Международный консорциум Электронный университет Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
 Скачать 1.32 Mb.
|
|
4.3. Принятие решений в условиях риска Методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и обосновываются в рамках так называемой теории статистических решений. При этом в случае «доброка- чественной», или стохастической, неопределенности, когда состояниям природы постав- лены в соответствие вероятности, заданные экспертно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска (матрицы типа (97) либо (98)). Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 67 Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей m,n ij a A = , стратегиям природы П j соответствуют вероятности p j , то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е. max 1 1 ij n j j m i a p ∑ = ≤ ≤ (99) Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск: ∑ = ≤ ≤ n j ij j r p 1 m i 1 min (100) Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заклю- чается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть. Покажем, что критерии (99) и (100) эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения для них обеспечивает одна и та же стратегия А i игрока 1. Действительно, ( ) = − β = − β = ∑ ∑ ∑ ∑ = = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ n j ij j n j j j m i ij j n j j m i n j ij j m i a p p a p r p 1 1 1 1 1 1 1 min min min ij n j j m i j n j j m i a p p ∑ ∑ = ≤ ≤ = ≤ ≤ − β = 1 1 1 1 min min = const + ∑ = ≤ ≤ n j ij j m i a p 1 1 max , т.е. значения критериев отличаются на постоянную величину, поэтому принятое реше- ние не зависит от стратегии А i Например, для игры, задаваемой матрицей А (97) или матрицей R (98), при усло- вии, что p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = 1/4, А 1 – лучшая стратегия игрока 1 по критерию (99), по- скольку 4 19 max 4 1 4 4 1 = 3 1 4 1 1 = = ∑ ∑ ≤ ≤ = j ij i j j a a Эта же стратегия является лучшей для игрока 1 по критерию (100) относительно обеспечения минимального уровня риска: = ∑ = 4 1 j ij j r p 2 min 4 1 4 1 = 3 1 = ∑ ≤ ≤ j ij i r На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей (97) или матрице рисков (98) в зависимости от того, какая из них определяется с большей досто- верностью. Это особенно важно учитывать при экспертных оценках элементов матриц А и R. 4.4. Выбор решений с помощью дерева решений (позиционные игры) Рассмотрим более сложные (позиционные, или многоэтапные) решения в услови- ях риска. Одноэтапные игры с природой, таблицы решений (см. разд. 3.3), удобно ис- пользовать в задачах, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множе- ство состояний среды. Многие задачи, однако, требуют анализа последовательности ре- шений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы порождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более Моделирование рисковых ситуаций 68 последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появля- ется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют собы- тиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений. Дерево решений – это графическое изображение последовательности ре- шений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и вы- игрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды. 4.4.1. Принятие решений с применением дерева решений В постановочном плане рассмотрим несколько задач, которые могут быть решены с помощью данного метода. Задача 1. Разведывательное бурение скважин. Некоторая нефтяная разведыва- тельная партия должна решить, стоит ли бурить скважины на данном участке до того, как истечет срок контракта. Для руководителей партии не ясны многие обстоятельства: • в какую сумму обойдется стоимость бурения, зависящая от качества грунта, глу- бины залегания нефти и т.д.; • на какие запасы нефти в этом месте можно рассчитывать; • сколько будет стоить эксплуатация скважины. В распоряжении руководства имеются объективные данные об аналогичных и не вполне похожих скважинах этого типа. При помощи сейсмической разведки можно по- лучить дополнительную информацию, которая, однако, не дает исчерпывающих сведе- ний о геофизической структуре разведываемого участка. Кроме того, получение сейсми- ческой информации стоит недешево, поэтому еще до того, как будет принято оконча- тельное решение (бурить или нет), следует определить, есть ли необходимость собирать эти сведения. Задача 2. Выпуск нового товара. Большая химическая компания успешно завер- шила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компа- нии должно решить, производить эту краску самим (и если – да, то какой мощности строить завод) либо продать патент или лицензию, а также технологию независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски. Основные источники неопределенности: • рынок сбыта, который фирма может обеспечить при продаже новой краски