М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
И ФОРМУЛЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ КУРСА ФИЗИКИ. Графический смысл производной от функции y(x) по аргументу x и интеграла отв пределах значений аргумента от x 1 до Для определения производной функции y по аргументу x при каком либо значении х необходимо взять конечные приращения аргумента x ( Dx = x 1 – x 2 ) и функции у (у = у у) и затем устремить Dx к нулю, те. взять бесконечно малые приращениях и у (их также называют элементарными приращениями). Тогда 1 2 1 3 4 4 4 5 1 0 0 tg 1 2 345 6 1 2 32 2 4 4 Пи графически производная у представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке (рис. П.1.1а). Графически интеграл от функции y в пределах значений аргумента от x 1 до представляет собой площадь под графиком функции в пределах от x 1 до рис. П.1.1б). Для ее расчета разбивают интервал (x 1 , x 2 ) на малые участки Dx i (i = 1, ..., N), определяют площади прямоугольных полосок (y i Dx i ) и затем их суммируют. Точное значение площади под графиком функции получают при стремлении ¥, Dx ® dx, бесконечная сумма бесконечно малых величин (ydx) обозначается в виде интеграла 23 4 2 5 6 1 4 7 8 9 2 1 2 0 1 234 5 1 1 2 3 3 3 1 2 4 564 5 4 (П.1.2) Так, в частности, для прямолинейной зависимости y = bx интеграл будет равен площади трапеции (рис. П.1.1в), поэтому 2 3 3 1 3 4 4 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 1 1 1 21 21 21 Рис. П.1.1 а б в ПРИЛОЖЕНИЯ 553 Приведем необходимые для дальнейшего изложения материала ряд формул табличных интегралов 1 1 2 2 3 4 3 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 23 1 2 2 2 2 3 1 4 4 П 1 2 1 1 23 1 1 23 1 П 1 1 2 1 2 1 3 1 1 4 2 1 1 2 1 2 123 345 345 П 1 2 1 3 1 4 2 1 1 2 123 451 451 П. Скалярное произведение двух векторов 1 и 2 — это скалярная величина, равная произведению модулей векторов 1 и 2 умноженному на косинус угла a между ними 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 345 6 1 12 21 12 2 где в формулу введена проекция вектора 1 1 на направление вектора 11 (b a = bcos рис. П.1.2а). Скалярное произведение произвольного вектора на его вектор элементарного приращения 1 12 можно записать в следующем виде (рис. П.1.2б): 1 2 1 1 1 1 1 234 5 121 1 где dc — элементарное приращение модуля вектора 111 которое может принимать как положительные, отрицательные, таки нулевые значения. В частности, это относится к элементарным приращениям модулей радиус вектора 11 (dr), линейной скорости 11 (dv), угловой скорости 11 (dw) и т. д. Для вектора же элементарного углового перемещения 11 1 по определению d j всегда больше нуля. Векторное произведение векторов 1 и 2 — это вектор 11 1 равный по модулю произведению модулей векторов 1 и 2 на синус угла a между ними (рис. П.1.2в). 1 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 23 456 3 7 3 89 1 2 3 1 23 2 Вектор 11 перпендикулярен плоскости вектора 1 и 2 его направление можно найти потрем эквивалентным правилам. Правило правого буравчика — вращательное движение буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от 1 и 2 тогда его поступательное движение дает направление 111 Правило левой руки — четыре пальца нужно расположить по направлению вектора вектор 11 должен входить в ладонь, тогда отогнутый на 90° большой палец покажет направление 111 Рис. П.1.2 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Правило векторного произведения — если смотреть с конца вектора на плоскость векторов 1 и 2 то тогда кратчайший поворот от 1 и 2 будет направлен против часовой стрелки. Двойное векторное произведение векторов и 2 3 раскрывается следующим образом 2 3 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 22 3 4 3 45 1 2 3 2 13 3 П. Градиент скалярной величины a. Пусть в пространстве каким либо образом распределена скалярная величина a (существует поле скалярной величины это может быть поле температуры (a = T), плотности вещества (a потенциальной энергии (a = р) и т. д. Такое поле можно охарактеризовать максимальными минимальным значением a, средним значением a, а также градиентом. Под градиентом скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в сторону наиболее быстрого возрастания a и численно равный приращению величины a на единицу длины этого направления 1 1 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 grad grad 1 2 2 1 1 1 1 21 1 3 4 5 1 6 7 8 29 (П.1.8) где 1 1 1 направление grada в данной точке пространства векторы 1 2 2 1 1 2 1 2 3 векторы единичной длины 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 234 1 2 3 указывающие направления осей Ox, Oy ив пространстве (рис. П. Они позволяют представить произвольный вектор 1 1 в виде суммы его проекции на оси (рис. П 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 4 5 4 6 4 7 (П.1.9) При вычислении производной величины по координате x в формуле (П) считается, что координаты y и z остаются постоянными такая производная называется частной производной по координате x: 1 2 2 2 1 const const 1 2 34 1 21 3 4 5 Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по координатами Выражение (П) можно записать в более компактном виде, если ввести оператор Гамильтона или оператор Набла 1 1 2 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 (П.1.10) Действие этого оператора на скалярную величину a приводит к выражению (П.1.8), то есть grada = Ña. 6. Математическое описание векторных полей. Линии вектора Однородные и неоднородные поля. Пусть в пространстве существует поле вектора то есть в каждой точке пространства задан вектор Это может быть поле вектора скорости 11 течения жидкости, вектора напряженности электростатического поля, вектора напряженности В вихревого электрического поля, вектора магнитной индукции 1 1 магнитного поля и т. д. Для описания векторного поля вводят понятие линий вектора 1 1 они проводятся так, чтобы в каждой точке линии вектор был направлен по касательной Рис. П ПРИЛОЖЕНИЯ 555 к ним (рис. Па. Они нигде не пересекаются, их проводят так, чтобы густота линии 11 в данной точке поля (число линий 111 пронизывающих единичную площадку, перпендикулярную к линиям в каждой точке поля равнялось модулю В общем случае векторное поле является неоднородным — направление и модуль изменяются. Для однородного поля в каждой его точке вектор 11 одинаков Линии 11 такого поля — это параллельные прямые, соседние линии отстоят на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. П.1.4б.) 6.2. Циркуляция и поток вектора Возьмем в неоднородном поле воображаемый замкнутый контур Г, укажем произвольно направление его обхода и введем вектор 1 1 12 равный по модулю элементарной длине dl контура. В каждой точке вектор 1 12 совпадает с касательной к контуру и направлен по обходу контура (рис. П.1.5а). Тогда циркуляцией вектора 11 по произвольному замкнутому контуру Г называют интеграл следующего вида 2 3 3 2 4 4 1 1 1 1 2 2 123 4 5 67 123 123 123 (П.1.11) Можно утверждать, что если для поля вектора циркуляция 11 по произвольному замкнутому контуру Г равна нулю, то это поле является потенциальным (например поле силы тяжести 1 1 12 электростатическое поле вектора и т. д 2 3 1 1 2 0 1 123 (П.1.12) Поэтому формула (П) является признаком потенциальности векторного поля. Если же циркуляция по произвольному замкнутому контуру Г отлична от нуля, тополе вектора не является потенциальным, его называют вихревым полем. Введем понятие потока F вектора 11 1 Возьмем в неоднородном поле вектора произвольную поверхность S, выделим на ней элементарную площадку dS и введем вектор 1 12 направленный вдоль вектора нормали 11 к площадке (рис. П.1.5б). Модуль 1 12 равен площади dS элементарной площадки. Тогда элементарным потоком d F вектора 11 через площадку dS называют величину 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 123 4 5 4 67 1 213 213 2 4 (П.1.13) Суммируя потоки d F через все площадки dS поверхности S, найдем поток вектора через поверхность S: 1 2 1 2 2 3 4 4 4 1 1 123 4 1 1 1 2 321 321 (П.1.14) Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора 11 в данной точке поля, то тогда поток вектора численно равен количеству N линий 111 пронизывающих поверхность S. а б а б Рис. П.1.4 Рис. П МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ На рис. П приведен ряд примеров расчета потока вектора через различные поверхности S (а, б, в — плоская поверхность, г — замкнутая поверхность). Поток вектора через замкнутую поверхность (рис. П.1.6г) равен нулю, так как количество линий, входящих (N–) и выходящих (N+) из поверхности, одинаково, но они берутся с противоположными знаками из за косинуса угла Названия циркуляция и поток вектора были заимствованы из гидростатики, где рассматривается векторное поле скорости 11 течения жидкости. Так, отличие от нуля циркуляции 11 по взятому внутри жидкости замкнутому контуру означает, что жидкость будет двигаться (циркулировать) вдоль него. Отличие же от нуля потока 11 через какую либо поверхность, взятую внутри жидкости, означает, что существует поток жидкости через нее, те. линии 11 пересекают эту поверхность Источники векторных полей Оказывается, что введенные выше понятия потока и циркуляции вектора связаны с наличием в пространстве двух источников этого поля. Точечный источник векторного поля первого типа — это источник, в котором начинаются или заканчиваются линии Так, например, в случае электростатического поля такими источниками являются точечные положительные и отрицательные заряды (рис. Пав случае поля вектора скорости жидкости — это точки, где жидкость втекает или уходит изданного объема (рис. П.1.7б). Если взять произвольную замкнутую поверхность, охватывающую такие источники, то тогда поток вектора 11 через нее будет в общем случае отличен от нуля и будет характеризовать наличие источников в объеме V, ограниченном этой поверхностью 2 1 2 3 4 4 1 1 2 1 const источник const 1 2 1 2 341 42 (П.1.15) где введена объемная плотность r источников первого типа. Для поля вектора, где имеются только такие источники, циркуляция по произвольному замкнутому контуру Г будет равна нулю, то есть такое