Введение_в_математический_анализ. Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика

• Название: Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 168.01 Kb.
• Имя файла: Введение_в_математический_анализ.docx
• Тип: Методические указания; #552190
• страница: 17 из 27

5
Раскрытие неопределенностей вида 1^ 

Неопределенности вида 1^ 
раскрываются с помощью

второго замечательного предела, который можно записывать двумя способами:

(1)
^lim^1



x_

¹  x




x
 ^e


или

1


lim(1 x) ^x e. (2)

x0

Напомним, что второй замечательный предел получен на основании равенства


^lim^1

n_

¹ n


n



 e,
e 2.718281828459045...,

полученного в теории последовательностей.

Особенность пределов (1) и (2) состоит в том, что в осно- вании степени и в (1), и в (2) к числу 1 прибавляется бесконечно малая величина, а в показателе степени стоит бесконечно боль- шая величина, в точности обратная той, которая прибавляется к

1. 
   В результате имеет место неопределенное выражение 1^ .
   

Это наблюдение позволяет записать (1) и (2) в виде:

1

lim

x  x₀

1  α (x)α ( x)  e, где α(x) → 0 при x→ x₀ . (3)

Запись (3) позволяет формально достаточно просто ис- пользовать второй замечательный предел при раскрытии неоп-

ределенностей вида 1^ .

Перейдем к вычислению пределов.

_{2 } 1

2


_5 x_x

Пример 1.

lim 15x^xlim ^ (15x) ^5x

 e¹⁰ ,

x 0


x0 ^{ }

 

1 _

так как

lim ^ (15x) ^5x  e.

x0 ^











2 x 

 ^x

 ³  2 x

x