логических элементов (базис), образующих функционально полную систему элементов.

Базис — это функционально полный набор элементов, с помо­щью которого можно реализовать сколь угодно сложную переклю­чательную функцию. Их может быть несколько. Базис из логичес­ких элементов И, ИЛИ, НЕ называется основным.

Пример:

Представить логическую функцию в базисе И-НЕ

= = .
Задания для самостоятельной работы

Представить заданные логические функции в заданном базисе

Номер	Логические функции	Базис
1		И-НЕ
2		И-НЕ
3	, , ;	И-НЕ
4	, , ;	ИЛИ-НЕ
5	, , ;	ИЛИ-НЕ
6	, , .	ИЛИ-НЕ