Главная страница
Навигация по странице:

  • 5.5. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

  • Курс лекций по дисциплине Эконометрика


    Скачать 2.09 Mb.
    НазваниеКурс лекций по дисциплине Эконометрика
    Дата11.05.2023
    Размер2.09 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаlekcii.doc
    ТипКурс лекций
    #1121934
    страница11 из 14
    1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

    5.4. Метод последовательных разностей
    Часто при аналитическом выравнивании ряда используется модель тренда в виде полинома.

    Для определения порядка аппроксимирующего полинома в этом случае выделения тренда широко используется метод последовательных разностей членов анализируемого временного ряда.

    Метод основан на следующем математическом факте: если временной ряд y1, y2, ..., yt, ..., yn содержит в качестве своей неслучайной составляющей алгебраический полином f(t)=a0+a1t+...+aptp порядка р, то переход к последовательным разностям y(1), y(2), …, y(n), повторенный р+1 раз (то есть переход к последовательным разностям порядка р+1), исключает неслучайную составляющую (включая константу a0), оставляя элементы, выражающиеся только через остаточную случайную компоненту u(t).

    Алгоритм метода. Последовательно для k=1,2,… вычисляем разности ky(t) (t=1,2,…, n-k). Анализируем поведение разностей в зависимости от их порядка k. Начиная с некоторого kразности стабилизируются, оставаясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте k. Это значение k ибудет давать порядок сглаживающего полинома, то есть p.

    При применении метода следует иметь в виду, что стабилизация разностей не доказывает, что ряд первоначально состоял из полинома плюс случайный остаток, а только то, что он может быть приближенно представлен таким образом.

    Пример. Имеются данные о базисных темпах роста среднедушевого дохода населения области за 10 месяцев (в % к январю). Расчет первых и вторых разностей показывает, что для ряда yt тренд может быть адекватно описан полиномом второй степени. 

    Таблица 5.5

    Расчет последовательных разностей


    Месяц

    Темпы роста среднедушевого дохода (%), yt

    yt=yt - yt-1

    2yt=yt - yt-1

    Февраль

    102

    -

    -

    Март

    103

    1

    -

    Апрель

    107

    4

    3

    Май

    114

    7

    3

    Июнь

    125

    11

    4

    Июль

    139

    14

    3

    Август

    157

    18

    4

    Сентябрь

    178

    21

    3

    Октябрь

    201

    23

    2

    Ноябрь

    227

    26

    3


    5.5. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда

    Простейшим подходом к моделированию временных рядов, содержащих сезонные колебания, является построение аддитивной или мультипликативной моделей временного ряда.

    Выбор одной из этих моделей основывается на анализе структуры временного ряда.

    Если амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна, то строят аддитивную модель. Если же амплитуда колебаний непостоянна, то есть возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную модель.

    Процесс построения модели ряда в этом случае включает следующие этапы:

    1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Расчет значений сезонной компоненты S.

    2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+U) в аддитивной или (ТU) в мультипликативной модели.

    3. Аналитическое выравнивание уровней (Т+U) или (ТU) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

    4. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (ТS)

    5. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

    Рассмотрим процесс построения аддитивной модели на примере.

    Пример. Имеются данные о количестве продукции (тыс.шт.), проданной фирмой «Вега» в течение последних 20 кварталов.


    Квартал

    Объем

    продаж

    Квартал

    Объем

    продаж

    Квартал

    Объем

    продаж

    Квартал

    Объем

    продаж

    1

    8,4

    6

    9,1

    11

    10,1

    16

    12,2

    2

    8,6

    7

    9,2

    12

    10,8

    17

    11,9

    3

    8,8

    8

    9,9

    13

    10,5

    18

    12,3

    4

    9,5

    9

    9,7

    14

    10,7

    19

    12,5

    5

    8,5

    10

    9,9

    15

    11

    20

    13,2


    Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как разность между фактическим уровнем продаж и центрированными скользящими средними.
    Таблица 5.6

    Расчет оценок сезонной компоненты

    Квартал

    Объем продаж, тыс.шт.

