!Конспект лекций Теоретичекая и прикладная механика. Лекция 1 Предмет теоретической механики. Кинематика точки
 Скачать 3.52 Mb.
|
|
Теорема. Произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру, заменив все действующие силы одной силой, равной главному вектору системы сил, приложенному в этом центре, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил относительно того же цетра. Доказательство. Пусть на твердое тело действует произвольная система сил  .Возьмем какую-либо точку О за центр приведения и, пользуясь выше доказанной теоремой, перенесем все силы в эту точку, присоединяя при этом соответствующие пары (рис.2).На тело теперь действует система сил  , приложенных в точке О, и система пар сил   . Силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой, которая равна главному вектору системы сил Систему пар сил можно заменить одной парой, момент которой  равен главному моменту системы сил относительно центра привеления. Итак, всякая система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе, называемо главным вектором и одной паре, момент которой называют главным моментом  .Теорема доказана. Из теоремы о приведении системы сил к силе и паре сил, можно вывести условия равновесия системы сил, действующих на твердое тело. Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю, т.е.  . Эти условия являются векторными условиями равновесия для любой системы сил. Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме   Условия равновесия плоской системы сил: 1)  2)  точки А,В, С – не лежат на одной прямой.3)  l не должна быть перпендикулярна АВ ГЛОССАРИЙ
Домашнее задание – самостоятельно получить условия равновесия системы параллельных сил (для плоской системы сил, для пространственной системы сил). Cм. Н.Н.Никитин Курс теоретической механики. Москва, «Высшая школа»,1990 – с.46-48. Лекция 8. Трение. Равновесие тел с учетом сил трения Цель лекции – изложить основные моменты из теории трения, рассмотреть равновесие тел с учетом сил трения. План лекции Сцепление и трение скольжения. Пример. Трение качения. Пример При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого, в плоскости их соприкосновения возникает сила сцепления (сила трения покоя)  , препятствующая движению тел друг относительно друга.При скольжении тела по поверхности другого также возникает сила, препятствующая этому движению, — сила трения скольжения  .Если же тело катить (или стремиться катить) по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей тел возникает пара сил, препятствующая качению. К твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонталь ной плоскости, приложим силу  , параллельную этой плоскости;причем величина силы пусть будет такова, что тело остается в покое. Это состояние тела обусловлено появлением силы сцепления у прижатых друг к другу тел. Ввиду равновесия  .Тело останется в покое при изменении модуля силы Sот нуля до некоторого значения Sмах, при котором возникает движение (скольжение). Соответственно и сила сцепления (сила трения покоя) принимает значение от нуля до максимального значения Fпр,, называемого предельной силой трения, т. е.  Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть. Предельная сила трениячисленно равна произведению статического коэффициента трения (коэффициента сцепления) на нормальное давление тела на поверхность или нормальную реакцию:  Статический коэффициент трения  — величина безразмерная, он определяется экспериментально и зависит от материала соприкасающихся тел, состояния поверхностей контакта, температуры, влажности и т. п. В курсе теоретической механики рассматривается только сухое трение между поверхностями тел, т. е. трение, когда между твердыми телами нет слоя смазывающего вещества.Значение предельной силы трения не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей. Величине  сила трения будет равна лишь в состоянии предельного равновесия (т. е. в состоянии покоя, «граничащим» с началом движения); в этом случае и сдвигающая сила  , так как имеет место равновесие.При малейшем превышении модуля силы этого значения тело начинает двигаться (скользить).При скольжении тела по шероховатой поверхности к нему приложена сила трения скольжения. Направление этой силы противоположно направлению скорости тела, а модуль силы трения скольжения определяется произведением коэффициента трения на нормальное давление:  . Коэффициент трения скольжения (динамический коэффициент трения)  также является величиной безразмерной и определяется опытным путем. Значение коэффициента зависит не только от материала трущихся тел, состояния поверхности (величины и характера шероховатости, влажности, температуры), но и в некоторой степени от скорости движения одного тела по отношению к другому. В большинстве случаев с увеличением относительной скорости взаимодействующих тел коэффициент сначала несколько убывает от значения  iа затем сохраняет почти постоянное значение, т. е.  .Реакция Rшероховатой поверхности имеет две составляющие: нормальную реакцию N и перпендикулярную ей силу трения (при покое тела — это сила сцепления, при движении — это сила трения скольжения). Следовательно, полная реакция Rбудет отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол  (рис. 1, а).