Введение_в_математический_анализ. Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика

• Название: Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 168.01 Kb.
• Имя файла: Введение_в_математический_анализ.docx
• Тип: Методические указания; #552190
• страница: 15 из 27

бесконечно малых величин:

sin x x, tg x x, arcsin x x, arctg x x, ln(1 + x) x, e ^x– 1 x.

Если α(x) → 0 , тогда при x → x₀

sin α(x) α(x), tg α(x) α(x),

arcsin α(x) α(x), arctg α(x) α(x),

ln (1 + α(x)) α(x), e ^α(x) – 1 α(x) . Например,

sin (π – x) (π – x) при x→ π;

arctg (x– 2) (x– 2) при x → 2; ln (1 + sin x) sin x x при x→ 0;

tg^{ π}  x^

 ^π 

 ^π  ^π



_e ⁴



^ 1

^tg



^{ x} 


4
 

^{ x}


4


при

x . 4

Легко доказать, что если α₁(x) α₂(x), а β₁(x) β₂(x) при x

→ x₀ , тогда

lim ^{α1 (x) } lim

α ₂ ( x)

( если эти пределы существуют ).

^{x x}0 ^β₁ ^{(x) xx}0 ^β ₂ ^(x)

Пример 1. Найти

_lim sin 5x_.

^{x 0} tg7x

Решение. Так как sin 5x 5x, а tg 7x 7xпри x →0, бу- дем иметь:

sin 5x_ 0 _ 5x_ 5 _.

lim

^{ } lim

^{x 0} tg7x_ 0 _ ^{x 0} 7x

7


lim ₂

.
_earctg 3 x_1

Пример 2. Найти

^{x 0} ln 1sin x

Решение. Так как e^{arctg 3x} – 1 arctg 3x 3x, а ln ( 1+ sin²x) sin ²x x² при x→0 , будем иметь

x 0





x 0
_earctg 3x_1

 ⁰  _

3x_

³  

lim

ln 1  sin ² x^{ 0 }

lim


x 0
_x2

lim _x ^.