М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
497 где ( DV = DxDyDz) — объем ячейки в обычном трехмерном пространстве и d Г p = dp X dp Y dp Z — объем ячейки в пространстве импульсов. Итак, на одно состояние частицы в фазовом пространстве приходится ячейка размером Г = Схема описания свойств идеального газа частиц в квантовой физике. Как уже отмечалось (см. п. 12.1.1), описание свойств системы частиц предполагает получение информации о распределении частиц по энергиям, координатами импульсам. Это позволяет найти среднее значение энергии частицы, полную энергию системы частица также средние значения любых функций энергии, любых функций координат и импульсов, следовательно, описать свойства системы частиц. В квантовой физике состояние отдельных частиц из за соотношения не определенностей Гейзенберга определяется не импульсами и координатами, а волновыми функциями частиц и их энергетическим спектром, который является дискретным. Поэтому для описания свойств системы частиц, обладающих волновыми свойствами, необходимо знать энергетический спектр частиц и, кроме того, их распределение по квантовым состояниям (или по ячейкам фазового пространства) на каждом уровне энергии. Расчет равновесных свойств системы требует отыскания из всевозможных распределений наиболее вероятного распределения, которому соответствует наибольшая вероятность (см. п. Рассмотрим систему, представляющую собой идеальный газ частиц, обладающих волновыми свойствами. Распределение таких частиц по ячейкам фазового пространства задается их функциями распределения. Функции распределения f(W K ) определяют среднее число частиц водном квантовом состоянии (водной фазовой ячейке) с энергией W K 1 1 2 1 1 1 2 3 где N K — это число частиц с энергией W K ; g K — число фазовых ячеек на уровне энергии W K или число квантовых состояний на этом уровне энергии. При известной функции распределения можно оценить число частиц N в системе и их полную энергию полн по формулам 2 1 2 полн 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 4 где сумма идет по всем уровням энергетического спектра частицы. Для квазинепрерывного энергетического спектра частиц (спектр дискретный, но его дискретностью можно пренебречь в условиях данной задачи) можно в формуле (13.5) перейти к интегралам 1 2 3 2 3 4 4 полн 2 1 2 3 1 2 1 2 4 1 2 3 4 3 53 3 32 3 4 3 В этих формулах введена функция плотности квантовых состояний (фазовых ячеек) g(W), которая определяет число сост квантовых состояний (фазовых ячеек, заключенных в интервале энергий (W, W + dW): МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 1 сост 1 2 3 12 3 Коэффициент a в формуле (13.6) учитывает тот факт, что водной фазовой ячейке могут находиться несколько частиц в разных состояниях, отличающихся другими параметрами. Например, если частица имеет спин S, то проекция спина на некоторое направление в пространстве может принимать + 1) значений (для электрона S = 1/2, то есть a = 2). Для фотонов определенной частоты и направления движения существуют две возможных поперечных поляризации, поэтому a = Число частиц в интервале энергий (W, W + будет равно произведению числа квантовых состояний сост в этом интервале на число частиц в этих квантовых состояниях: dN = af(W)dN сост = af(W)g(W)dW. (13.8) 13.3.2. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ ДЛЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ЧАСТИЦ Рассчитаем функцию плотности состояний (плотности фазовых ячеек) для идеального газа квантовых частиц, находящегося в объеме V в отсутствие внешнего потенциального поля. В этом случае фазовый объем ячейки составит Г = Г h 3 , что позволяет оценить объем фазовой ячейки в пространстве импульсов Г Плотность квантовых состояний g(p) найдем, разделив объем шарового слоя (p, p + dp) на объем одной фазовой ячейки риса 4 сост Г Г 1 2 1 2 3 1 1 2 32 2 324 2 32 2 4 35 6 2 32 6 Полученная формула применима для любого идеального газа квантовых частиц. Если задать конкретный вид зависимости энергии частицы от ее импульса, то тогда можно получить функцию плотности состояний по энергиям g(W). Рассмотрим формулы для функции плотности состояний для конкретных случаев идеального газа