Курс лекций схемотенхника. Курс лекций схемотехника. Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности
Скачать 0.83 Mb.
|
Двоичная система счисления (бинарная или диодная система счисления)Имеет цифровой набор {0,1/}, р=2. В двоичной системе 102 = 210. Иногда вместо индекса 2 для обозначения двоичных чисел используется латинская буква b (binary). Например, 11011b. Смешанное двоичное число можно представить выражением в десятичной системе счисления В соответствии с этой формулой целое двоичное число 1000101(2) можно записать следующим образом: Смешанное двоичное число 10011,0101(2) можно записать следующим образом: Двоичная система счисления очень широко используется в ЭВМ, поэтому полезно знать наиболее часто встречающиеся степени числа 2. В таблице 2.1.1 приведены первые 12 степеней числа 2 Таблица 2.1.1
Восьмеричная система счисленияДля изображения чисел в восьмеричной системе используются первые 8 цифр десятичной системы счисления - {0,1, 2,3,4,5,6,7}, р = 8. В восьмеричной системе 108 = 810. В восьмеричной системе счисления, целое число 53758 имеет вид: =2813(10) Шестнадцатеричная система счисленияДля изображения чисел в шестнадцатеричной системе требуется 16 цифр. Первые десять цифр берутся из десятичной системы счисления, а для шести остальных используются шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита - А, В, С, D, Е, F. Заметим, что можно было бы использовать любые другие шесть символов - например, 1,2,3,4,5,6. Таким образом, в шестнадцатеричной системе имеется набор цифр {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}, р=16. В шестнадцатеричной системе 1016 = 1610. Приведем еще несколько примеров записи целых и дробных шестнадцатеричных чисел. 1АА9,С(16)= = 426,5625 Полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления, которая является наиболее удобной для проведения операций с числами и их восприятия. В таблице 2 1.2 приведены представления десятичных числа от 0 до 21 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Таблица 2,1.2
Преобразование чисел из одной системы в другую Перевод десятичных чисел в другие системы счисления Перевод целых чисел Алгоритм перевода (последовательность шагов): Основание новой системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых промежуточных частных на основание новой с.с. до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее делителя. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного. Пример 1: Перевести число 37 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 3710 = 1001012). 37 : 2 = 18 + 1, значит a0 = 1, 18 : 2 = 9 + 0, значит a1 = 0, 9 : 2 = 4 + 1, значит a2 = 1, 4 : 2 = 2 + 0, значит a3 = 0, 2 : 2 = 1 + 0, значит a4 = 0, 1 < 2, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a5 = 1. Теперь составим число a5 a4 a3 a2 a1 a0 =1001012 Пример 2: Перевести число 315 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 31510 = 4738). 315 : 8 = 39 + 3, значит a0 = 3, 39 : 8 = 4 + 7, значит a1 = 7, 4 < 7, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a2 = 4. Теперь составим число a2a1a0 = 4738 Пример 3: Перевести число 315 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления. (Ответ: 31510 = 13B16). 315 : 16 = 19 + 11, значит a0 = 11, 19 : 16 = 1 + 3, значит a1 = 3, 1 < 16, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a2 = 1. Теперь составим число a2a1a0 = 13B16 Перевод правильных дробей Алгоритм перевода: Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной с.с. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части первого произведения. Пример 1: Перевести число 0,1875 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,00112).
Теперь составим число 0,a-1a-2a-3 = 0, 00112 Пример 2: Перевести число 0,1875 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,148).
Теперь составим число 0,a-1a-2= 0, 148 Пример 3: Перевести число 0,1875 из десятичной в шестнацатеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,316).
