Прогнозирование принятия управленческих решений.. Методические указания по изучению курса 7 Варианты контрольной работы 9 Рекомендации по выполнению контрольной работы 12
 Скачать 1.95 Mb.
|
|
Установление порядка прогнозирующей функции Автокорреляционная зависимость дает качественную оценку порядка уравнения авторегрессии. Для уточнения конструктивных особенностей прогнозирующего уравнения целесообразно использовать т.н. частную автокорреляционную функцию. Ее применение основано на том, что лишь часть коэффициентов авторегрессии aj, стоящих в начале последовательности, принимает ненулевые значения. Коэффициенты более высокого порядка в большинстве случаев стремятся к нулевому уровню, поскольку взаимодействие членов динамического ряда, отстоящих друг от друга на большом расстоянии, незначительно. Чтобы установить порядок авторегрессии, целесообразно изменить выражения (2.21) – (2.23). В каждое из них необходимо ввести дополнительный подстрочный индекс k, характеризующий количество переменных yt-j в правой части уравнений авторегрессии:  (2.25) (2.26) (2.27). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  (2.28)При подобной форме записи коэффициенты akk будут стоять на последнем месте в выражениях (2.25) – (2.28). Очевидно, что по мере увеличения порядка уравнения |akk| min. Зависимость akk от времени запаздывания называется частной автокорреляционной функции. Эта функция позволяет определить порядок процесса авторегрессии. Доказано, что при авторегрессии порядка p частная автокорреляционная функция не равна нулю для всех kp и стремится к нулю при k>p. Если рассчитать несколько значений akk и расположить их в порядке увеличения периода запаздывания k, то индексы последнего коэффициента akk, существенно отличающегося от нуля, определят порядок уравнения авторегрессии (k=p). Таким образом, необходимо определить, сколько членов должно быть в уравнении авторегрессии (2.20) с помощью построения частотной корреляционной функции, для чего надо посчитать коэффициенты akk. Наиболее рациональным способом определения параметров уравнения авторегрессии (2.20) является использование метода наименьших квадратов и минимизация остаточных дисперсий для каждого из выражений (2.25) – (2.28) в отдельности:  (2.29)Как уже было показано, применение метода наименьших квадратов сводиться к построению системы нормальных уравнений. В данном случае они будут иметь вид:  ........................................................................................  Определив по исходному временному ряду все суммы, указанные в нормальных уравнениях, и решив систему, можно рассчитать коэффициенты авторегрессии а1, а2, ... , аР. Пример 2.8. Применительно к рассмотренному нами примеру построим уравнение авторегрессии второго порядка (p = 2):  Расчет сумм для уравнения авторегрессии выполним в таблице 2.9. Таблица 2.9
Подставив результаты вычислений в систему, получим:  Отсюда  Уравнение авторегрессии второго порядка имеет вид:  (2.30)Составление прогнозов с помощью уравнений авторегрессии Вычисления с помощью уравнений авторегрессии проводят в виде многошаговой процедуры, на каждом этапе которой определяется значение переменной yt для очередного отрезка времени (года, квартала, месяца, дня и т.п.). Если период упреждения равен l единицам, то на первой стадии расчетов вычисляют величину показателя на момент времени t = n + 1. с этой целью в уравнение авторегрессии подставляют p последних членов исходного динамического ряда, затем определяется величина показателя ŷt для t = n + 2. при этом в качестве одного из аргументов используется переменная ŷt = n+1, найденная на предыдущем этапе. В ходе последующих вычислений определяются ŷt = n+3 ; ŷt = n+4 ; . . . , ŷt = n+l. Точность прогноза в значительной степени зависит от периода упреждения. Чем больше 1, тем выше возможная ошибка прогноза, том значительнее расхождения между расчетными и фактическими значениями переменной. В качестве одного из простейших критериев адекватности уравнения авторегрессии исходному временному ряду используется показатель абсолютного среднего отклонения |γср|, определяемый по формуле:  (2.31)Вычисления |γср|, осуществляют для предпрогнозного периода времени путем сопоставления расчетных и исходных уровней динамического ряда. Используя данные предыдущего примера (см. таблицу 2.7), определим объем производства хлебобулочных изделий для t=23 дня. По уравнению авторегрессии (2.30) предварительно рассчитаем выпуск продукции за два предшествующих дня:  Тогда прогноз с упреждением l = 3 составит:  Найдем абсолютную среднюю ошибку прогноза (ŷ23=3,074т) и сопоставим её с аналогичными оценками, рассчитанными для прогнозов с упреждениями l = 1 и l = 2 дням. Для этого необходимо составить таблицу и сосчитать абсолютные средние отклонения. 