М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
13.3.7. ФОТОННЫЙ ГАЗ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИСПУСКАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА Фотоны являются бозонами, они подчиняются статистике Бозе–Эйнштей на. Равновесное излучение в замкнутой полости можно представить как идеальный газ фотонов (бозонов. Так как число фотонов не сохраняется, то необходимо взять значение химического потенциала в формуле (13.15) равным нулю. Тогда распределение Бозе–Эйнштейна будет записано в виде 2 1 1 БЭ 1 2 3 4561 7 2 1 2 2 Функция плотности состояний фотонов определяется формулой (13.12): 1 2 1 2 2 3 3 2 2 2 3 4 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 1 4 2 3 3 ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 505 Тогда в соответствии с формулой (13.8) запишем 2 2 3 4 2 5 2 3 8 1 1 2345 6 7 1 2 23 4 Объемная плотность излучения в полости, соответствующая частоте составит 2 3 2 3 4 2 2 5 2 3 8 1 1 2345 6 7 12 3 4 3 51 3 Учитывая формулу связи между испускательной способностью а. чти объемной плотностью излучения, можно записать 21 1 3 1 3 4 1 5 2 0 2 2 4 1 1 2 1 3 1 4562 7 3 1 2 3 4 5 1 3 что и требовалось получить. 13.3.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИББСА. 6N МЕРНОЕ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО При обсуждении идеальных газов невзаимодействующих частиц было введено шестимерное фазовое пространство. Если же рассматривать системы взаимодействующих между собой частиц, то для удобства решения задач статистической физики в этом случае вводят 6N мерное фазовое пространство (введено Гиббсом в 1901 г. 6N измерений этого пространства соответствуют числу координат и импульсов частиц системы, совокупность этих переменных можно обозначить как ((p, q) = p 1X p 1Y p 1Z ...p NX p NY p NZ , q = q 1X q 1Y q 1Z ...q NX q NY q NZ ). В этом пространстве состояние системы будет изображаться точкой. Эта точка стечением времени будет перемещаться, и совокупность всех состояний системы (точек) стечением времени будет занимать в этом пространстве определенный объем. Вводится функция распределения состояний w(p, q, t) системы по координатами импульсам всех частиц, она определяет вероятность w(p,q,t)dqdp нахождения системы в элементе объема фазового пространства в момент времени Основным положением статистической физики является утверждение о том, что для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия, можно определить функцию распределения из общих соображений, не решая уравнений движения w(p, q, t) = w(p, q). Следовательно, она не будет зависеть от времени t. С помощью этой функции можно рассчитать среднее значение любой физической величины, являющейся функцией координат и импульсов частиц системы 2 3 3 4 4 1 2 34 2 35 2 4 4 3 2 4 3 2 4 3 4 1 1 2 3 4 3 5 2 4 3 6264 1 2 4 5 2 4 и тем самым решить задачу статистической физики — рассчитать значение мак ропараметров системы на основе знания ее микроскопических параметров. Функции распределения w(p, q) можно дать и другое истолкование, если рассматривать одновременно большое число одинаковых систем и считать МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ что каждая точка в фазовом пространстве изображает состояние одной такой системы. Тогда усреднение повременив формуле (13.25) можно понимать как усреднение по совокупности этих систем, которые называют статистическим ансамблем. Статистический ансамбль — это одно из основных понятий статистической физики (введено Гиббсом в 1901 г, позволяющее применять к решению физических задач методы теории вероятностей. Для систем, находящихся в различных внешних условиях, Гиббсом были введены следующие виды ансамблей) микроканонический ансамбль — статистический ансамбль для изолированных (не обменивающихся энергией с окружающими телами) макроскопических систем, имеющих постоянный объем и постоянное число частиц) канонический ансамбль — статистический ансамбль для макроскопических систем, находящихся в тепловом равновесии с термостатом при постоянном числе частиц в системе и постоянном объеме. Такие системы можно рассматривать как малые части (подсистемы) статистического ансамбля больших энергетически изолированных систем) большой канонический ансамбль — статистический ансамбль для