тау. ТАУ МУПЗ 28.04.21. Методические указания к практическим занятиям для студентов СанктПетербург 2021 у дк 681 011

• Название: Методические указания к практическим занятиям для студентов СанктПетербург 2021 у дк 681 011
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: ТАУ МУПЗ 28.04.21.docx
• Тип: Методические указания; #684879
• страница: 5 из 11

Практическое занятие № 4

Определение устойчивости САР алгебраическими методами

Цель работы состоит в том, чтобы закрепить полученные знания по определению устойчивости САР алгебраическими методами

Основные теоретические положения.

Одним из основных критериев работоспособности любой САР является ее устойчивость.

Под устойчивостью САР понимается свойство системы возвра­щаться к состоянию установившегося режима после устранения возмущающего воздействия.

Устойчивость означает, что колебания, возникшие в системе под воздействием внешних факторов, должны затухать. В неустойчивой системе при приложе­нии к ней внешнего воздействия будут возникать колебания с на­растающей амплитудой, т. е. будет наблюдаться расходящийся процесс.

Примером устойчивой системы может быть обыкновенный маятник. При отклонении его из состояния равновесия (внешнее возмущение) через некоторое время он вновь придет в состояние равновесия (рис 4.1а). Примером неустойчивой системы может быть шарик, находящийся на выпуклой поверхности. Если вывести шарик из состояния равновесия, то он уже не вернется в прежнее состояние (рис 4.1б).



Рис. 4.1 Примеры механических систем:
а) устойчивой

б) неустойчивой
Неустойчивость системы может быть вызвана большой инерционностью элементов САР, малой чувствительностью измери­тельной аппаратуры и датчиков, неправильной настройкой коэффициентов усиления элементов и другими факторами.

В неустойчивой системе выходной параметр будет стремиться к бесконечности, в устойчивой – к нулю.

Графики переходных процессов в устойчивой (а) и неустойчивой (б) системах приведены на рис.4.2.



Рис. 4.2 Графики переходных процессов в устойчивой (а) и неустойчивой (б) САР
В общем случае динамические свойства САР описываются диф­ференциальным уравнением n-го порядка, решение которого можно представить суммой двух решений: частного решения, что характеризует установившееся состояние системы, и решения без правой части, что характеризует собственные колебания системы — переходную составляющую процесса регулирования. Собственные колебания системы в операторной форме могут быть описаны одно­родным уравнением вида
, (4.1),


где, . . . , — постоянные коэффициенты, зависящие от пара­метров системы.

Характеристическое уравнение будет иметь вид

(4.2).

Уравнение имеет п корней: от до .

Линейная САР будет устойчивой, если все вещественные корни и вещественные части комплексных корней характеристического уравнения будут отрицательны.

Неустойчивыми являются все разомкнутые астатические си­стемы, так как их характеристические уравнения имеют сомножи­телем оператор (р), а следовательно, и нулевые корни. Таким обра­зом, чтобы определить, устойчива или неустойчива САР, достаточно определить корни ее характеристического уравнения. Однако это является сложным, особенно при решении уравнений свыше третьего порядка вручную. Поэтому в теории автоматического регулирова­ния и в инженерной практике широко используются косвенные ме­тоды исследования САР на устойчивость, так называемые крите­рии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости динамиче­ской системы, не прибегая к вычислению корней характеристиче­ского уравнения.

Критерий устойчивости И. А. Вышнеградского

Основоположник теории автоматического регулирования И. А. Вишнеградский предложил критерий устойчивости, имеющий общее значение для любых динамических систем, описываемых обыкновенным линейным дифференциальным уравнением третьего порядка.

(4.3).
Для устойчивости линейной системы третьего порядка необхо­димо и достаточно следующее:

а) все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

б) произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних коэффициентов, т. е.

(4.4).

Границе устойчивости соответствует наличиепары чисто мнимых корней

(4.5).

или наличие нулевого корня = 0, однако при всех остальных положи­тельных коэффициентах.

Допустим, что передаточная функция замкнутой САР температуры в объекте имеет следующий вид:

.

Необходимо определить устойчивость системы.

Составим характеристическое уравнение

9,5р³+15,6р² + 3,5р+1=0,

где

a₃>0; a₂>0; а_х>0; а₀>0;

А подставив значения в уравнение (4.4) получаем верное неравенство, следовательно: система устойчива.