Главная страница

Курс лекций схемотенхника. Курс лекций схемотехника. Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности


Скачать 0.83 Mb.
НазваниеКурс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности
АнкорКурс лекций схемотенхника
Дата08.02.2023
Размер0.83 Mb.
Формат файлаdocx
Имя файлаКурс лекций схемотехника.docx
ТипКурс лекций
#926629
страница3 из 14
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Двоичная система счисления (бинарная или диодная система счисления)


Имеет цифровой набор {0,1/}, р=2. В двоичной системе 102 = 210. Иногда вместо индекса 2 для обозначения двоичных чисел используется латинская буква b (binary). Например, 11011b. Смешанное двоичное число можно представить выражением в десятичной системе счисле­ния



В соответствии с этой формулой целое двоичное число 1000101(2) можно записать следующим образом:



Смешанное двоичное число 10011,0101(2) можно записать следующим образом:

Двоичная система счисления очень широко используется в ЭВМ, поэто­му полезно знать наиболее часто встречающиеся степени числа 2. В таблице 2.1.1 приведены первые 12 степеней числа 2

Таблица 2.1.1

к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

2к

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

Восьмеричная система счисления


Для изображения чисел в восьмеричной системе используются первые 8 цифр десятичной системы счисления - {0,1, 2,3,4,5,6,7}, р = 8. В восьмеричной системе 108 = 810.

В восьмеричной системе счисления, целое число 53758 имеет вид:

=2813(10)

Шестнадцатеричная система счисления


Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе требуется 16 цифр. Первые десять цифр берутся из десятичной системы счисления, а для шести остальных используются шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита - А, В, С, D, Е, F. Заметим, что можно было бы использовать любые другие шесть символов - например, 1,2,3,4,5,6.

Таким образом, в шестнадцатеричной системе имеется на­бор цифр {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}, р=16. В шестнадцатерич­ной системе 1016 = 1610.



Приведем еще несколько примеров записи целых и дробных шестнадцатеричных чисел.

1АА9,С(16)= = 426,5625

Полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления, которая является наиболее удоб­ной для проведения операций с числами и их восприятия. В таблице 2 1.2 приведены представления десятичных числа от 0 до 21 в двоичной, восьме­ричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 2,1.2

Эквиваленты в системах счисления

Эквиваленты в системах счисления

10 СС

2 СС

8 СС

16 СС

10СС

2СС

8 СС

16 СС

0

0

0

0

11

1011

13

В

1

1

1

1

12

1100

14

С

2

10

2

2

13

1101

15

D

3

11

3

3

14

1110

16

Е

4

100

4

4

15

1111

17

F

5

101

5

5

16

10000

20

10

6

110

6

6

17

10001

21

11

7

111

7

7

18

10010

22

12

8

1000

10

8

19

10011

23

13

9

1001

11

9

20

10100

24

14

10

1010

12

А

21

10101

25

15




  1. Преобразование чисел из одной системы в другую


Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел

Алгоритм перевода (последовательность шагов):

  1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с.

  2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых промежуточных частных на основание новой с.с. до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее делителя.

  3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

  4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.

Пример 1: Перевести число 37 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 3710 = 1001012).

37 : 2 = 18 + 1, значит a0 = 1,

18 : 2 = 9 + 0, значит a1 = 0,

9 : 2 = 4 + 1, значит a2 = 1,

4 : 2 = 2 + 0, значит a3 = 0,

2 : 2 = 1 + 0, значит a4 = 0,

1 < 2, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a5 = 1.

Теперь составим число a5 a4 a3 a2 a1 a0 =1001012
Пример 2: Перевести число 315 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 31510 = 4738).

315 : 8 = 39 + 3, значит a0 = 3,

39 : 8 = 4 + 7, значит a1 = 7,

4 < 7, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a2 = 4.

Теперь составим число a2a1a0 = 4738
Пример 3: Перевести число 315 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления. (Ответ: 31510 = 13B16).

315 : 16 = 19 + 11, значит a0 = 11,

19 : 16 = 1 + 3, значит a1 = 3,

1 < 16, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a2 = 1.

Теперь составим число a2a1a0 = 13B16

Перевод правильных дробей

Алгоритм перевода:

  1. Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной с.с.

  2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.

  3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

  4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части первого произведения.

Пример 1: Перевести число 0,1875 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,00112).

0

1875

2

a-1 = 0

3750

2

a-2 = 0

7500

2

a-3 = 1

5000

2

a-4 = 1

0000

Теперь составим число 0,a-1a-2a-3 = 0, 00112

Пример 2: Перевести число 0,1875 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,148).

0

1875

8

a-1 = 1

5000

8

a-2 = 4

0000

Теперь составим число 0,a-1a-2= 0, 148

Пример 3: Перевести число 0,1875 из десятичной в шестнацатеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 10 = 0,316).

