!Конспект лекций Теоретичекая и прикладная механика. Лекция 1 Предмет теоретической механики. Кинематика точки
 Скачать 3.52 Mb.
|
Цель лекции - изложить теорему об изменении момента количества движения для материальной точки и механической системыПлан лекцииМомент количества движения материальной точки и механической системы. Теорема об изменении момента количества движения КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ Для характеристики движения материальной точки используют еще одну векторную меру движения – момент количества движения, или кинетический момент относительно центра. Моментом количества движения материальной точки массой mотносительно центра О называют векторную величину, равную векторному произведению радиус-вектора материальной точки, проведенного из этого центра, на количество движения точки (Рис.1):  (1)Проекции этого вектора:  ,  .Рис.1  Так как  ,то моменты количества движения материальной точки относительно осей координат имеют вид   (2) Единица измерения в системе СИ – кг ∙ м2/с . Главным моментом количества движения, или кинетическим моментом механической системы относительно центра О называют геометрическую сумму векторов моментов количеств движения материальных точек системы относительно того же центра О:  (3)Вектор главного момента количеств движения  механической системы относительно центра О строят в точке О (рис.2)  Рис.2 Проекции вектора (3) на оси координат:  ,  ,или   (4) Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью  (Рис.3). Определим кинетический момент вращающегося телаотносительно оси Oz. Согласно определению,  . (5) Рис.3 Проекции скорости точки Ак тела на касательную к траектории движения  , а момент количества движения точки относительно оси Oz , где  . Подставив  в выражение (5), получим: , где  момент инерции тела относительно оси вращения. Окончательно имеем  . (6)Знак  - определяется знаком проекции угловой скорости  . Запишем уравнение движения материальной точки  и умножим его векторно слева на радиус-вектор  (Рис.4): . Рис.4 Преобразуем левую часть полученного уравнения:  .Но  как векторное произведение коллинеарных векторов. Далее получаем , или . (7)Эта формула выражает теорему об изменении момента количества движения материальной точки: первая производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту равнодействующей силы относительно того же центра О. Рассмотрим механическую систему, состоящую из  материальных точек, к каждой из которой приложены равнодействующие внешних  и внутреннних сил  . Для каждой точки  запишем теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра О (Рис.5): . (8)Просуммировав (8) по всем точкам  .Преобразовав левую часть уравнения, получим:  . Здесь  - главный момент количеств движения механической системы относительно центра О.Главный момент внутренних сил  , (9) а главный момент внешних сил  . (10) Рис.5  Окончательно имеем:  . (11)Формула (11) формула выражает теорему об изменении главного момента количеств движения механической системы: первая производная от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного центра О равен главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра. Теорема допускает первый интеграл (закон сохранения кинетического момента), если  , (12)после интегрирования которого получаем:  , т.е. главный момент количеств движения механической системы относительно центра О постоянен по модулю и по направлению. Это уравнение выражает закон сохранения кинетического момента относительно центра О. ГЛОССАРИЙ
Домашнее задание - Невесомый круглый диск радиусом R, расположенный в горизонтальной плоскости, вращается с угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Определить кинетический момент относительно этой оси материальной точки массы m , двигающейся по отношению к диску со скоростью  при ее движении:1) по ободу диска в направлении его вращения; 2) по ободу диска в направлении, противоположном его вращению; 3) по диаметру диска.См. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики, Москва,”Высшая школа”,1990 -607с. Лекция 14. Работа силы. Мощность Цель лекции – познакомить с мерой действия силы – работой и мощностью; рассмотреть некоторые примеры вычисления работы некоторых сил План лекции Элементарная работа силы; полная работа силы. Пример. Мощность силы 2. Работа силы в различных случаях движения твердого тела КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ Элементарная работа силы. Пусть точка приложения силы  перемещается по криволинейной траектории из положения  в положение М1 (Рис.1). Элементарная работа силы на элементарном перемещении  определяется формулой  , (1) где  ,  - скорость точки приложения силыВеличина  скалярная, ее знак определяется знаком функции  . Если  острый угол,  -тупой угол,  а для  ,  . Так как  , то формулу (1) можно представить в виде: . (2)Таким образом, элементарная работа силы равна произведению элементарного переемещения на проекцию силы на это перемещение Поскольку  , то, согласно (1)  , или (3)Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы и дифференциала радиус-вектора  .  Рис.1 Так как ,  представим выражение (3) в виде (4)Таким образом, элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки ее приложения. В аналитической форме (4) будет иметь вид:  Полная работа силы. Полную работу силы на конечном перемещении определяют как предел суммы ее элементарных работ, т.е.  (5) где  работа силы на элементарном перемещении.Так как сумма (5) является интегральной суммой определения криволинейного интеграла, то  Используя различные формулы для определения элементарной работы, получаем:  или .Если же сила является функцией времени, то, согласно (4), работа силы определяется выражением:  (6)Работа силы зависит от характера движения точки приложения силы. Например, если скорость точки приложения силы равна нулю, то  .Рассмотрим пример вычисления работы силы тяжести. Пусть на материальную точку М, на которую действует сила тяжести  . Перемещается из положения М0в положение М1 , при этом координатные оси выбраны так, что ось z направлена вертикально вверх (Рис.2). Проекции силы на координатные оси  . Подставляя их в формулу работы, будем иметь :   (7). Обозначив h=z-z0 вертикальное перемещение, получим:  ; (8)или  Следовательно, работа силы тяжести материальной точки равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ( при опускании точки работа положительная, при подъеме – отрицательная). Из формулы (8) следет, чторабота силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Единица измерения работы в системе СИ 1 джоуль  . |