частиц. Газ свободных электронов в металле Для газа свободных электронов в металле энергия электронов совпадает сих кинетической энергией W = p 2 / (2m), поэтому Рис. 13.6 а б ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2 1 1 2 3 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 32 1 3 2 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 32 1 4 34 1 2 1 4 34 32 1 4 4 5 6 1 2 7 2 7 5 8 3 2 3 2 где введена постоянная с, она не зависит от энергии. В формуле (13.10) обозначает массу электрона. Идеальный газ классических частиц (молекул) в отсутствие внешнего потенциального поля. Для них, как и для газа свободных электронов, справедлива такая же формула связи между кинетической энергией и импульсом. Поэтому формула (13.10) применима ив этом случае 2 2 3 2 0 3 2 2 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 3 где m 0 — масса молекулы. Идеальный газ фотонов Запишем функцию плотности состояний для газа фотонов в зависимости от их частоты n. Для этого используем известные для фотонов формулы W = h n = pc Þ p = hn/c. g ( n)dn = g(p)dp Þ g(n) = g(p)(dp/dn) = g(p)(h/c) Þ 1 2 1 2 3 2 4 4 2 2 2 3 4 4 1 2 3 1 3 4 1 2 3 1 4 2 3 3 (13.12) 4. Идеальный газ фононов (о фононах подробнее см. п. 13.3.1). Функцию плотности фононных состояний g(W) для фононов рассчитаем, используя формулу связи энергии фонона сего импульсом W = pu зв (u зв — скорость звука в кристалле или усредненная скорость движения фононов = g(p)dp Þ g(W) = g(p)(dp/dW) = g(p)u зв Þ 1 2 3 4 2 3 3 4 зв 1 2 3 1 2 3 КВАНТОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ–ДИРАКА И БОЗЕ–ЭЙНШТЕЙНА Как уже отмечалось (см. п. 10.1.6), поведение коллектива тождественных частиц определяется значением их спина (спинового квантового числа. Здесь возможны два случая. В первом случае это частицы, у которых спин равен полуцелому числу (S = 1/2, 3/2, 5/2, ...), их называют фермионами. Для них справедлив принцип Паули, согласно которому в системе тождественных фермионов водном квантовом состоянии может находиться только один фермион, то есть в системе не может быть двух фермионов с одинаковым набором всех квантовых чисел. Для фермионов функция распределения, называемая функцией распределения Ферми–Дирака, имеет вид 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 3 456 1 2 2 34 (13.14) МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Из принципа Паули вытекает, что числовые значения функции f ФД (W) не могут быть больше единицы (f ФД (W) £ 1), поэтому она имеет вероятностный смысл, дает вероятность нахождения фермиона в квантовом состоянии с энергией Во втором случае, для бозонов, частиц с целым спином (S = 0, 1, 2, 3, 4, водном квантовом состоянии может находиться сколь угодно много бозонов. Для бозонов функция распределения f БЭ (W), называемая функцией распределения Бозе–Эйнштейна, записывается следующим образом 2 3 4 5 2 6 7 8 9 1 1 БЭ 1 2 3 456 1 Для бозонов принцип Паули не работает, водном квантовом состоянии может находиться любое число частиц. Поэтому функция распределения f БЭ (W) может принимать любые положительные значения. При температурах, близких к абсолютному нулю, это приводит к скоплению бозонов на самом низком энергетическом уровне, и наблюдается так называемая Бозе– Эйнштейновская конденсация, которая объясняет явления сверхтекучести и сверхпроводимости. Различие в поведении системы тождественных частиц фермионов и бозонов связано стем, что для фермионов полная волновая функция системы является антисимметричной (она меняет знак при перестановке местами любой пары частица для бозонов — симметричной (она не меняет знак при перестановке любой пары частиц). Входящий в формулы (13.14) и (13.15) параметр m называется химическим потенциалом (в термодинамике он был введен в п. 12.2.11), его значения определяются из известного полного числа частиц и энергии системы (Покажем, что в квантовой механике тождественные частицы являются принципиально неразличимыми, то есть их нельзя пронумеровать. Для этого рассмотрим следующий пример. Пусть в начальный момент времени имеются два электрона с номерами 1 и 2 (см. рис. 13.6). Так как к ним понятие траектории неприменимо, то при своем движении они будут находиться с разной степенью вероятности в определенных областях пространства. При перекрытии этих областей нельзя однозначно сказать, где находятся электроны с номерами 1 и 2 , что приводит к принципиальной неразличимости частиц в квантовой механике. 