макроскопических систем постоянного объема в тепловом равновесии с термостатом ив материальном равновесии с резервуаром частиц. Гиббс также вывел формулы для равновесных распределений вероятностей состояний (функции распределения) для этих статистических ансамблей систем. Они рассматриваются как основные законы статистической физики. Для квантовых статистик эти законы были обобщены Нейманом (1927). Запишем без вывода функцию распределения для канонического ансамбля квантовых систем (для них считаются постоянными число частиц в системе и объем системы. Из квантовой механики известно, что энергетический спектр системы постоянного объема является дискретным (энергия системы принимает значения W n , где число n принимает значения для всего набора целых чисел. Тогда для вероятности нахождения квантовой системы в состоянии с энергией W n можно получить следующую формулу 2 3 4 5 6 7 8 1 2 345 6 1 1 1 2 3 4 Входящая в эту формулу свободная энергия Гельмгольца (см. формулу) определяется из условия нормировки для функции распределения 2 1 1 1 1 2 (13.27) 1 2 3 4 5 6 7 6 5 8 6 5 7 9 123 123 45 где W — статистический весили термодинамическая вероятность (см. раздел. Сумма в формуле (13.27) берется по всем состояниям системы. Формула (13.28) позволяет определить из статистической теории свободную энергию Гельмгольца: F = –kTln W. ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 507 С помощью функций распределения w(W n ) можно в рамках статистической физики рассчитать все термодинамические функции, описывающие поведение реальных макроскопических систем. Однако на этом пути сложной математической задачей для каждого конкретного случая является расчет статистического веса (или термодинамической вероятности) W. 13.4. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ. МОДЕЛЬ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ 13.4.1. РЕШЕНИЕ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НА ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ. ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ. ТЕМПЕРАТУРА ФЕРМИ В модели свободных электронов металл для валентных электронов представляет собой трехмерную потенциальную яму с плоским дном и вертикальными стенками (куб с длиной ребра l и объемом V, риса. Плоское дно означает, что на валентные электроны со стороны кристалла силы не действуют, электроны движутся как свободные частицы, не взаимодействуя друг с другом. Этот вывод является следствием формулы связи консервативной силы и потенциальной энергии 1 2 1 grad 1 23 1 2 3 4 в соответствии с которой для постоянной потенциальной энергии (U = const) 1 2 1 1 На границе металла на электрон действует бесконечно большая сила, которая препятствует выходу электрона из металла 1 2 1 3 1 grad 1 Для получения спектра энергии и волновых функций для электрона в металле можно использовать решение задачи 2 (см. п. 9.5), обобщая ее на трехмерный случай. Это позволяет записать для собственных значений энергии электрона следующую формулу 2 2 3 3 2 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 3 1 32 1 2 3 4 5 5 где 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12222 1 2 3 4 5 4 5 4 5 5 5 Собственные волновые функций электрона внутри металла представляют собой плоские бегущие волны де Бройля: 1 2 1 1 1 1 2 3451 Для того чтобы устранить влияние границ металла на поведение электрона (граничные эффекты пренебрежимо малы для электронов в металле), Рис. 13.8 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ считается, что на границе металла электрон переходит в тот же самый металл, нос противоположной стороны. Из записанных формул следует, что) энергетический спектр для электронов в металле является квазине прерывным — он дискретный, но дискретностью можно пренебречь по сравнению с энергией теплового движения электронов (при температуре T = 300 Кона составляет kT = 0,025 эВ) энергия электрона определяется набором четырех квантовых чисел, n 2 , n 3 , Функция плотности электронных состояний g(W) определяется формулой График функции плотности состояний приведен на рис. б. Из него видно, что с увеличением энергии плотность электронных состояний возрастает. Функция распределения электронов по квантовым состояниям (функция распределения Ферми–Дирака). Запишем функцию