2.2.2. Многофакторные модели прогнозирования Понятие уравнений множественной регрессии Множественной называют прогнозную модель, построенную с использованием нескольких временных рядов, уровни которых относятся к одноименным отрезкам времени (датам). В общем случае множественное уравнение регрессии имеет вид:  = f(x1t,x2t,x3t,...,xpt) (2.32)При отборе признаков-аргументов, подлежащих включению в множественную модель, особое значение придается традиционному экономическому анализу, в ходе которого глубже и полнее выявляется существо, направленность и теснота связи между факторами. В процессе отбора факториальных признаков, подлежащих включению в множественную модель, особое внимание следует уделять выявлению и устранению т.н. мультиколлинеарности, под которой понимается наличие тесной корреляционной связи между двумя (коллинеарность) и более (мультиколлинеарность) аргументами в модели (2.32). Для этого определяются коэффициенты парной корреляции между признаками. Считается, что показатели-аргументы коллинеарны, если величина коэффициента корреляции превышает 0,8. Для устранения коллинеарности необходимо оставить один фактор из числа дублирующих друг друга. Важное значение в ходе статистического моделирования имеет правильное определение общего числа факториальных признаков в (2.32). Неоправданное усложнение модели повышает трудоемкость вычислений, затрудняет анализ и не обеспечивает заметного повышения достоверности прогноза. Наоборот, упрощение модели может привести к ошибкам в расчетах. Считается, что для получения оптимальных результатов количество факториальных признаков должно быть примерно в 5 раз меньше числа наблюдений, составляющих выборочную совокупность по каждой переменной. Для определения формы связи между признаками значительное внимание следует уделять графическим построениям, отражающим изменение зависимой переменной под действием каждого из факторов в отдельности. Если эта связь линейна, то используется линейное многофакторное уравнение регрессии: =a0+a1x1t,+a2 x2t,+...+apxpt (2.33)Коэффициенты a1, a2, ... , ap называются коэффициентами чистой регрессии. Они показывают, как изменится зависимая переменная yt при увеличении или уменьшении фактора на единицу при условии, что все остальные признаки, включенные в модель, остаются постоянными. Наряду с линейной моделью определенное распространение получили нелинейные многофакторные корреляционные зависимости. Из криволинейных функций чаще всего используется степенная функция: = (2.34)Путем логарифмирования степенное уравнение можно привести к линейному виду:  =a0+a1x’1t,+a2 x’2t,+...+apx’ptПроцесс построения и особенности практического применения многофакторных моделей зависит от характера информации, используемой при выполнении расчетов. В ходе вычислений могут применяться первичные данные, отражающие состояние объекта как в статике, так в динамике. Статическое моделирование применяется для анализа взаимосвязей между объектами и явлениями. Динамическое моделирование, основанное на обработке связанных временных рядов, позволяет определить общую направленность в изменении признаков, более точно определить величину исследуемого показателя в будущем. Для исключения автокорреляции между уровнями рядов могут применяться методы последовательных разностей, Фриша-Воу и пр. В ряде случаев целесообразно совместное использование статических и динамических моделей. Наибольшее распространение получили две вычислительные схемы прогнозирования с помощью методов множественной корреляции и регрессии. Первая схема основана на коррелировании отклонений от тенденций изменения признаков. Как уже показывалось, использование отклонения ослабляет воздействие автокорреляции на результирующие показатели. Вторая схема предполагает построение нескольких статических моделей (для каждого года предпрогнозного периода), параметры которых представляются в виде функций времени, после чего рассчитываются наиболее вероятные значения признаков в перспективе. Пример 2.9.. По данным за 20 месяцев (табл. 2.10) необходимо построить уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия y (млн. руб.) от цен на сырье x1 (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда x2 (ед. продукции на 1 работника). Таблица 2.10
Для вычисления параметров многофакторной модели можно использовать ППП Excel. Надо войти в меню в Анализ данных и выбрать функцию Регрессия. Также как в примере для двухфакторной модели ввести все исходные данные. После этого задать область вывода результатов функции Регрессия. Результаты регрессионного анализа представлены на рис. 2.12.
