Амиров_Д_Ф_«Численные_методы»_Методические_указания_по_выполнени. Лабораторная работа 2 14 Метод Ньютона (касательных). Метод итерации. 14 Лабораторные работы 3, 4 24

• Название: Лабораторная работа 2 14 Метод Ньютона (касательных). Метод итерации. 14 Лабораторные работы 3, 4 24
• Дата: 23.03.2022
• Размер: 1.58 Mb.
• Имя файла: Амиров_Д_Ф_«Численные_методы»_Методические_указания_по_выполнени.docx
• Тип: Лабораторная работа; #410752
• страница: 8 из 15

Лабораторные работы № 5, 6

Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Методы Эйлера и Рунге-Кутта.

Цель работы: научится применять численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений различными методами; изучить влияние величины шага интегрирования на точность результатов разных методов; научиться применять встроенные в MathCAD средства для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Форма отчетности:выполнениезаданий.
Дифференциальные уравнения устанавливают связь между независимыми переменными, искомыми функциями и их производными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Методы Рунге - Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

• 
  методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке y_i+1 нужна информация только о предыдущей точке (y_i, x_i);
  
• 
  согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hk, где степень kопределяет порядок метода;
  
• 
  методы не требуют вычисления производных от f(x, y), а требуют вычисления самой функции.
  

Метод Рунге-Кутта позволяет получить более точное решение дифференциального уравнения. Метод также часто используется для нахождения значений функций в нескольких начальных точках, что требуется в других, еще более эффективных численных методах. Преимущество метода Рунге-Кутта в том, что он совсем не использует предыдущую информацию. Каждый его шаг делается как бы заново, и для вычисления значения функции в точке x_n+1 используется лишь ее значение в точке x_n . Основным недостатком этого метода является его трудоемкость. Для получения следующего значения функции требуется несколько раз вычислять значение производной y′, т.е. обращаться к правой части дифференциального уравнения.

Система MathCAD позволяет решать дифференциальные уравнения двумя принципиально различными способами: с помощью встроенных

функций и непосредственно по формулам численных методов (Эйлера и Рунге

– Кутта).

Численное решение дифференциального уравнения первого порядка

Y’=f(x,y)при начальных условиях Y(x₀)=Y₀по методу Эйлера находится в виде:

X0	X1	X2	…	Xn
Y0	Y1	Y2	…	Yn

Значения X₀и Y₀являются начальными условиями решения уравнения. Первая строка таблицы при известном X₀и шаге hвычисляется по соотношениям: X₁=X₀+h,X₂=X₁+h,…,X_n=X_n-1+h.

Значения функции Y₁, Y₂, … , Y_nвычисляются по рекуррентной формуле Эйлера: Y_i+1=Y_i+hf(x_i,y_i). Метод Эйлера основан на линейном разложении функции на участке.
Пример 1.

f(x y) ln(x)  y

x₀ 12

y₀ 5.2

y f(x y)

a 12

h 0.2 a x₀

b 14
i 0 10

y_i f_x_i  y_i

	0
0	12
1	12.2
2	12.4
3	12.6
4	12.8
5	13
6	13.2
7	13.4
8	13.6
9	13.8
10	14
11	14.2

x_i1 x_i  h

x 

y_i1 y_i  h y_i

	0
0	5.2
1	6.24
2	7.488
3	8.986
4	10.783
5	12.939
6	15.527
7	18.633
8	22.359
9	26.831
10	32.197
11	38.636

y 

Самым популярным методом является алгоритм Рунге – Кутта 4-го порядка, успешно используемый для решения большинства дифференциальных уравнений. Численное решение дифференциального уравнения Y’=f(x,y)с

начальным условием Y(x₀)=Y₀ищется в отдельных (называемых узловыми) точках промежутка [x₀;x₁], расстояние между которыми определяется величиной выбранного шага h.