распределения Ферми Дирака для электронов в металле 2 3 4 5 6 7 8 9 ФД Ф 1 ( ) , exp 1 f W W W kT (13.32) где входящий в формулу химический потенциал называется энергией Ферми Ф. Рассмотрим вид функции в двух случаях. Случай температуры Т = 0 К. Энергия Ферми В этом случае можно получить следующие значения f ФД (W): 1 23 4 5 6 6 6 7 5 8 93 6 1 1 2 0 1 0 0 Ф ФД Ф Ф 1234 5 4 5 6 1234 5 7 1234 5 1 1 2 1 1 1 1 График функции f ФД (W) на риса представляет собой прямоугольную ступеньку, которая обрывается при энергии, равной энергии Ферми Ф. Такой график для функции распределения f ФД (W) означает, что все электронные состояния от нуля до энергии Ферми заполнены электронами, состояние с энергией, равной энергии Ферми, заполнено наполовину, а состояния с энергиями, превышающими энергию Ферми, являются пустыми. На рис. б показано заполнение потенциальной ямы электронами при температуре К. Рис. 13.9 а б ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 509 Итак, принцип Паули приводит к тому, что электронный газ при температуре К обладает неравной нулю энергией Вводятся следующие определения) уровень Ферми — последний занятый электронами уровень при температуре Кили это уровень, на котором вероятность заполнения его электронами равна 0,5; 2) энергия Ферми Ф максимальная кинетическая энергия электронов при температуре T = 0 Кили энергия электрона на уровне Ферми, отсчитанная от дна потенциальной ямы. Оценим энергию Ферми для разных металлов. Для этого рассчитаем полное число свободных электронов при температуре T = 0 КВ соответствии с формулами (13.8), (13.31) и (13.33) получим 2 3 2 3 2 3 2 3 4 5 5 5 3 2 0 0 0 2 3 Ф Ф ФД Ф 1 2 3 2 3 2 3 1 1 2 3 1 4 1 51 4 1 51 6 151 61 1 2 3 4 Ф 2 1 2 3 4 2 3 2 3 где n — концентрация свободных электронов в металле. Коэффициент a в формуле (13.8) равен двум, он учитывает магнитное спиновое квантовое число, принимающее два значения. Оценки энергии Ферми из известной концентрации свободных электронов для различных металлов (n » (10 28 ¸ 10 29 ) м) показывают, что энергия Ферми принимает значения в пределах Ф (2 ¸ 10) эВ, что существенно превышает значение энергии теплового движения при комнатной температуре эВ). Случай T > 0 К. Температура Ферми Вследствие того, что энергия Ферми существенно превышает энергию теплового движения (Ф kT), в нем будет принимать участие лишь малая часть электронов в интервале (W Ф – kT, Ф+ kT) вблизи уровня Ферми. Эти электроны могут принимать энергию теплового движения и переходить на свободные вышележащие уровни энергии. Большая часть электронов будет заморожена в своих квантовых состояниях для них в интервале ( ±kT) все уровни энергии полностью заполнены другими электронами. Поэтому большая часть электронов не может принять энергию теплового движения и перейти на вышележащие уровни энергии. Итак, в тепловом движении принимает участие малая часть электронов вблизи уровня Ферми. Это означает, что ступенька размывается в малом Рис. 13.10 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ интервале (Ф kT, Ф+ kT) около уровня Ферми (риса, и чем больше температура, тем больше размывается ступенька, то есть в тепловом движении начинают принимать участие все большее число электронов. Записать точную формулу для энергии Ферми в этом случае не удается, но с достаточной степенью точности можно использовать приближенную формулу 2 3 4 5 6 7 8 9 9 2 2 0 1 12 0 Ф Ф Ф 1 2 1 2 3 1 2 12 3 Из нее следует, что зависимость энергии Ферми от температуры является незначительной, так как Фи с повышением температуры металла энергия Ферми будет уменьшаться. Вводится температура Ферми Ф это температура, при которой в тепловом движении начинают принимать участие все электроны. При этой температуре ступенька размывается полностью во всем интервале энергий от нуля до Ф. Для этой температуры можно записать kT Ф = Ф Ф W Ф /k. (13.36) При температурах T = Ф электронный газ является вырожденным, то есть подчиняется статистике Ферми–Дирака, в тепловом движении принимает участие малая часть электронов вблизи уровня Ферми. При температурах T ? Ф электронный газ становится невырожденным, он подчиняется статистике Максвелла–Больцмана, в тепловом движении принимают участие все электроны. Учитывая числовые значения энергии Ферми