Введение_в_математический_анализ. Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика

• Название: Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 168.01 Kb.
• Имя файла: Введение_в_математический_анализ.docx
• Тип: Методические указания; #552190
• страница: 2 из 27

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. 
   Всвязисчемвозниклопонятиефункции?
   

Изучение любого процесса происходит путем изучения ха- рактера изменения переменных величин, участвующих в этом процессе. При этом, как правило, характер изменения одних ве- личин зависит от характера изменения других. Понятие функ- ции возникло в связи с необходимостью каким-то образом опи- сать эту зависимость.

2. Каким должен быть характер изменения двух переменных величин, чтобы одна из них являлась функцией другой?

Функция считается заданной, если задан закон, по которо- му каждому значению переменной x из некоторого множества Xставится в соответствие единственное значение переменной у из множества Y, в котором эта переменная принимает свои значе- ния.

Для функциональной зависимости приняты обозначения: y = f(x), y = φ(x), y = F(x) и т. п. Множество Х называется обла- стью определения функции, переменная xнезависимой пере- менной или аргументом, множество {f(x)} называют областью значений функции y= f(x) (очевидно {f(x)}  Y).

3. Какие функции принято называть простейшими элементарными функциями?

Существует 7 классов простейших элементарных функций:

где

1. 
   Целаярациональнаяфункция(многочлен)
   

y=P_n(x)=a_nxⁿ+a_n–1x^n–1+…+a₁x+a₀,

nN, a_i– коэффициенты многочлена (действительные

числа), X = (–∞; ∞). Множество значений многочлена зависит от его коэффициентов. Простейшими рациональными функция- ми являются:

y=kx+b– линейная функция,

y=ax²+bx+c– квадратный трехчлен.

2. 
   Дробно-рациональнаяфункция(отношение двух много- членов)
   

P(x) axⁿ a x^n1 ... ax a

_yn _n n1 1 0 _.

Q(x) bx^mb x^m1 ...bxb

m m m1 1 0
Функция определена при всех действительных x, за ис- ключением точек, в которых Q(x)=0.

Простейшей функцией этого класса является

y ^k,

x

x (,0 )(0,).

3. 
   Степеннаяфункция
   

y=x^λ , где λ R.

Область определения и множество значений зависят от по- казателя степени λ . Примеры степенных функций:

y =x², X=(–∞; ∞) , Y=[0; ∞);

y =x³, X=(–∞; ∞) , Y=(–∞; ∞);

y или y=x^1/2 , X=[0; ∞) , Y=[0; ∞);

y ³ xили y=x^1/3 , X=(–∞; ∞), Y=(–∞; ∞);

y ¹

x

или y=x^–1/2 , X=(0; ∞) , Y=(0; ∞).

4. 
   Показательнаяфункция
   

y =a^x, где a>0 , a≠1, X=(–∞; ∞) , Y=(0; ∞);

y =e^x, где e=2.718281828459045…,

X=(–∞; ∞), Y=(0; ∞).

5. 
   Логарифмическаяфункцияy=log_ax, где a>0 , a≠1,
   

X=(0; ∞), Y=(–∞; ∞);

y=ln x, основанием логарифма, в этом случае, является число e. Такой логарифм называют натуральным.

X=(0; ∞), Y=(–∞; ∞);

y=lg x, основанием логарифма является число 10. Такой логарифм называют десятичным.

X=(0; ∞), Y=(–∞; ∞).

6. 
   Тригонометрическиефункции
   

y=sin x, X=(–∞; ∞), Y=[–1;1];

y =cos x, X=(–∞; ∞), Y=[–1;1];

y=tg x,

x ^π  πk, Y=(–∞; ∞);

2

y =ctg x, x≠ πk, Y=(–∞; ∞).
7 Обратныетригонометрическиефункции

y =arcsin x, X=[–1;1],

Y[ ^π ; ^π ] ;

2 2

y=arccos x, X=[–1;1], Y=[0; π];

y =arctg x, X=(–∞; ∞) ,

Y ( ^π ; ^π ) ;

2 2

y =arcctg x, X=(–∞; ∞) , Y=(0; π).