поле будет потенциальным. Рис. П.1.6 а б в г Рис. Паб ПРИЛОЖЕНИЯ 557 Точечный источник поля вектора второго типа создает вокруг себя вихрь, который приводит к возникновению замкнутых линий Это могут быть линии магнитного поля, линии 1 1 2 вихревого электрического поля, линии 1 1 скорости течения жидкости. В случае жидкости точечный источник второго типа можно получить, если в данную точку поместить вертушку, которая будет вызывать вращение жидкости вокруг этой точки. Если взять произвольный замкнутый контур Г, то наличие в его плоскости вихрей приведет к тому, что циркуляция поэтому контуру будет отличной от нуля, то есть будет характеризовать наличие вихрей в плоскости контура 2 1 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 Г Г const источник const 1 2 3 123 425 (П.1.16) где веден вектор 1 1 описывающий поверхностную плотность источников второго типа в плоскости контура. Для поля только с источником второго типа поток вектора через произвольную поверхность будет равен нулю, так как при замкнутых линиях вектора количество линий, входящих и выходящих из такой поверхности, будет одинаково. Обычно существуют векторные поля, в которых имеется только один из двух источников. Можно привести пример поля, в котором присутствуют одновременно оба источника — это поле скорости 11 течения жидкости, в котором в какой то одной точке она вливается в данный объем жидкости, ив ней же находится вертушка. Дивергенция и ротор вектора 111Для решения большинства практических задач необходимо применять математический аппарат, позволяющий учитывать наличие источников векторных полей не только в большом объеме пространства, но ив малой окрестности какой либо точки. Для этого вводятся понятия дивергенции и ротора 1 rot 1 2 1 вектора 1 1 1 Возьмем объем поля V, ограниченного замкнутой поверхностью S, и будем стягивать поверхность в малую окрестность точки А (рис. П.1.8а). Тогда дивергенцией вектора называют предел 2 3 1 1 1 2 0 1 1 234 1 2 3456 632 1 (П.1.17) Дивергенция (или расхождение характеризует наличие источников первого типа в малой окрестности точки А 23 1 const 1 1234 (П.1.18) В математике для 1 1234 можно записать следующее выражение 1 1 2 3 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 4 4 5674 4 8 9 (П.1.19) а б Рис. П МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Введем понятие ротора вектора Возьмем замкнутый контур Г, ограничивающий поверхность S, и будем стягивать контур в малую окрестность точки А (рис. П.1.8б). Тогда ротором вектора называют предел 2 3 1 1 1 2 0 1 rot 1 2 3 456 1 2 3 345 1 (П.1.20) Ротор (вихрь характеризует наличие источников второго типа в малой окрестности точки АС учетом формулы (Пи постоянства в малой окрестности точки А получим 2 1 1 rot const 1 1 2 (П.1.21) В математике для 1 rot 1 можно записать следующее выражение 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 4 5 6 4 7 8 7 8 7 9 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 rot 1 П ПРИЛОЖЕНИЯ 559 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (СИ) Как известно, физика является экспериментальной наукой. Любая вводимая в ней величина наполняется конкретным содержанием тогда, когда указан способ ее измерения. Измерить физическую величину — значит сопоставить ее с другой однородной ей величиной, принятой за единицу измерения. В связи с чем важным в физике является указание единиц измерения различных величин и способов их экспериментального определения. Развитие физики как науки приводит к определенной взаимосвязи физических величин, описывающих разные явления. Можно подобрать, построить такую последовательность физических формул, в которой в каждую новую формулу входит только одна новая величина. Подобранная таким образом последовательность формул приводит к конкретной системе единиц измерения физических величин. В ней выделяют основные физические величины, единицы измерения которых выбирают произвольно с помощью соответствующих договоренностей на основе различных эталонов или специальных опытов, обладающих наибольшей точностью измерений приданном развитии науки и техники. Остальные величины называют производными величинами, для них единицы измерения получают из формул — определений этих величин, формул, в которые, помимо данной величины, входят другие с уже известными единицами измерения. В настоящее время широкое распространение получила Международная система единиц (СИ. В ней имеются семь основных единиц измерения. К ним относятся единицы длины (метр, времени (секунда, массы (килограмм, количества вещества (моль, температуры (кельвин), силы тока (ампер) и силы света (кандела. В курсе общей физики эта система единиц является основной, хотя в научных статьях применяются и другие системы единиц, например СГС (секунда, грамм, сантиметр). Рассмотрим подробнее международную систему единиц (СИ. Приведем сначала определение основных единиц измерения этой системы. Длина, l: метр (м) — длина, равная 1 650 763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p 10 и 5d 5 атома криптона. Масса, m |