0

1875

16

+ 1

1

1250

8750

a-1 = 3

0000

Теперь составим число 0,a-1= 0, 316

Перевод смешанных чисел

Правило перевода: целая и дробная часть исходного числа переводятся отдельно по рассмотренным выше алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: 315,187510 = 473,148 = 13B,316
Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную

Алгоритм перевода:

  1. Расставить значения степеней основания системы счисления для каждой значащей цифры числа.

  2. Цифры числа в исходной системе счисления привести в соответствие с алфавитом десятичной системы счисления.

  3. Основание исходной системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с.

  4. Записать число в развернутой форме и выполнить необходимые арифметические действия.

Пример 1: Перевести число 1001,011 из двоичной в десятичную систему счисления. (Ответ: 1001,011 2 = 9,37510).

3 2 1 0 -1-2 -3

1001, 01 1 = 123+120+12-2+12-3 = 8+ 1 + 0,25 + 0,125 = 9,37510


Пример 2: Перевести число 726,15 из восьмеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 726,15 2 = 470,20312510).

2 1 0 -1-2

726, 15 = 782+281+680+18-1+58-2 = 448+ 16 + 6 + 0,125 + 0,078125 = 470,20312510


Пример 3: Перевести число 10A,F из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 10A,F 16 = 266,937510).

2 1 0 -1

10A, A = 1162+10160+1516-1 = 256 + 10 + 0,9375 = 266,937510


Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно

Чтобы сформулировать правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную, вспомним рассмотренный ранее кибернетический подход к измерению информации. Уравнение Хартли позволяет определить информационный вес символа iалфавита мощностью N: 2i =N. Мощность алфавита восьмеричной с.с. равна 8, следовательно, информационный вес каждого символа этого алфавита равен трем битам, т.к. 23 =8. Известно, что каждый символ двоичного алфавита несет один бит информации, следовательно, для кодирования каждой цифры восьмеричной с.с. требуется 3 цифры двоичной с.с.

Правило перевода: для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).

Пример. Записать число 325,278 в двоичной системе счисления.

325,278 = 011 010 101, 010 111 8-2 = 11010101,0101112

Для перехода от восьмерично-двоичной системы к двоичной отбрасываются незначащие нули слева для целых чисел и справа - для правильных дробей.

Для перевода числа из двоичной с.с. в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда – триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются нулями.

Пример. Записать число 10111011,011012 в восьмеричной системе счисления.

10111011,011012 = 010 111 011, 011 010 8-2 = 273,328

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно

Правило перевода: Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой – четырехразрядным двоичным числом.

Пример. Записать число C876,F316 в двоичной системе счисления.

C876,F316 = 1100 1000 0111 0110, 1111 0011 16-2 = 1100100001110110,11110011 2

Правило перевода: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по четыре разряда – тетрады и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

Пример. Записать число 1011101101,1011011012 в восьмеричной системе счисления.

1011101101,1011011012 = 0010 1110 1101 , 1011 0110 1000 16-2 = 2ED,B688

  1. Арифметические действия в различных системах счисления

Действия над числами с основаниями отличными от 10, несколько непривычны, и поэтому вызывают определенные затруднения. Однако правила сложения, вычитания, умножения «столбиком» и деления «уголком», которые используются в деся­тичной системе счисления, применимы в любой системе счисления. Как и в десятичной системе счисления, при сложении чисел единица переноса и стар­ший разряд появляется, если сумма цифр равна или больше основания рсис­темы счисления. При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего старшего разряда «занимается» едини­ца основания.

В арифметике все операции, в конечном счете, как будет показано поз­же, могут быть определены через операцию сложения. Рассмотрим ее выпол­нение в системе счисления с основанием р.

Пусть заданы два целых положительных числа в позиционной системе счисления с основанием р. Запишем эти числа в виде:





Сумма этих чисел равна числу, которое может быть представлено в ана­логичной форме



Сумма этих чисел вычисляется по следующим правилам:

  • операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;

  • в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;

  • если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше ос­нования системы, то перенос в следующий разряд равен нулю, если сумма цифр равна или больше основания системы - перенос равен единице.

Если числа А и Б имеют разное количество разрядов, то для меньшего числа считается, что все цифры недостающих разрядов равны нулю. Количество разрядов суммы S - m может превосходить количество разрядов слагаемых n.

П
ak bk
равило сложения в одном разряде можно пояснить рис. 2.1.1, на кото­ром показана схема работы сумматора в k-м разряде.







Пк-1

Пк






Sk



Здесь k означает перенос k -го разряда в (k +1) разряд, который опре­деляется следующими неравенствами:

Пк =0, при

Пк =0, при

Для суммы, в разряде k, выполняется следующее правило

, где sk
Цифры суммы чисел могут быть определены только последовательно, на­чиная с младших разрядов. Поэтому в соответствующих суммирующих схемах ЭВМ (многоразрядных сумматорах) операция суммирования должны выпол­няться последовательно, что существенно увеличивает время вычисления.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14


написать администратору сайта