тау. ТАУ МУПЗ 28.04.21. Методические указания к практическим занятиям для студентов СанктПетербург 2021 у дк 681 011

• Название: Методические указания к практическим занятиям для студентов СанктПетербург 2021 у дк 681 011
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: ТАУ МУПЗ 28.04.21.docx
• Тип: Методические указания; #684879
• страница: 6 из 11

Алгебраический критерий устойчивости Раусса — Гурвица

По критерию Раусса—Гурвица автоматическая система регу­лирования будет устойчивой, если все корни характеристического линейного или линеаризованного уравнения будут иметь отрица­тельное значение, а это будет в том случае, когда все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны.

Определители могут быть получены следующим образом. Для систем первого порядка:

(4.6).

при : .

Для систем второго порядка

(4.7).

при : ;

Для систем третьего порядка

(4.8).

при :

В этом случае система будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны и Здесь мы получили критерий Вышнеградского, который является частным случаем критерия Раусса — Гурвица

Для систем четвертого порядка

(4.9).

при



Система четвертого порядка будет устойчива, если все коэффи­циенты характеристического уравнения положительны и

(4.10).

Исходя из изложенного, следует, что положительные значения коэффициентов характеристического уравнения системы являются необходимым, но не достаточным условием устойчивости линейной динамической системы.

Этот критерий применим для небольших порядков характери­стических уравнений (до четвертого), так как при более высоких порядках требует трудоемких вычислений.

Рассмотрим определение устойчивости на примере. Допустим, САР описывается характеристическим уравнением четвертого по­рядка вида:

8р⁴+10р³+15р² + 6р + 1 =0.

Необходимо определить устойчивость системы.

Ввиду того что все коэффициенты положительны, необходимое условие выполнено.

Проверим дополнительное условие для САР четвертого порядка: ;

6·15·10 1· +8· ; Получим: 900 388.

Следовательно, система устойчива.

Методические указания по выполнению практического задания

Решить задачи:

Задача 1

Определить при помощи критерия Вышнеградского устойчивость САР, уравнение свободного движения которой имеет вид:

(а₀р³ + а₁р² + а₂р + а₃)х = 0, где

а) а₀ = 0,02; а₁ = 0,4; а₂ = 1,3; а₃ = 25

б) а₀ = 0,02; а₁ = 0,4; а₂ = 1,3; а₃ = 30

в) а₀ = 0,02; а₁ = 0,4; а₂ = 1,3; а₃ = 60
Задача 2

Определить с помощью критерия Гурвица устойчивость САР, если уравнение свободного движения имеет вид:
(а₀р⁴ + а₁ р³ + а₂р² + а₃р + а₄)х = 0, где

а) а₀ = 0,001; а₁ = 0,05; а₂ = 0,4; а₃ = 1; а₄ = 20

б) а₀ = 0,001; а₁ = 0,05; а₂ = 0,4; а₃ = 1; а₄ = 100
Задача 3

Определить устойчивость САР, если характеристическое уравнение имеет вид:
а₀р⁵ + а₁ р⁴ + а₂р³ + а₃р² + а₄р + а₅ = 0

а) а₀ = 0,001; а₁ = 0,03; а₂ = 0,25; а₃ = 1; а₄ = 10; а₅ = 60

б) а₀ = 0,001; а₁ = 0,02; а₂ = 0,5; а₃ = 4; а₄ = 10; а₅ = 40
Задание для самостоятельной работы:

Определить устойчивость САР алгебраическими методами по передаточной функции, построенной в практическом занятии №3.