Рис.2.12. Результаты применения процедуры Регрессия для многофакторной модели Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: yt =194,534 - 1,468 x1t + 3,938 x2t . Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьших квадратов остатки t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания, что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков. Выводы Статистическое моделирование включает авторегрессионные и многофакторные модели прогнозирования. Модели авторегрессии учитывают автокорреляцию между членами динамического ряда. Уравнения авторегрессии часто используются для стационарных случайных процессов. При построении авторегрессионной модели необходимо сначала установить порядок уравнения, затем определить параметры прогнозирующей функции и после этого рассчитать значения переменной yt на будущее. Для определения порядка уравнения авторегрессии исследуют автокорреляционную и частную автокорреляционную функции. При анализе функционирования сложных систем используют многофакторные модели. Обычно в таких моделях учитывается взаимодействие нескольких временных рядов. В многофакторных моделях зависимая переменная yt рассматривается как функция независимых p факторов. В процессе отбора факториальных признаков, подлежащих включению в множественную модель, необходимо уделять внимание выявлению и устранению мультиколлинеарности, то есть наличию тесной корреляционной связи между факторами модели. Для этого определяются коэффициенты парной корреляции между признаками. Для устранения коллинеарности необходимо оставить один фактор из числа дублирующих друг друга. Важное значение в ходе статистического моделирования имеет правильное определение общего числа факториальных признаков. Для вычисления параметров многофакторной модели можно использовать ППП Excel. Вопросы для самоконтроля Что понимается под автокорреляционной связью между переменными? В чем состоит отличие уравнения авторегрессии от моделей вида ŷt =f(t)? Что понимается под автокорреляционной и частной автокорреляционной функциями? Как определяется порядок уравнения авторегрессии? Какие модели прогнозирования носят название многофакторных? Как приводят степенное многофакторное уравнение прогноза к линейной форме? Что понимается под мультиколлинеарностью независимых переменных и как выявляется ее наличие? Как интерпретируются коэффициенты регрессии линейной многофакторной модели? Тесты 1.Автокорреляция — это … взаимосвязь между элементами двух временных рядов; корреляционная зависимость динамического ряда от других временных рядов; взаимосвязь между последовательными элементами динамического ряда. 2. Период запаздывания kпоказывает… во сколько раз значение переменной yt больше значения yt-k ; через какой промежуток времени изменение переменной yt-kокажет воздействие на yt ; какое количество членов временного ряда надо брать для вычисления среднего уровня ряда. 3. Уравнение авторегрессии 2-го порядка… ŷt = a1 yt-1+ a2 yt-12 ; ŷt = a1 yt-1+ a2 yt-2 + a3 yt-3 ; ŷt = a1 yt-1+ a2 yt-2 . 4. Коэффициенты чистой регрессии в многофакторной модели показывают… как изменится зависимая переменная yt при изменении yt-1, yt-2… yt- k ; что необходимо вычислять переменную yt , используя нелинейные зависимости; как изменится зависимая переменная yt при увеличении или уменьшении фактора на единицу при условии, что все остальные признаки, включенные в модель, остаются постоянными. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||