для металлов, можно привести следующую оценку для температуры Ферми Ф 10 К. Это означает, что при всех температурах существования металла в твердом состоянии электронный газ является вырожденным. Иначе обстоит дело для полупроводников, для которых концентрация свободных электронов по сравнению с металлом убывает примерно враз, что соответствует уменьшению температуры Ферми в 10 4 : Ф n 2/3 Þ Ф 1 К. Следовательно, электронный газ в полупроводниках является невырожденным, он подчиняется статистике Максвелла–Больцмана. В заключение покажем, как можно представить графически полное число свободных электронов в металле при температуре T, отличной от нуля > 0 К, рис. б. Для этого необходимо использовать формулу (13.8) и учесть графический смысл интеграла (N равно площади под графиком стоящей под знаком интеграла функции f ФД (W)g(W)). 13.4.2. ЭЛЕКТРОННЫЙ ВКЛАД В ТЕПЛОЕМКОСТЬ МЕТАЛЛОВ Оценим вклад электронного газа в теплоемкость металла, для этого рассчитаем молярную теплоемкость электронного газа при постоянном объеме = N A ). В этом случаев соответствии с формулой (12.70 б) можно записать c V эл = dU/dT, ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 511 где в формулу входит внутренняя энергия электронного газа, зависящая от температуры U(T): 1 2 34 1 5 4 3 2 1 2 3 1 2 3 4 52 Число электронов DN, принимающих участие в тепловом движении, можно оценить, учитывая следующие пропорции. Число валентных электронов занимают состояния в интервале энергий от нуля до энергии Ферми (0, Фа электроны, участвующие в тепловом движении, приходятся на интервал вблизи уровня Ферми (0 ¸ Ф, DN ® (Ф kT) ¸ (Ф+ что приводит к формуле для c V эл 1 2 3 4 4 6 2 0 Ф эл Ф 1 2 3 2 4 1 3 1 23 4 4 25 6 7 89 Более точные расчеты, основанные на зависимости средней энергии электронов от температуры 2 1 2 3 4 3 4 5 5 6 7 8 6 7 9 8 2 2 2 2 5 3 0 1 0 12 0 5 12 0 Ф Ф Ф 5 1+ 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 12 12 3 приводят к формуле 2 2 2 3 2 2 0 эл Ф 1 2 3 4 1 2 1 23 4 56 7 28 24 Отсюда × где коэффициент g составит 2 3 2 2 Ф 2 Оценим коэффициент g для энергии Ферми Ф, равной Ф 5 эВ = 9,87 × 1,38 × 10 –23 R /(2 × 5 × 1,6 × 10 –19 ) = 8,51 × 10 –4 R = Итак, вклад электронного газа в теплоемкость металла является малым (по сравнению си линейно зависит от температуры. 13.5. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 13.5.1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ТЕПЛОВЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОННЫЙ ГАЗ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ Тепловые свойства твердых тел связаны с тепловыми колебаниями сильно связанных атомов в узлах кристаллической решетки. Поэтому задача расчета этих свойств является многочастичной задачей, иона не имеет точного решения. Рассмотрим два подхода к решению такой задачи, приводящие к одному и тому же результату МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Тепловые колебания атомов за счет их взаимодействия распространяются в кристалле, и поэтому в нем возникает волновое поле тепловых возбу ждений, возникают стоячие упругие волны разной амплитуды и частоты (за счет отражения от границ кристалла возникают стоячие волны. Поэтому переходят от системы сильно связанных атомов к волновому полю тепловых возбуждений (рис. Каждая стоячая волна частоты w называется нормальным колебанием решетки, и для определения спектра частот нормальных колебаний кристаллической решетки, связанных с тепловыми колебаниями атомов, можно использовать формулу (В данном случае вводят понятие фононов. Подобно квантованию электромагнитного поля, введению фотонов, проводят квантование поля тепловых возбуждений, вводят фононы. Фонон — это квант поля тепловых возбу ждений, квазичастица, она существует внутри твердого тела и вводится для удобства описания тепловых свойств твердых тел. Фонон обладает всеми свойствами частицы (энергия, импульс, частота и т. д.). Каждой волне частоты w соответствует фонон с энергией W фон = hw, (13.41) и число таких фононов определяется амплитудой этой стоячей волны. Следовательно, при описании тепловых свойств кристалла система сильно связанных атомов заменяется газом фононов. Известно, что модель идеального газа частиц является достаточно хорошо разработанной, для нее по |