Введение_в_математический_анализ. Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика

• Название: Методические указания к самостоятельной работе по дисципли не б. 1 Математика
• Дата: 27.05.2022
• Размер: 168.01 Kb.
• Имя файла: Введение_в_математический_анализ.docx
• Тип: Методические указания; #552190
• страница: 27 из 27

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Обязательная литература

1. 
   Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математи- ческого анализа. – СПб.: Лань, 2008-2009. – 736 с.
   
2. 
   Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное ис- числения: учебное пособие для втузов. – М.: интеграл- Пресс. Т. 1. – 2008. – 415 с.
   
3. 
   Лесняк, Л.И. Производная и ее приложения: учебное по- собие / Л.И. Лесняк, В.А. Старенченко. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005.
   

Дополнительная литература

1. 
   Письменный Д.Г. Конспект лекций по высшей математи- ке. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2007. – 288 с.
   
2. 
   Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
   

– М.: Наука, 1985. – 432 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Введение в математический анализ 4

1. 
   Понятие функции 4
   
   1. 
      В связи с чем возникло понятие функции? 4
      
   2. 
      Каким должен быть характер изменения двух пе- ременных величин, чтобы одна из них являлась функцией другой? 4
      
   3. 
      Какие функции принято называть простейшими элементарными функциями? 4
      
   4. 
      Понятие сложной функции 6
      
2. 
   Понятие предела функции 8
   
   1. 
      В связи с чем возникло понятие предела функции?. 8
      
   2. 
      Определение предела функции в случаях 1–4 9
      
   3. 
      Определение односторонних пределов функции 10
      
3. 
   Понятие непрерывности функции в точке 12
   
   1. 
      Три определения непрерывной в точке x₀
      

функции 12

2. 
   В каком случае функция y=f(x)называется непре- рывной на замкнутом промежутке [a, b]? 13
   
3. 
   В каком случае будут непрерывны функции
   

f(x)  g( x),

f(x)  g( x),

f(x) _{? 13}

4. 
   
   g(x)
   Что можно сказать о непрерывности простейших элементарных функций? 13
   
5. 
   Перечислить условия, при которых сложная
   

функция y=f(g(x))будет непрерывна в точке x₀ 13

6. 
   Как много непрерывных функций? 13
   

1. Техника вычисления пределов 14

1. 
   Как найти
   

lim

xx₀

f( x) , если f(x)непрерывная в точ-

14

ке x₀ функция?...........................................................

2. 
   Как найти lim f(x)g(x),
   

lim f(x)g(x), lim

f(x) _{? 14}

xx₀

xx₀

xx₀ ^g(x)

3. 
   Пусть
   

lim

xx₀

f( x)  C(C 0 ) ,

lim α(x)0

xx₀

( α(x)

яв-

ляется бесконечно малой величиной при

x x₀ ),

lim U(x) 

xx₀

(U(x) является бесконеч-

но большой величиной при

x x₀ ). Пере-

числить теоремы, на основании которых

lim ^f(x)  , lim ^U(x)  , lim

^f(x) 0 , lim

α(x) _{0 15}

xx₀ α(x)

xx₀ α(x)

xx₀ U(x)

xx₀ ^U(x)

4. 
   Что можно сказать о
   

_lim α(x)_и

xx₀ β(x)

lim^U(x), где α(x)

xx₀ V(x)

и β(x)

– бесконечно малые при

x x₀

, U(x)и

V(x)– бесконечно большие при

x x₀ ? ¹⁶

5. 
   Что можно сказать о произведении бесконечно
   

малой при

x x₀ величине на ограниченную в

окрестности точки x₀ функцию? ¹⁷

6. 
   В каком случае произведение двух функций пред- ставляет собой неопределенное выражение? 17
   

7. 
   Что можно сказать о
   

lim (U(x)  V( x)) ,

x x₀

если U(x)

и V(x)– бесконечно большие при x→x₀? ¹⁸

8. 
   Как найти предел степенно-показательной функции? ¹⁸
   
9. 
   В каких случаях ( f(x)) ^{g( x)} будет при x→x₀
   

неопределенным выражением? ¹⁹

10. 
    На основании всего вышеизложенного перечис- лить все возможные неопределенные выраже- ния ¹⁹
    

Примеры на вычисление пределов функции ²⁰

1. 
   Нахождение пределов в случае отсутствия неопреде- ленности ₂₀
   

2. 
   Раскрытие неопределенностей вида
   

^{ 0 } …………… ²⁰


 
0

 

1. 
   Нахождение
   

^{Pn(x)  0 } , где P(x) и Q



(x)

lim ^{ } n m

^{x x0} Q_m (x) _ 0 _

некоторые многочлены, путем разложения числи- теля и знаменателя на множители ²¹

3. 
   Использование эквивалентностей при вычислении пределов ²¹
   

3. 
   Раскрытие неопределенностей вида
   

^{  } …………… ²²


 


 

3. 
   Раскрытие неопределенностей вида 1^  ²³
   

5. Классификация точек разрыва функции ²⁵

   1. 
      В чём заключается необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке x₀ ? ²⁵
      
   2. 
      Как осуществляется классификация точек разрыва функции? ²⁶
      
   3. 
      Примеры на нахождение точек разрыва функции и
      

их классификацию ²⁸

5. Задачи для контрольных заданий ³²

Контрольные задания ³⁸

^{Список рекомендуемой литературы} 38