Введение_в_математический_анализ. Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика

• Название: Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 168.01 Kb.
• Имя файла: Введение_в_математический_анализ.docx
• Тип: Методические указания; #552190
• страница: 7 из 27

Как много непрерывных функций?

Все простейшие элементарные функции непрерывны в каж- дой точке своей области определения.

Любая суперпозиция из простейших элементарных функ- ций, последовательно примененная конечное число раз, непре-

рывна в каждой точке своей области определения (на основании теоремы о непрерывности сложной функции).

Любая функция, полученная из непрерывных функций с помощью четырех арифметических действий, непрерывна в ка- ждой точке своей области определения.

4. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ

1. Как найти

lim

xx₀

f( x) ,еслиf(x)непрерывная

в точке x₀ функция?

По определению функция y=f(x)непрерывна в точке

x₀ , если

lim

xx₀

f(x) f(x₀ ).

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции достаточно вычислить значение этой функции в точке x₀ . Напомним, что любая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Например,

 ^{π x}  ^π 

^limlg ^sin ^lg ^sin ^{lg10 ;}

x2 _

⁴   ² 

limarctge^x arctge⁰  arctg1 ^π .

x0
Функция
^ylg ^sin




^πx


4




4
непрерывна в точке x₀
= 2, а функ-

ция

yarctge^x

непрерывна в точке x₀ = 0 как суперпозиция не-

прерывных в соответствующих точках простейших элементар- ных функций.

2. 
   Какнайтиlim f(x)g(x),
   

lim f(x)g(x), lim

f(x) _?

xx₀

xx₀

xx₀ ^g(x)

Указанные пределы при условии существования

lim

xx₀

f(x)и

lim g(x)находятся на основании теоремы о пределе суммы, про-

xx₀

изведения и частного. В частности, если f(x)и g(x)непрерывны в точке x_0,

lim f(x)g(x) f(x₀ )g(x₀ ),

xx₀

lim

xx₀

f(x)g(x) f(x₀ )g(x₀ ),

lim

f(x)_ ^{f(x0 )}

при

g(x

)0 .

xx₀ ^g(x)

g(x₀ ) ⁰

Например,



^lim^tg

x1 _

^πxcosπx^ tg



4 _

^π cosπ110,

4

lime^{sin x}arcos xe^{sin 0} arcos0e⁰  ^π  ^π ,

x0
lim
x³ 1


2 2

_ 81 _ 7 _.

x2 _x² _1

41 3