13.3.4. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ–ДИРАКА F ФД (W) Найдем число микросостояний, которые соответствуют данному макро состоянию системы, то есть рассчитаем термодинамическую вероятность (статистический вес) макросостояния W. Учтем, что для данного макросостоя ния все микросостояния равновероятны, а также тот факт, что для фермионов любая фазовая ячейка будет или пустой или в ней будет находиться только один фермион ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 501 Отметим, что наличие, например у электронов, спиновых магнитных моментов никак не сказывается на выводе термодинамической вероятности макросостояния. Эти спиновые моменты можно учесть, либо вводя фазовые ячейки половинного объема (для электронов, коэффициент a в формуле (равен двум, либо еще одну переменную для фазового пространства, учитывающую проекцию спина. Пусть на уровне с энергией W K находится g K фазовых ячеек и N K частиц (для фермионов g K ³ N K ). Макросостояние определяет число ячеек, занятых частицами, и число ячеек, оставшихся свободными (номера ячеек не учитываются. Для задания микросостояния необходимо знать номера ячеек, заполненных и незаполненных частицами. Следовательно, число микросостоя ний, соответствующих данному макросостоянию, можно получить, если из всех перестановок ячеек друг с другом (g K !) исключить перестановки заполненных ячеек (N K !) между собой и незаполненных ячеек ((g K – N K )!) между собой. Тогда для одного уровня энергии можно получить следующее число микросостояний: 1 2 3 1 2 13 где обозначение N K ! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5, ..., N K раскрывается как произведение всех целых чисел от единицы до значения Учет других уровней энергии приводит к необходимости перемножить число микросостояний W K , полученных для каждого уровня энергии W K . Это связано стем, что перестановки ячеек в пределах одного уровня энергии не зависят от перестановок в пределах другого уровня. Тогда окончательно получим число микросостояний, которое соответствует данному макросостоя нию: 1 2 1 2 3 4 4 1 2 13 Найдем натуральный логарифм от выражения (13.17) 1 2 3 3 3 2 2 3 3 4 3 3 3 4 3 2 2 3 3 3 3 5 5 5 5 5 12 12 3 12 3 124 53 4 12 12 4 5124 5 4 55 4 12 12 4 5124 где была использована приближенная формула Стирлинга ln B! = Bln B – Равновесному состоянию соответствует наибольшая термодинамическая вероятность макс. Поэтому для ее отыскания нужно найти производную от ln W и затем приравнять ее к нулю. Это необходимо сделать при дополнительных условиях, накладываемых на систему, то есть на число ее частиц и ее полную энергию. Для этого используют метод неопределенных множителей Лангранжа, в котором выбирается функция вида 2 1 2 3 4 5 6 5 57 5 8 9 8 9 12 1 1 1 1 1 2 3 3 3 4 4 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ (в нее введены постоянные величины g и b) и берется производная от нее по числу частиц N K , затем она приравнивается нулю 2 3 3 4 3 4 3 5 3 6 2 1 1 1 0 12 123 откуда получается функция распределения Ферми–Дирака 1 2 1 1 3 4 5 6 3 4 5 6 1 1 1 1 2 3 4561 1 2 4561 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 Для выяснения физического смысла параметров g, b, m = –g/b используют формулу связи термодинамической вероятности и энтропии системы, ив итоге получается формула (Аналогично можно вывести формулу для распределения Бозе–Эйнштей на. Запишем без вывода формулу для термодинамической вероятности для статистики Бозе–Эйнштейна: 1 2 3 4 3 4 2 5 5 1 1 1 234 31 ПРИМЕР РАСЧЕТА ЧИСЛА СПОСОБОВ РАЗМЕЩЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО ЯЧЕЙКАМ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ СТАТИСТИК Возьмем две частицы и три ячейки фазового пространства, находящихся на одном уровне энергии W K . Рассмотрим, как могут размещаться частицы по ячейкам фазового пространства в статистиках Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака. Как видно из рис. 13.7, число возможных размещений в статистиках Максвелла–Больцмана, Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака составляют и 3 соответственно. Отметим, что в статистике Максвелла– Рис. 13.7 ЧАСТЬ 13. ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 503 Больцмана тождественные частицы являются различимыми, их можно пронумеровать, что и приводит к дополнительному набору микросостояний в этой статистике. Рассчитаем количество размещений по формулам, приведенным выше. Учтем, что N K = 2, g K = 3. Тогда получим для статистики Ферми–Дирака 1 1 2 3 3 3 3 4 1 1 1 3 1 2 3 3 2 1 1 2 1 1 1 2 13 41 1 а для статистики Бозе–Эйнштейна 1 2 1 2 3 3 3 4 5 5 5 5 5 2 2 3 3 3 1 3 2 1 4 1 2 3 4 6 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 23 1 23 3 4 31 23 31 23 3 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА–БОЛЬЦМАНА. УСЛОВИЕ СНЯТИЯ ВЫРОЖДЕНИЯ Систему частиц, описываемую квантовыми статистиками — статистикой Ферми–Дирака или Бозе–Эйнштейна, принято называть вырожденной системой частиц. В этом случае нельзя пренебрегать волновыми свойствами частиц. Если волновыми свойствами можно пренебречь, то тогда система частиц описывается статистикой Максвелла–Больцмана, она называется невырожденной системой частиц. Известно, что в условиях, когда волновыми свойствами частиц можно пренебречь, их поведение можно описывать в рамках классической механики как поведение классических частиц. Поэтому существует условие, при котором квантовые статистики Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна переходят в классическую статистику Максвелла–Больцмана, а именно если единицей в знаменателях формул (13.14) и (13.15) можно пренебречь 2 2 1 3 4 3 4 5 6 7 8 9 8 9 1 2 1 1 ФД БЭ 123 4 5 4 5 4 5 123 6 1 1 2 1 2 1 2 Как видно изданной формулы, это возможно, когда число квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе — в этом случае не возникает вопроса о заполнении одного квантового состояния двумя частицами и поэтому они не проявляют своих волновых свойств. (N/N сост ) = Раскроем условие (13.21), которое получило название условие снятия вырождения. Неравенство (13.20) будет справедливо для любых значений энергии, то есть и для значения W = 0. Тогда exp( m/(kT)) = 1. Величину exp(m/ (kT)) можно выразить через параметры идеального газа частиц, если оценить значение химического потенциала из формулы (13.6) для полного числа частиц N. Опуская вывод, можно записать 2 3 4 3 3 2 0 2 1 2345 15 66 7 5 6 12 34 5 6 34 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ откуда следует условие применимости статистики Максвелла–Больцмана 1 2 3 4 5 6 7 1 3 2 2 0 1 2 1 2 1 2 3 4 Итак, статистика Максвелла–Больцмана применима для газов малой концентрации, при высоких температурах и для молекул большой массы. Для концентраций газам, массе молекул m 0 » » (10 –26 ¸ 10 –27 ) кг и при нормальном атмосферном давлении для температуры газа можно получить T ? 0,1 К. Следовательно, распределение Максвелла Больцмана применимо для таких газов при достаточно низких температурах (понятно, что она должна быть выше температуры перехода в жидкое состояние. Иное — газ свободных электронов в металлах и фотонный газ, они являются вырожденными. Поскольку в квантовой теории существуют только две статистики, которые переходят при определенных условиях в статистику Максвелла– Больцмана, постольку нет других частиц, кроме бозонов и фермионов, которые подчиняются классической статистике. Это означает, что существующая принципиальная неразличимость частиц в квантовой механике переносится ив классическую статистику. Следовательно, тождественные частицы нельзя пронумеровать, как это считается в классической стати стике. Однако в условиях применимости классической статистики этот факт является несущественным. Действительно, в разреженном газе частицы находятся в среднем на больших расстояниях друг от друга, поэтому частицы практически не сближаются и их невозможно перепутать (волновыми свойствами частиц можно пренебречь. Поэтому в таких условиях статистические распределения для неотличимых частиц (тождественных частиц) совпадают с распределением для отличимых частиц (частиц, которые можно пронумеровать). |