Теперь составим число 0,a-1= 0, 316 Перевод смешанных чисел Правило перевода: целая и дробная часть исходного числа переводятся отдельно по рассмотренным выше алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой). Пример: 315,187510 = 473,148 = 13B,316 Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную Алгоритм перевода: Расставить значения степеней основания системы счисления для каждой значащей цифры числа. Цифры числа в исходной системе счисления привести в соответствие с алфавитом десятичной системы счисления. Основание исходной системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с. Записать число в развернутой форме и выполнить необходимые арифметические действия. Пример 1: Перевести число 1001,011 из двоичной в десятичную систему счисления. (Ответ: 1001,011 2 = 9,37510).
Пример 2: Перевести число 726,15 из восьмеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 726,15 2 = 470,20312510).
Пример 3: Перевести число 10A,F из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 10A,F 16 = 266,937510).
Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно Чтобы сформулировать правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную, вспомним рассмотренный ранее кибернетический подход к измерению информации. Уравнение Хартли позволяет определить информационный вес символа iалфавита мощностью N: 2i =N. Мощность алфавита восьмеричной с.с. равна 8, следовательно, информационный вес каждого символа этого алфавита равен трем битам, т.к. 23 =8. Известно, что каждый символ двоичного алфавита несет один бит информации, следовательно, для кодирования каждой цифры восьмеричной с.с. требуется 3 цифры двоичной с.с. Правило перевода: для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой). Пример. Записать число 325,278 в двоичной системе счисления. 325,278 = 011 010 101, 010 111 8-2 = 11010101,0101112 Для перехода от восьмерично-двоичной системы к двоичной отбрасываются незначащие нули слева для целых чисел и справа - для правильных дробей. Для перевода числа из двоичной с.с. в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда – триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются нулями. Пример. Записать число 10111011,011012 в восьмеричной системе счисления. 10111011,011012 = 010 111 011, 011 010 8-2 = 273,328 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно Правило перевода: Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой – четырехразрядным двоичным числом. Пример. Записать число C876,F316 в двоичной системе счисления. C876,F316 = 1100 1000 0111 0110, 1111 0011 16-2 = 1100100001110110,11110011 2 Правило перевода: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по четыре разряда – тетрады и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Пример. Записать число 1011101101,1011011012 в восьмеричной системе счисления. 1011101101,1011011012 = 0010 1110 1101 , 1011 0110 1000 16-2 = 2ED,B688 Арифметические действия в различных системах счисления Действия над числами с основаниями отличными от 10, несколько непривычны, и поэтому вызывают определенные затруднения. Однако правила сложения, вычитания, умножения «столбиком» и деления «уголком», которые используются в десятичной системе счисления, применимы в любой системе счисления. Как и в десятичной системе счисления, при сложении чисел единица переноса и старший разряд появляется, если сумма цифр равна или больше основания рсистемы счисления. При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего старшего разряда «занимается» единица основания. В арифметике все операции, в конечном счете, как будет показано позже, могут быть определены через операцию сложения. Рассмотрим ее выполнение в системе счисления с основанием р. Пусть заданы два целых положительных числа в позиционной системе счисления с основанием р. Запишем эти числа в виде: Сумма этих чисел равна числу, которое может быть представлено в аналогичной форме Сумма этих чисел вычисляется по следующим правилам: операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых; в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы; если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы, то перенос в следующий разряд равен нулю, если сумма цифр равна или больше основания системы - перенос равен единице. Если числа А и Б имеют разное количество разрядов, то для меньшего числа считается, что все цифры недостающих разрядов равны нулю. Количество разрядов суммы S - m может превосходить количество разрядов слагаемых n. П ak bk равило сложения в одном разряде можно пояснить рис. 2.1.1, на котором показана схема работы сумматора в k-м разряде. Пк-1 Пк Sk Здесь k означает перенос k -го разряда в (k +1) разряд, который определяется следующими неравенствами: Пк =0, при Пк =0, при Для суммы, в разряде k, выполняется следующее правило , где sk Цифры суммы чисел могут быть определены только последовательно, начиная с младших разрядов. Поэтому в соответствующих суммирующих схемах ЭВМ (многоразрядных сумматорах) операция суммирования должны выполняться последовательно, что существенно увеличивает время вычисления. |