Если под действием приложенных сил тело находится в покое, то величина силы трения согласно неравенству может принимать значения от нуля до ,соответственно этому модуль реакции Rможет изменяться от N до  , а ее угол отклонения от нормали может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения.  .Это наибольшее значение называется углом сцепления (углом трения покоя) или просто углом трения. Из рис. 1, б видно, что  .Так как , то получаем зависимость между углом трения и коэффициентом трения:  Таким образом, при равновесии тела полная реакция Rпроходит внутри угла трения  , а когда равновесие становится предельным, то реакция будет отклонена от нормали на угол Последовательно, если результирующая активных сил  (рис. 1, в) образует с нормалью к шероховатой поверхности угол , меньший угла трения , то как бы ни велика была сила , она не может сдвинуть тело вдоль данной поверхности. Этим объясняются известные в технике явления заклинивания и самоторможения тел.Рассмотрим задачу, которая позволит указать некоторую физическую интерпретацию угла трения.  Рис.1Пример 1. Определить, при каких значениях угла наклона груз, лежащий на наклонной плоскости, будет оставаться в покое, если его коэффициент трения о плоскость равен .Решение. Сначала определим значение угла  , т. е. такое, при малейшем превышении которого тело начнет скользить по наклонной плоскости. На груз, лежащий на наклонной плоскости (рис. 2), действуют сила тяжести Р, нормальная реакция N и сила трения F. Направим ось х вдоль наклонной плоскости, а ось у по нормали к ней. Составим уравнения равновесия груза: (a) (б)Решив эти уравнения, получим N=Pcos , F=Psin или, учитывая выражение для N F=Ntg (в).Отметим, что эти результаты справедливы только при равновесии, т. е. при значениях угла от нуля до некоторого предельного значения ,.При  , на груз будет действовать предельная сила трения  . Подставив это значение в равенство (в), получим , (г)отсюда  .Груз на наклонной плоскости будет находиться в равновесии при  , или (д) Так как  ( — угол трения), то из формулы (г) следует  . Набольший угол , при котором груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, равен углу трения.Обращаем внимание, что при всех расчетах предельных состояний равновесия тела величину следует определять по формуле , находя силу нормального давления N из условий равновесия (в общем случае она не равна весу груза Р). Если же в задаче надо найти значение силы трения, когда равновесие не является предельным, то  и ее значение надо определять из уравнений равновесия.Трением каченияназывается сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Пусть круглый цилиндрический каток радиусом Rи весом Р находится на шероховатой горизонтальной поверхности. Приложим к оси катка силу Q(рис. 3,а), меньшую . Тогда в точке А контакта с поверхностью возникают нормальная реакция N и сила трения F (F= Q), которая будет препятствовать скольжению катка по плоскости. При такой схеме качение должно было бы начаться под действием любой малой силы Q(так как пара сил Q,,Fничем не уравновешивается), что реально не наблюдается. Дело в том, что фактически вследствие деформаций тел их касание происходит по некоторой площадке BD(рис. 3,б), интенсивность давления по которой у края В больше, чем у края D. В результате реакция N (равнодействующая этих давлений) оказывается смещенной в сторону действия силы Q. С увеличением Qэто смещение возрастает до некоторой предльной величины 8. Таким образом, в предельном положении равновесия катка пара сил Fуравновешивается парой N, Р:  отсюда  (45) Рис.3 Пока  , качения нет; при  происходит качение. Входящая в формулу (45) величина  , имеющая размерность длины, зависит от материала тел, состояния поверхности и определяется экспериментально.При выполнении расчетов следует также учитывать, что сила  является силой трения скольжения (а если качение происходит без скольжения, то F— сила трения покоя).При равновесии катка Q=F\ отсутствие скольжения и качения будет при одновременном выполнении двух условий:  (а)Для большинства материалов отношение  значительно меньше статического коэффициента трения f0.. Это позволяет движущей силе Qсначала преодолеть второе условие равновесия (а) и под действием такой силы, значение которой находится в пределах каток катится без скольжения. При Q>  кроме качения происходит еще и скольжение.Таким образом, для большинства материалов преодолеть сопротивление качению значительно легче, чем преодолеть сопротивление скольжению. Этим объясняется то, что в технике стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шариковые и роликовые подшипники и т. п.). Пример 2. Цилиндрический каток радиусом Rи весом Р (рис. 4, а) удерживается в равновесии на наклонной плоскости нитью, перекинутой через блок. К концу нити подвешен груз весом Q. Коэффициент трения качения катка равен 3, угол наклона плоскости к горизонту равен а. Определить наименьшую и наибольшую величины веса Q, при которых каток будетв равновесии. Решение. Рассмотрим равновесие катка в двух предельных случаях..В первом случае, когда величина Q(натяжение нити численно равное весу груза)имеет наибольшее значение  т. е. такое, что если Qбудет меньше этого значения, то каток будет двигаться по наклонной плоскости вниз (рис. 4,б).