    Итого за 4 квартала

    Скользящая средняя за 4 квартала

    Центрированная скользящая средняя

    Оценка сезонной компоненты

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    8,4































    2

    8,6



















    35,3

    8,825







    3

    8,8







    8,8375

    -0,0375







    35,4

    8,85







    4

    9,5







    8,9125

    0,5875







    35,9

    8,975







    5

    8,5







    9,025

    -0,525







    36,3

    9,075







    6

    9,1







    9,125

    -0,025







    36,7

    9,175







    7

    9,2







    9,325

    -0,125







    37,9

    9,475







    8

    9,9







    9,575

    0,325







    38,7

    9,675







    9

    9,7







    9,7875

    -0,0875







    39,6

    9,9







    10

    9,9







    10,0125

    -0,1125







    40,5

    10,125







    11

    10,1







    10,225

    -0,125







    41,3

    10,325







    12

    10,8







    10,425

    0,375







    42,1

    10,525







    13

    10,5







    10,6375

    -0,1375







    43

    10,75







    14

    10,7







    10,925

    -0,225







    44,4

    11,1







    15

    11







    11,275

    -0,275







    45,8

    11,45







    16

    12,2







    11,65

    0,55







    47,4

    11,85







    17

    11,9







    12,0375

    -0,1375







    48,9

    12,225







    18

    12,3







    12,35

    -0,05







    49,9

    12,475







    19

    12,5































    20

    13,2














    Используем полученные оценки сезонной компоненты для расчета сезонности S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, использовав данные всех кварталов. Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, поэтому значения сезонной компоненты корректируются на величину, полученную как частное от деления суммы оценок сезонных компонент на число сезонов.

    Таблица 5.7

    Корректировка значений сезонной компоненты

    Показатели

    Год

    Квартал

    1

    2

    3

    4

    1

    -

    -

    -0,0375

    0,5875

    2

    -0,525

    -0,025

    -0,125

    0,325

    3

    -0,0875

    -0,1125

    -0,125

    0,375

    4

    -0,1375

    -0,225

    -0,275

    0,55

    5

    -0,1375

    -0,05

    -

    -

    Итого за квартал

    -0,8875

    -0,4125

    -0,5625

    1,8375

    Средняя оценка сезонной компоненты для квартала

    -0,2218

    -0,1031

    -0,1406

    0,4593

    Скорректированная оценка сезонной компоненты

    -0,2203

    -0,1015

    -0,1390

    0,4609


    Рассчитаем корректирующий коэффициент:

    k=[(-0,22188)+(-0,10313)+( -0,14063)+ 0,459375]/4=-0,00625/4= -0,00156.

    Cкорректированные оценки сезонной компоненты определяются путем вычитания из средней оценки сезонной компоненты для квартала корректирующего коэффициента. Полученные таким образом значения занесены в таблицу 5.7.

    Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные Т+U=yi-S (столбец 4).

    Таблица 5.8

    Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

    t

    yi

    Si

    Т+U=yi-S

    T

    T+S

    U=yi-(T+S)