В точке x_i+1значение искомой функции Y(x_i+1) = Y_i+1рассчитывается по формуле, исходя из полученного на предыдущем шаге значения функции Y_i:

^yi1

: y_i

• 
  ^hk
  

₆ 1

 2 k₂

 2 k₃

 k₄ _,

k₁ : fx_i, y_i

_{k :}  ^{h h} 
₂ f_x_i ₂ , y_i ₂ k_{1 }

где

 

_{k :}  ^{h h} 

₃ ^f^xi ₂ ^{, yi} ₂ ^k2 

 

_{k :}  ^{h h} 
₄ ^f^xi ₂ ^{, yi} ₂ ^k3 

 

Метод Рунге – Кутта позволяет рассчитывать приращение функции на всем интервале [x₀;x₁].Исходя из условия Y(x₀)=Y₀, мы найдем значение Y_iв точке

11. 
    Численное решение дифференциального уравнения представляет собой таблицу значений функции Y_iв узловых точках x_i.
    

В MathCAD линейное дифференциальное уравнение можно решить с помощью встроенной функции rkfixed, реализующей алгоритм Рунге – Кутта 4- го порядка. Ввести ее можно с помощью команды меню Добавить – Функцию f(x). Эта функция требует задания нескольких параметров:
rkfixed (y, x₁, x₂, npoints, D), где

• 
  y - начальное значение в точке x1;
  
• 
  x1 - начальная точка расчета;
  
• 
  x2 - конечная точка расчета
  
• 
  npoints - количество шагов, при котором численный метод будет решать систему (величина, обратная длине шага h);
  
• 
  D - функция, содержащая правую часть уравнения ДУ.
  

Результатом работы функции rkfixed является матрица, в первом столбце которой содержатся узловые точки переменной x, а во втором – рассчитанные в этих точках значения функции.
Пример 2. Найти решение уравнения методом Рунге – Кутта в пяти точках отрезка [0;1] при h=0.1, удовлетворяющего условию y(0)=-1;

3 y²

y'

1  x

D(x y) 
y:=-1

3 y² 1  x

R 
rkfixed

^ 1  0  1 



1

0.1

 D ^

	0	1
0	0	-1
1	0.1	-0.778
2	0.2	-0.646
3	0.3	-0.56
4	0.4	-0.498
5	0.5	-0.451
6	0.6	-0.415
7	0.7	-0.386
8	0.8	-0.362
9	0.9	-0.342
10	1	-0.325

R 

Любые пять понравившихся точек вы можете выбрать по желанию. Если необходимо узнать значение функции в одной точке, то либо найдете нужный ряд в таблице при помощи строки прокрутки, либо используйте стандартную для MathCAD форму вывода с применением матричных индексов. При этом нужно учитывать, что точек, в которых были вычислены величины функции, на одну больше, чем было задано шагов:

R_{5  1} 0.451
Решения дифференциального уравнения – это использование встроенной функции odesolve, она также вводится с помощью команды меню Добавить – Функцию f(x). Рассмотрим этот вариант.

Постановказадачи

Дано дифференциальное уравнение n-го порядка и начальные условия его решения. Уравнение может быть линейным и нелинейным. Необходимо определить функцию Y=φ(x)и все ее производные, удовлетворяющие уравнению и начальным условиям. Решение нужно получить в виде таблиц и графиков функции и производных.

Выборметодарешенияуравнения

С целью получения высокой точности решения уравнения выполним методом Рунге – Кутта такого порядка, который обеспечивается системой MathCAD.
Выборвстроеннойфункциирешениядифференциальногоуравнения

Для решения линейного и нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка в MathCAD имеется встроенная функция odesolve(x,b,n),где

• 
  x – аргумент искомой функции Y(x)
  
• 
  b – конец интервала интегрирования
  
• 
  n – число шагов интегрирования с постоянным шагом.
  

Технологиярешениядифференциальногоуравнения:

1. 
   вводится слово Given,указывающего на то, что далее следует решаемое дифференциальное уравнения и его начальные условия;
   
2. 
   ввод дифференциального уравнения в произвольном виде, например:
   

^d2 Y(x)

 ^2 x ^d Y(x) ^ 1.2 Y(x)

x e^{ x}

dx²

_ dx _

, или так

^d2 Y(x)  ^2 x ^d Y(x) ^ 1.2 Y(x)  x e^{ x} 0

dx²

_ dx _

, или так

Y''(x) 

2 x Y'(x)  1.2 Y(x)

x e^x