Рассмотрим равновесие катка под действием четырех сил:, .Составим уравнение моментов относительно точки А:    Рис. 4 Отсюда получим  (I)Теперь рассмотрим второй случай предельного равновесия катка, когда сила Qдостигает наибольшего значения,  при котором возможно равновесие. В этом случае возможное направление движения катка (если Qпревысит ) — вверх по наклонной плоскости (рис. 4, в); реакция N приложена в точке В, смещенной на расстояние вверх по наклонной плоскости. Составим уравнение моментов относительно точки В: Отсюда получим  (2)Таким образом, каток будет находиться в равновесии на наклонной плоскости, если величина силы Qлежит в пределах  Легко установить, что в обоих случаях N=Pcos , a F1=F2 = ( /R)cos , но направления сил  и  противоположны.Домашнее задание – самостоятельно ответить на следующие вопросы: 1) Груз весом  лежит на горизонтальной плоскости, статический коэффициент трения груза о плоскость  . Какая сила трения будет действовать на груз, когда к нему приложат горизонтальную силу Q,,если: a) , б) ? 2) В примере 2 определить наименьшее значение коэффициента трения скольжения , при котором в случае движения каток будет катиться без скольжения. 3) Чем принципиально коэффициент трения качения отличается от коэффициента трения скольжения?См. Курс теоретической механики (под ред. академика К.С.Колесникова ), Москва, издательство МГТУ имени Н.Э.Баумана,2000- с.236-239. Лекция 9. Динамика материальной точки Цель лекции – изложить основные законы динамики, рассмотреть две задачи динамики точки План лекции Предмет динамики. Основные законы динамики Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две задачи динамики КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ Динамика является основным и наиболее общим разделом теоретической механики. В динамике изучают зависимость между движением материальных объектов и действующими на них силами. Соотношения между основными понятиями динамики определяются аксиомами или основными законами движения, данными Ньютоном. 1 закон. Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние. 2 закон (основной). Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и совпадает с ней по направлению. Математически этот закон можно записать в виде  где  - ускорение точки,  - характеризует инертные свойства точки и называется массой.3 закон (действия и противодействия). Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе – взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны. Если на материальную точку лействует система сил  ,то действие каждой из сил не зависит от действия остальных и каждая из сил сообщает точке такое ускорение, какое она ей сообщила бы, если бы действовала одна, а под действием системы сил точка получает ускорение где  . В этом заключается принцип независимости действия сил.Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором  , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из уравнения (1) получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки: . (2) В проекциях на декартовы оси (базис  дифференциальные уравнения движения точки имеют вид  (3)Здесь  - проекции ускорения точки на координатные оси,  - проекции равнодействующей сил, действующих на точку. Первым интегралом системы дифференциальных уравнений (3) является функция  , сохраняющая постоянное значение для любого конкретного решения системы. Выражение ,называется производной по времени функции , вычисленной в силу дифференциальных уравнений (3). Для того чтобы полностью найти закон движения материальной точки, достаточно найти шесть функционально независимых первых интегралов. Действительно, пусть  - шесть независимых первых интегралов системы (3). Тогда  - функционально независимы, получаем общее решение системы (3): Знание первого интеграла позволяет понизить порядок системы. В частных случаях дифференциальных уравнений движения точки может быть меньше. Так, при движении точки в плоскости Оху уравнений движения будет два:  .В случае движения точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение, например:  .В проекциях на естественные оси (  - базис) уравнения движения точки имеют вид: , (4) здесь  - радиус кривизны. Проекции силы могут быть функциями переменных t, s,  . На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две задачи динамики точки: 1) по движению определить силы, производящие данное движение. Эту задачу называют прямой задачей динамики. 2) – даны силы, действующие на данный материальный объект; требутся определить движение этого объекта под действием данных сил. Эту задачу называют второй задачей динамики.ГЛОССАРИЙ
Домашнее задание – рассмотреть и решить следующую задачу самостоятельно: груз массой движется по наклонной плоскости с углом наклона ; коэффициент трения груза о плоскость равен . Одинаковы ли дифференциальные уравнения движения груза по этой плоскости вниз и вверх? См. Н.Н.Никитин Курс теоретической механики Москва, «Высшая школа»,1990 - с.235-255 Лекция 10. Введение в динамику системы. Геометрия масс Цель лекции – изложить основные понятия динамики механической системы, дать основные понятия геометрии масс. План лекции Механическая система. Внешние и внутренние силы Масса системы. Центр масс Моменты инерции. Теорема Штейнера |