по данной цене; • расходы на рекламу, если компания будет сама производить и продавать краску; • время, которое потребуется конкурентам, чтобы выпустить на рынок подобный товар (успеет ли компания за этот срок окупить затраты, понесенные для того, чтобы стать лидером в данной сфере производства). Компания может получить некоторые дополнительные сведения, имеющие кос- венное отношение к проблемам проникновения конкурентов на рынок сбыта, опросив часть поставщиков краски. Но к материалам опросов следует относиться с осторожно- стью, ибо поставщики в действительности могут поступать не так, как они первоначаль- но предполагают. В качестве подтверждения последнего суждения можно привести ис- Определение Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 69 следования, проведенные американскими автомобильными корпорациями для того, что- бы определить спрос на большие легковые автомобили. Несмотря на надвигающийся энергетический кризис 1971—1973 гг., результаты анкетирования показали, что амери- канские покупатели по-прежнему предпочитают многоместные легковые автомобили. Однако на деле все произошло с точностью до наоборот, и на рынке стали пользоваться спросом небольшие, экономичные машины. Такие результаты опроса могут быть час- тично объяснены скрытностью человеческого характера, и это должно учитываться при принятии решений. 4.4.2. Анализ и решение задач с помощью дерева решений Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предпо- лагает выполнение следующих пяти этапов. Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящие- ся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несу- щественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаци для экспериментирования и реальных действий; со- ставление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти; ус- тановление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять. Этап 2. Построение дерева решений. Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникно- вения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности оп- ределяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем. Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды. Этап 5. Решение задачи. Прежде чем продемонстрировать процедуру применения дерева решений, введем ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выпол- няться с позиций так называемых «объективистов» и «субъективистов». Поясним эти по- нятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лоте- рейного билета) игрок c равной вероятностью p = 0,5 может ничего не выиграть или вы- играть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лотерее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуа- ция складывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэто- му возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации). Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максималь- ная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ. Индивида, для которого БДЭ совпадает с ожидаемой денежной оценкой (ОДО) иг- ры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, инди- вида, для которого БДЭ ≠ ОДО, – субъективистом. Ожидаемая денежная оценка рассчи- тывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5 × 0 + 0,5 × 100 = 50 дол. Если субъективист скло- Определение Моделирование рисковых ситуаций 70 нен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО. Вопрос об отношении к риску более строго рассматривается в теме 4. Предположим, что решения принимаются с позиции объективиста. Рассмотрим процедуру принятия решения на примере следующей задачи. Задача 3. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска но- вой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятно- го или неблагоприятного состояния рынка (табл. 4). На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно построить дерево реше- ний (рис. 3). Таблица 4 Выигрыш (дол.) при состоянии экономической среды Номер стратегии Действия компании Благоприятном Неблагоприятном 1 Строительство крупного предприятия (а 1 ) 200 000 180 000 2 Строительство малого предприятия (а 2 ) 100 000 20 000 3 Продажа патента (а 3 ) 10 000 10 000 Примечание. Вероятность благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды равна 0,5. Рис. 3. Дерево решений без дополнительного обследования конъюнктуры рынка Процедура принятия решения заключается в вычислении для каждой вершины де- рева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспек- тивных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО. Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО): • для вершины 1 ОДО 1 = 0,5 × 200 000 + 0,5(-180 000) = 10 000 дол.; • для вершины 2 ОДО 2 = 0,5 × 100 000 + 0,5(-20 000) = 40 000 дол.; • для вершины 3 ОДО 3 = 10 000 дол. Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию а 2 , т.