    U2

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    1

    8,4

    -0,2203

    8,6203

    8,1545

    7,9341

    0,6861

    0,4707

    2

    8,6

    -0,1015

    8,7015

    8,3845

    8,2829

    0,4185

    0,1751

    3

    8,8

    -0,1390

    8,9390

    8,6146

    8,4755

    0,4635

    0,2148

    4

    9,5

    0,46093

    9,0390

    8,8446

    9,3056

    -0,2666

    0,0710

    5

    8,5

    -0,2203

    8,7203

    9,0747

    8,8544

    -0,1344

    0,0179

    6

    9,1

    -0,1015

    9,2015

    9,3047

    9,2032

    -0,0016

    0,0000

    7

    9,2

    -0,1390

    9,3390

    9,5348

    9,3957

    -0,0566

    0,0032

    8

    9,9

    0,46093

    9,4390

    9,7648

    10,2258

    -0,7867

    0,6189

    9

    9,7

    -0,2203

    9,9203

    9,9949

    9,7746

    0,1457

    0,0212

    10

    9,9

    -0,1015

    10,0010

    10,2249

    10,1234

    -0,1218

    0,0148

    11

    10,1

    -0,1390

    10,2390

    10,4550

    10,3159

    -0,0769

    0,0059

    12

    10,8

    0,46093

    10,3390

    10,6850

    11,1460

    -0,8069

    0,6511

    13

    10,5

    -0,2203

    10,7203

    10,9151

    10,6948

    0,0254

    0,0006

    14

    10,7

    -0,1015

    10,8015

    11,1451

    11,0436

    -0,2420

    0,0585

    15

    11

    -0,1390

    11,1390

    11,3752

    11,2361

    -0,0971

    0,0094

    16

    12,2

    0,46093

    11,7390

    11,6052

    12,06622

    -0,3271

    0,1070

    17

    11,9

    -0,2203

    12,1203

    11,8353

    11,6150

    0,5052

    0,2553

    18

    12,3

    -0,1015

    12,4015

    12,0653

    11,9638

    0,4377

    0,1916

    19

    12,5

    -0,1390

    12,6390

    12,2954

    12,1563

    0,4826

    0,2329

    20

    13,2

    0,46093

    12,7390

    12,5254

    12,9864

    -0,2473

    0,0611


    Этап 3. Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+U) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:

    T = 7,9244+0,2301t.

    Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,293. R2=0,95.

    Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.8).

    Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели как (T+S) (столбец 6, табл. 5.8).

    Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(T+S), (столбец 7, табл. 5.8). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Сумма квадратов абсолютных ошибок равна 3,18. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 40,32, эта величина составит 7,89%.

    Следовательно, аддитивная модель объясняет 92,11% общей вариации объема продаж за 20 кварталов. 

    Рассмотрим построение мультипликативной модели на примере.

    Пример. Имеются поквартальные данные об объеме экспорта одной из областей РФ за 5 лет (млн. долл.).

    Таблица 5.9

    Квартал

    Объем экспорта, млн.долл.

    Квартал

    Объем экспорта, млн.долл.

    Квартал

    Объем экспорта, млн.долл.

    Квартал

    Объем экспорта, млн.долл.

    1

    19,3

    6

    15,8

    11

    20,3

    16

    25,4

    2

    12,3

    7

    17,2

    12

    22,3

    17

    31,8

    3

    13,2

    8

    19,9

    13

    29,7

    18

    23,9

    4

    15,6

    9

    26,3

    14

    21,1

    19

    25,8

    5

    21,5

    10

    19,1

    15

    23,7

    20

    27,4


    Этап 1. Проведем выравнивание ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда по 4 кварталам последовательно. Далее разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние, уже не содержащие сезонной компоненты. Найдем центрированные скользящие средние, для чего вычислим средние значения из двух последовательных скользящих средних. Вычислим оценки сезонной компоненты как частное от деления фактического уровня экспорта на центрированные скользящие средние.

    Таблица 5.10

    Расчет оценок сезонной компоненты

    Квартал

    Объем продаж, тыс.шт.

    Итого за 4 квартала

    Скользящая средняя за 4 квартала

    Центрированная скользящая средняя

    Оценка сезонной компоненты

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1

    19,3































    2

    12,3



















    60,4

    15,1







    3

    13,2







    15,375

    0,858537







    62,6

    15,65







    4

    15,6







    16,0875

    0,969697







    66,1

    16,525







    5

    21,5







    17,025

    1,262849







    70,1

    17,525







    6

    15,8







    18,0625

    0,87474







    74,4

    18,6







    7

    17,2







    19,2

    0,895833







    79,2

    19,8







    8

    19,9







    20,2125

    0,984539







    82,5

    20,625







    9

    26,3







    21,0125

    1,251636







    85,6

    21,4







    10

    19,1







    21,7

    0,880184







    88

    22







    11

    20,3







    22,425

    0,90524







    91,4

    22,85







    12

    22,3







    23,1

    0,965368







    93,4

    23,35







    13

    29,7







    23,775

    1,249211







    96,8

    24,2







    14

    21,1







    24,5875

    0,85816







    99,9

    24,975







    15

    23,7







    25,2375

    0,939079







    102

    25,5







    16

    25,4







    25,85

    0,982592







    104,8

    26,2







    17

    31,8







    26,4625

    1,201701







    106,9

    26,725







    18

    23,9







    26,975

    0,886006







    108,9

    27,225







    19

    25,8































    20

    27,4














    Используем полученные оценки сезонности для расчета сезонной компоненты S. Для этого найдем средние квартальные оценки сезонной компоненты, используя данные всех кварталов.