е. строить малое предпри- ятие, а ветви (стратегии) а 1 и а 3 дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего ре- шения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50% неудачи и 50% удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку ско- рее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое пред- положение «fifty-fifty» – пятьдесят на пятьдесят). Усложним рассмотренную выше задачу. Пусть перед тем, как принимать решение о строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 71 нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство по- нимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной ин- формации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она спо- собна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприятно- сти рынка сбыта представлены в табл. 5. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оп- равдывается с вероятностью 0,73. Таблица 5 Фактически Прогноз фирмы Благоприятный Неблагоприятный Благоприятный 0,78 0,22 Неблагоприятный 0,27 0,73 Предположим, что фирма, которой заказали прогноз состояния рынка, утверждает: • ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45; • ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55. На основании дополнительных сведений можно построить новое дерево решений (рис. 4), где развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным. Рис. 4. Дерево решений при дополнительном обследовании рынка Моделирование рисковых ситуаций 72 Анализируя дерево решений, можно сделать следующие выводы: • необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, по- скольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение; если фирма прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз не- благоприятный – малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.). 4.4.3. Ожидаемая ценность точной информации Предположим, что консультационная фирма за определенную плату готова пре- доставить информацию о фактической ситуации на рынке в тот момент, когда руково- дству компании надлежит принять решение о масштабе производства. Принятие пред- ложения зависит от соотношения между ожидаемой ценностью (результативностью) точ- ной информации и величиной запрошенной платы за дополнительную (истинную) информацию, благодаря которой может быть откорректировано принятие решения, т.е. первоначальное действие может быть изменено. Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой (ОДО) при наличии точной информации и максимальной ожидаемой денежной оценкой при отсутствии точной информации. Рассчитаем ожидаемую ценность точной информации для примера, в котором дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводится. При отсутствии точ- ной информации, как уже было показано выше, максимальная ожидаемая денежная оценка равна: ОДО = 0,5 × 100 000 – 0,5 × 20 000 = 40 000 дол. Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной (ОДО = 200 000 дол., см. табл. 4), принимается решение строить крупное производство, если неблагоприятной, то наиболее целесообразное решение – продажа патента (ОДО=10 000 дол.). Учитывая, что вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуа- ций равны 0,5, значение ОДО т.и (ОДО точной информации) определяется выражением: ОДО т.и = 0,5 × 200 000 + 0,5 × 10 000 = 105 000 дол. Тогда ожидаемая ценность точной информации равна: ОЦ т.и = ОДО т.и – ОДО = 105 000 – 40 000 = 65 000 дол. Значение ОЦ т.и показывает, какую максимальную цену должна быть готова запла- тить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка в тот момент, ко- гда ей это необходимо. Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 73 Задачи Примеры решения Задача 1. Компания «Российский сыр» – небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов – сырная паста – поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пас- ту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компания продает каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в тече- ние месяца? Решение. Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы вы- ступают величины спроса на аналогичное число ящиков. Вычислим, например, показа- тель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7. Каждый ящик продается по 95 дол. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Сле- довательно, выручка будет 7 × 95, а издержки производства 8 ящиков 8 × 45. Итого, прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна 7 × 95 – 8 × 45 = 305 дол. Анало- гично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения. В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (табл. 6). Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производ- ству 8 ящиков. Таблица 6 Спрос на ящики Производство ящиков 6 (0,1) * 7 (0,3) 8 (0,5) 9 (0,1) Средняя ожидае- мая прибыль 6 300 300 300 300 300 7 255 350 350 350 340,5 8 210 305 400 400 352,5 9 165 260 355 450 317 * В скобках приведены вероятность спроса на ящики. На практике чаще всего в подобных случаях решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых из- держек. Следуя такому подходу, можно остановиться на рекомендации производить 8 ящиков, и для большинства ЛПР рекомендация была бы обоснованной. Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднего квад- ратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе мак- симума прибыли или минимума издержек решение. Это в полной мере согласуется с ха- рактеристиками вариантов, представленных на рис. 1. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависимыми от склонности к риску ЛПР. Вспомним необходимые для наших исследований формулы теории вероятностей [5. С. 109, 119]: дисперсия случайной величины ξ равна ( ) ( ) ; 2 2 ξ − ξ = ξ M M D среднее квадратичное отклонение , ξ = σξ D где D и М – соответственно символы дисперсии и математического ожидания. Моделирование рисковых ситуаций 74 Проводя соответствующие вычисления для случаев производства 6, 7, 8 и 9 ящи- ков, получаем: 6 ящиков ( ) ( ) ; 000 90 1 , 0 5 , 0 3 , 0 1 , 0 300 2 2 = + + + = ξ M ( ) 000 90 300 2 2 = = ξ M ; . 0 ; 0 000 90 000 90 = σξ = − = ξ D 7 ящиков ( ) ; 5 , 752 116 350 9 , 0 255 1 , 0 2 2 2 = × + × = ξ M ( ) 940 115 5 , 340 2 2 = = ξ M ; ; 5 , 812 940 115 5 , 752 116 = − = ξ D 5 28 5 812 , , = = σξ 8 ящиков ( ) ; 5 , 317 128 400 6 , 0 305 3 , 0 210 1 , 0 2 2 2 2 = × + × + × = ξ M ( ) 25 , 256 124 5 , 352 2 2 = = ξ M ; ; 25 , 061 4 25 , 256 124 5 , 317 128 = − = ξ D 73 , 63 25 , 061 4 = = σξ 9 ящиков ( ) ; 265 106 450 1 , 0 355 5 , 0 260 3 , 0 165 1 , 0 2 2 2 2 2 = × + × + × + × = ξ M ( ) 489 100 317 2 2 = = ξ M ; ; 776 5 489 100 265 106 = − = ξ D 76 776 5 = = σξ Вывод. Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков – средних квадратичных отклонений – очевидно, что производить 9 ящиков при любых обстоятельствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднее квадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). А вот целесообразно ли производст- во 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 – неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков ( 73 , 63 = σξ ) больший, чем при производстве 7 ящиков ( 5 , 28 = σξ ) и тем более 6 ящиков, где 0 = σξ . Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков налицо. Решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр» с учетом его опыта, склон- ности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Авторы, учитывая все приведенные числовые характеристики случайной величины – при- были, склоняются к рекомендации производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максими- зации прибыли без учета риска!). Читателю предлагается обосновать свой выбор. Задача 2. Рассмотрим упомянутую выше проблему закупки угля для обогрева дома. Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для ото- пления дома (табл. 7). Вероятности зим: мягкой —0,35; обычной – 0,5; холодной – 0,15. Таблица 7 Зима Количество угля, т Средняя цена за 1 т в ф. ст. Мягкая 4 7 Обычная 5 7,5 Холодная 6 8 Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 ф. ст. за 1 т, у вас есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагает- ся, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет * . Сколько угля ле- том покупать на зиму? * Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи. Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 75 Решение. Построим платежную матрицу (табл. 8). Таблица 8 0,35 0,5 0,15 Вероятность Зима Мягкая Обычная Холодная Мягкая (4 т) -(4 × 6) -(4 × 6 + 1 × 7,5) -(4 × 6 + 2 ×8) Обычная (5 т) -(5 × 6) -(5 × 6 + 0 × 7,5) -(5 × 6 + 1 × 8) Холодная (6 т) -(6 × 6) -(6 × 6 + 0 × 7,5) -(6 × 6 + 0 × 8) Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 9). Таблица 9 Зима Средняя ожидаемая плата Мягкая -(24 × 0,35 + 31,5 × 0,5 + 40 × 0,15) = –30,15 Обычная -(30 × 0,35 + 30 × 0,5 + 38 × 0,15) = –31,2 Холодная -(36 × 0,35 + 36 × 0,5 + 36 × 0,15) = –36 Из табл. 9 видно, что, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на слу- чай мягкой зимы (30, 15 ф. ст.). Соответственно, если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, до- купить уголь по более высоким зимним ценам. Если продолжить исследование процесса принятия решения и аналогично задаче 1 вычислить средние квадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим: • для мягкой зимы 357 , 5 = σξ ; • для обычной зимы 856 , 2 = σξ ; • для холодной зимы 0 = σξ Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожи- даемая средняя плата за уголь оказывается максимальной – 36 ф. ст. Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как, со- гласно табл. 9, ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ( 856 2, = σξ против 5,357). Отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 0915 , 0 2 , 31 856 , 2 = против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 1777 , 0 15 , 30 357 , 5 = , т.е. вновь раз- личие почти в 2 раза. Эти соотношения и позволяют нам рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму. Задача 3. АО «Фото и цвет» – небольшой производитель химических реактивов и оборудования, которые используются некоторыми фотостудиями при изготовлении 35- мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото и цвет» – ВС-6. Президент АО продает в течение недели 11, 12 или 13 ящиков ВС-6. От продажи каждого ящика АО получает 35 дол. прибыли. Как и многие фотографические реактивы, ВС-6 имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, он должен быть Моделирование рисковых ситуаций 76 уничтожен. Каждый ящик обходится предприятию в 56 дол. Вероятности продать 11, 12 и 13 ящиков в течение недели равны соответственно 0,45; 0,35; 0,2. Как вы советуете посту- пить? Как вы порекомендуете поступить, если бы «Фото и цвет» мог сделать ВС-6 с добав- кой, значительно продлевающей срок его годности? Решение. Матрицу игры с природой (здесь АО «Фото и цвет» – игрок с природой, а природа – торговая конъюнктура) строим по аналогии с рассмотренными выше зада- чами (табл. 10). Таблица 10 Спрос на ящики Производство ящиков 11 (0,45) * 12 (0,35) 13 (0,2) Средняя ожидаемая прибыль 11 35 × 11 = 385 35 × 11 = 385 35 × 11 = 385 385 12 35 × 11 – 56 × 1 = 329 35 × 12 = 420 35 × 12 = 420 379,05 13 35 × 11 – 56 × 2 = 273 35 × 11 – 56 × 1 = 364 35 × 13 = 455 341,25 * В скобках приведена вероятность спроса на ящики. Расчет средней ожидаемой прибыли производится с использованием вероятностей состояний природы, как и в задачах 1 и 2. Вывод. Наибольшая из средних ожидаемых прибылей (385 дол.) отвечает при за- данных возможностях спроса производству 11 ящиков ВС-6. Производство 11 ящиков в неделю и следует рекомендовать АО «Фото и цвет», ибо показатель риска – среднее квадратичное отклонение, как нетрудно убедиться, σξ =0 – минимален при максимальной средней ожидаемой прибыли. Если срок службы химического реактива будет удлинен, то его производство даже при прежнем спросе можно увеличить, частично производя на склад для последующей реализации. Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 77 Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Компания, производящая стиральный порошок, работает в условиях сво- бодной конкуренции. Порошок выпускается блоками, причем цена одного блока в бу- дущем месяце является неопределенной: 10 руб. с вероятностью 0,3; 15 руб. с вероятно- стью 0,5; 20 руб. с вероятностью 0,3. Полные затраты (ПЗ) на производство Q блоков сти- рального порошка определяются зависимостью ПЗ = 1000 + 5Q + 0,0025Q 2 Постройте таблицу решений и определите суточный выпуск продукции компа- нии (в блоках), при котором среднесуточная прибыль будет максимальной. Задача 2. Спрос на некоторый товар, производимый монополистом, определяется зависимостью Q = 100 – 5р + 5j, где j – достоверно неизвестный уровень дохода потребите- лей, р – цена товара. По оценкам экспертов, = 4 , 0 ью вероятност с – 4 ; 6 , 0 ью вероятност с – 2 j Полные затраты на производство товара определяются зависимостью ПЗ = 5 + 4Q + 0,05Q 2 Сколько товара должен выпускать монополист и по какой цене продавать, чтобы макси- мизировать свою ожидаемую прибыль? Задача 3. Молодой российский бизнесмен предполагает построить ночную диско- теку неподалеку от университета. По одному из допустимых проектов предприниматель может в дневное время открыть в здании дискотеки столовую для студентов и преподава- телей. Другой вариант не связан с дневным обслуживанием клиентов. Представленные бизнес-планы показывают, что план, связанный со столовой, может принести доход в 250 тыс. руб. Без открытия столовой бизнесмен может заработать 175 тыс. руб. Потери в слу- чае открытия дискотеки со столовой составят 55 тыс. руб., а без столовой— 20 тыс. руб. Определите наиболее эффективную альтернативу на основе средней стоимостной цен- ности в качестве критерия. Задача 4. Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи ка- ждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. По- скольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции? Задача 5. Магазин «Молоко» продает в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупить у производите- ля для торговли в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение не- дели будет 7, 8, 9 или 10 бидонов, равны соответственно 0,2; 0,2; 0,5 и 0,1. Покупка одного бидона сметаны обходится магазину в 70 руб., а продается сметана по цене 110 руб. за бидон. Если сметана не продается в течение недели, она портится, и магазин несет убыт- ки. Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Моделирование рисковых ситуаций 78 Задача 6. Найти наилучшие стратегии по критериям: максимакса, Вальда, Сэвид- жа, Гурвица (коэффициент пессимизма равен 0,2), Гурвица применительно к матрице рисков (коэффициент пессимизма равен 0,4) для следующей платежной матрицы игры с природой (элементы матрицы – выигрыши): 5 3 6 8 7 4 7 5 5 4 8 1 1 3 1 10 0 2 9 9 7 1 3 6 − − − − − − Задача 7. Директор лицея, обучение в котором осуществляется на платной основе, решает, следует ли расширять здание лицея на 250 мест, на 50 мест или не проводить строительных работ вообще. Если население небольшого города, в котором организован платный лицей, будет расти, то большая реконструкция могла бы принести прибыль 250 тыс. руб. в год, незначительное расширение учебных помещений могло бы прино- сить 90 тыс. руб. прибыли. Если население города увеличиваться не будет, то крупное расширение обойдется лицею в 120 тыс. руб. убытка, а малое – 45 тыс. руб. Однако ин- формация о том, как будет изменяться население города, отсутствует. Постройте дерево решений и определите лучшую альтернативу, используя критерий Вальда. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы в отсутствие необходимой информации? Пусть при тех же исходных данных государственная статистическая служба предос- тавила информацию об изменении численности населения: вероятность роста численно- сти населения составляет 0,7; вероятность того, что численность населения останется неизменной или будет уменьшаться, равна 0,3. Определите наилучшее решение, исполь- зуя критерий максимизации ожидаемой денежной оценки. Чему равно значение ОДО для наилучшей альтернативы при получении дополнительной информации? Какова ожидаемая ценность дополнительной информации? Задача 8. При крупном автомобильном магазине планируется открыть мастерскую по предпродажному обслуживанию и гарантийному ремонту автомобилей. Консульта- ционная фирма готова предоставить дополнительную информацию о том, будет ли ры- нок благоприятным или нет. Эти сведения обойдутся магазину в 13 тыс. руб. Админист- рация магазина считает, что эта информация гарантирует благоприятный рынок с веро- ятностью 0,5. Если рынок будет благоприятным, то большая мастерская принесет прибыль в 60 тыс. руб., а маленькая – 30 тыс. руб. При неблагоприятном рынке магазин потеяет 65 тыс. руб., если будет открыта большая мастерская, и 30 тыс. руб.— если откро- ется маленькая. Не имея дополнительной информации, директор оценивает вероятность благоприятного рынка как 0,6. Положительный результат обследования гарантирует бла- гоприятный рынок с вероятностью 0,8. При отрицательном результате рынок может ока- заться благоприятным с вероятностью 0,3. Постройте дерево решений и определите: 1) Следует ли заказать консультационной фирме дополнительную информацию, уточняющую конъюнктуру рынка? 2) Какую мастерскую следует открыть при магазине: большую или маленькую? 3) Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения? 4) Какова ожидаемая ценность дополнительной информации? Задача 9. Фирма, производящая вычислительную технику, провела анализ рынка нового высокопроизводительного персонального компьютера. Если будет выпущена крупная партия компьютеров, то при благоприятном рынке прибыль составит 250 тыс. Принятие решений в условиях неопределенности и риска (игры с природой) 79 руб., а при неблагоприятных условиях фирма понесет убытки в 185 тыс. руб. Небольшая партия техники в случае ее успешной реализации принесет фирме 50 тыс. руб. прибыли и 10 тыс. руб. убытков – при неблагоприятных внешних условиях. Возможность благо- приятного и неблагоприятного исходов фирма оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести эксперт, обошлось фирме в 15 тыс. руб. Эксперт считает, что с вероятностью 0,6 рынок окажется благоприятным. В то же время при положитель- ном заключении благоприятные условия ожидаются лишь с вероятностью 0,8. При отри- цательном заключении с вероятностью 0,15 рынок также может оказаться благоприят- ным. Используйте дерево решений для того, чтобы помочь фирме выбрать правильную технико-экономическую стратегию. Ответьте на следующие вопросы: 1) Следует ли заказывать эксперту дополнительное обследование рынка? 2) Какую максимальную сумму фирма может выплатить эксперту за проделанную работу? 3) Какова ожидаемая денежная оценка наилучшего решения? Задача 10. Автомобильный завод получает реле поворота от двух поставщиков: А и В. Качество этих изделий характеризуется данными в табл.11. Таблица 11 Вероятность для поставщика Процент брака А В 1 0,7 0,4 2 0,1 0,3 3 0,09 0,15 4 0,07 0,1 5 0,04 0,05 Полные затраты, связанные с ремонтом одного бракованного реле, составляют 5 руб. Реле поступают партиями по 20 000 шт. Поскольку качество изделий у поставщика В хуже, он уступает всю партию на 500 руб. дешевле. Постройте дерево решений. Какого поставщика следует выбрать? Моделирование рисковых ситуаций 80 |