    Таблица 5.11

    Расчет значений сезонной компоненты

    Показатели

    Год

    Квартал

    1

    2

    3

    4

    1

    -

    -

    0,8585

    0,9696

    2

    1,2628

    0,8747

    0,8958

    0,9845

    3

    1,2516

    0,8801

    0,9052

    0,9653

    4

    1,2492

    0,8581

    0,9390

    0,9825

    5

    1,2017

    0,8860

    -

    -

    Итого за квартал

    4,9653

    3,4990

    3,5986

    3,9021

    Средняя оценка сезонной компоненты для квартала

    1,2413

    0,8747

    0,8996

    0,9755

    Скорректированная оценка сезонной компоненты

    1,2440

    0,876

    0,9016

    0,9776


    Заметим, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем примере, цикл – год, в котором соответственно 4 квартала. Поэтому окончательный вариант сезонной компоненты будет получен корректировкой, заключающейся в умножении средней оценки сезонной компоненты для квартала на коэффициент k:

    k=4/(1,2413+0,8747+0,8996+0,9755)=4/3,9913=1,0021.

    Полученные таким образом значения были занесены в табл. 5.11 (строка 3).

    Этап 2. Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получим выравненные данные TU=yi/S (столбец 4, табл. 5.12).

    Таблица 5.12

    Расчет выравненных значений Т и ошибок U в мультипликативной модели

    t

    yi

    S

    TU=yi/S

    T

    ТU

    U=yi-(TS)

    U2

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    1

    19,3

    1,2440

    15,5139

    14,2959

    17,7847

    0,8723

    0,7609

    2

    12,3

    0,8766

    14,0303

    15,0690

    13,2105

    1,0620

    1,1279

    3

    13,2

    0,9016

    14,6402

    15,8421

    14,2836

    1,0249

    1,0505

    4

    15,6

    0,9776

    15,9563

    16,6151

    16,2440

    0,9822

    0,9648

    5

    21,5

    1,2440

    17,2823

    17,3882

    21,6317

    0,7989

    0,6383

    6

    15,8

    0,8766

    18,0227

    18,1613

    15,9214

    1,1319

    1,2813

    7

    17,2

    0,9016

    19,0767

    18,9344

    17,0717

    1,1174

    1,2486

    8

    19,9

    0,9776

    20,3546

    19,7074

    19,2673

    1,0564

    1,1160

    9

    26,3

    1,2440

    21,1407

    20,4805

    25,4786

    0,8297

    0,6884

    10

    19,1

    0,8766

    21,7869

    21,2536

    18,6324

    1,1693

    1,3672

    11

    20,3

    0,9016

    22,5149

    22,0266

    19,8597

    1,1336

    1,2852

    12

    22,3

    0,9776

    22,8094

    22,7997

    22,2905

    1,0232

    1,0471

    13

    29,7

    1,2440

    23,8738

    23,5728

    29,3255

    0,8140

    0,6627

    14

    21,1

    0,8766

    24,0683

    24,3459

    21,3433

    1,1276

    1,2716

    15

    23,7

    0,9016

    26,2859

    25,1189

    22,6478

    1,1606

    1,3470

    16

    25,4

    0,9776

    25,9802

    25,8920

    25,3137

    1,0263

    1,0533

    17

    31,8

    1,2440

    25,5618

    26,6651

    33,1725

    0,7705

    0,5937

    18

    23,9

    0,8766

    27,2622

    27,4381

    24,0542

    1,1333

    1,2845

    19

    25,8

    0,9016

    28,6150

    28,2112

    25,4359

    1,1249

    1,2655

    20

    27,4

    0,9776

    28,0259

    28,9843

    28,3369

    0,9890

    0,9781


    Этап 3. Определим компоненту Т. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (ТЕ) с помощью линейного тренда. Имеем линейный тренд вида:

    T = 13,5229+0,7730t.

    Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,735. R2=0,97.

    Подставляя в уравнение тренда последовательно t= 1,…,20, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 5, табл. 5.12).

    Этап 4. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели как (TS) (столбец 6, табл. 5.12).

    Этап 5. Рассчитаем абсолютную ошибку как U=yi-(TS), (столбец 7, табл. 5.12). Качество полученной модели можно проверить, используя сумму квадратов абсолютных ошибок (столбец 8). Общая сумма квадратов абсолютных ошибок равна 21,033. По отношению к сумме квадратов отклонений исходных уровней ряда от его среднего уровня, равной 530,072, эта величина составит 3,9681%:

    (21,03378/530,072)100=3,97 %.

    Следовательно, мультипликативная модель объясняет 96,03% общей вариации экспорта. 
    1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14


    написать администратору сайта