МАТЕМАТИКА (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС осн. Методическое пособие для учителя Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др. под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
МАТЕМАТИКА (углубленный уровень) Реализация требований ФГОС основного общего образования Методическое пособие для учителя Москва 2022 МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ НАУЧНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ИНСТИТУТ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ» 2 УДК 373.167.1:51 ББК 74.262.21 М34 Рецензенты: И. М. Осмоловская, доктор педагогических наук, зав. лабораторией теоретической педагогики и философии образования ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО»; О. А. Рыдзе, кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник лаборатории начального общего образования ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО» Под редакцией Л. О. Рословой Авторы: Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В., Карамова И. И. М34 Математика (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС основного общего образования: методическое пособие для учителя / Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др.; под ред. Л. О. Рословой. М. : ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО», 2022. 143 с.: ил. ISBN 978-5-6049293-3-9 В методическом пособии отражены основные нововведения, связанные с принятием обновленных ФГОС в части изучения математики на углубленном уровне. Методические материалы включают характеристику основных изменений ФГОС ООО и особенностей Примерной рабочей программы по математике углубленного уровня, рекомендации по организации преподавания в 7-9-х классах на углубленном уровне основных содержательных линий курса с учетом нововведений. По каждому курсу учебного предмета «Математика» предложены варианты контрольных работ, предназначенных для проведения внутришкольного мониторинга итоговых достижений учащихся, соответствующих планируемым результатам обучения, представленным в примерной рабочей программе. Материалы представляют интерес для широкого круга специалистов в области математического образования: учителей, преподавателей педагогических вузов, методистов системы повышения квалификации учителей, разработчиков материалов для оценки качества образования. Методические рекомендации разработаны в рамках выполнения государственного задания № 073-00058-22-01 от 18.01.2022 ФГБНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования» на 2022 год «Обновление содержания общего образования» по теме «Подготовка методических рекомендаций для учителей по реализации ФГОС начального общего и основного общего образования, в том числе внеурочной деятельности». УДК 373.167.1:51 ББК 74.262.21 ISBN 978-5-6049293-3-9 © ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО», 2022 Все права защищены 3 СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Планируемые результаты обучения математике в 7-9-х классах на углубленном уровне…………………………… 6 1.1 Ключевые изменения во ФГОС ООО и в Примерной основной образовательной программе в части обучении математике……………………………………………………… 6 1.1.1. Нормативная и методическая базы обучения математике в основной школе……………………………………………… 6 1.1.2. Отличия новой программы углубленного изучения математики от традиционной программы…………………… 8 1.2. Особенности Примерной рабочей программы по учебному предмету «Математика» углубленного уровня… ……………………… 10 1.3. Особенности планируемых результатов обучения математике в 7–9 классах на углублённом уровне… ………………… 16 1.4. Контроль достижения планируемых результатов обучения в 7 классе… ………………………………………………………………………………………………….. 21 1.4.1. Предметные результаты освоения программы учебного предмета «Математика», 7 класс… ………………………………………………….. 21 1.4.2. Пример итоговой контрольной работы по курсу алгебры… 26 1.4.2.1. Спецификация контрольно – измерительных материалов для оценки достижения планируемых результатов обучения по алгебре в 7 классе на углубленном уровне…………….… 26 1.4.2.2. Итоговая контрольная работа по курсу «Алгебра. Углубленный уровень». 7 класс … …………………..………… 30 1.4.3. Пример итоговой контрольной работы по курсу геометрии. 34 1.4.3.1. Спецификация контрольно – измерительных материалов для оценки достижения планируемых результатов обучения по геометрии в 7 классе на углубленном уровне… ………………… 34 1.4.3.2. Итоговая контрольная работа по курсу «Геометрия. Углубленный уровень». 7 класс……………………………… 37 1.4.4. Пример итоговой контрольной работы по курсу вероятности и статистики…………………………………….. 42 1.4.4.1. Спецификация контрольно – измерительных материалов для оценки достижения планируемых результатов обучения по вероятности и статистике в 7 классе на углубленном уровне……………………………………………………...…… 42 4 1.4.4.2. Итоговая контрольная работа по курсу «Вероятность и статистика. Углубленный уровень». 7 класс……………… 46 Раздел 2. Организация деятельности учащихся 7-9-х классов при реализации программы по математике углубленного уровня……………………………………….. 49 2.1. Математическое моделирование при решении математических задач ………………………………………… 49 2.1.1. Понятие «математическое моделирование» ………………… 49 2.1.2. Виды математической модели и предписание для составления модели и её исследования ………………… 53 2.1.3. Конструирование математической модели и её исследование при решении задач ………………………. 60 2.1.3.1. Рекомендации к составлению модели при решении текстовых задач ……………………………………………….. 60 2.1.3.2. Составление модели при решении текстовых задач на движение …………………………………………………… 61 2.1.3.3. Построение математической модели при решении задач с экономическим содержанием 68 2.2. Формирование умения решать геометрические задачи на углублённом уровне изучения математики ………………. 79 2.2.1. Направления формирования у обучающихся умения решения геометрических задач ……………………………… 79 2.2.2. Рекомендации к организации обучения решению геометрических задач ………………………………………… 81 2.2.3. Содержательная линия «Геометрические построения» в 7–9 классах …………………………………………………... 88 2.2.4. Расширение задач на построение алгебраической составляющей…………………………………………………. 91 2.3. Лабораторные работы по учебному предмету «Математика» 100 2.3.1. Общие рекомендации по проведению лабораторных работ по математике ………………………………………………… 100 2.3.2. Лабораторные работы по математике, 7 класс ……………… 102 2.4. Формирование функциональной математической грамотности высоких уровней……………………………….. 106 2.4.1 Оценивание функциональной математической грамотности по модели международного исследования PISA……………. 106 5 2.4.2 Примеры заданий высоких уровней математической грамотности……………………………………………………. 114 Литература для учителя………………………………………………… 127 6 I. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ В 7-9-х КЛАССАХ НА УГЛУБЛЕННОМ УРОВНЕ 1.1. Ключевые изменения во ФГОС ООО в части обучения математике 1.1.1. Нормативная и методическая базы обучения математике в основной школе В связи с принятием в мае 2021 года обновленных федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования (далее - ФГОС ООО, Стандарт), в содержании математического образования в 5-9 классах произошли изменения, направленные на реализацию Концепции развития математического образования в Российской Федерации (утверждена в 2013 г.), и выполнение поручения Президента РФ «обеспечить совершенствование преподавания учебных предметов «математика» и «информатика» в общеобразовательных организациях, установив их приоритет в учебном плане и скорректировав содержание примерных основных образовательных программ общего образования» (декабрь 2020 г.). Во-первых, в новой редакции Стандарта были конкретизированы и структурированы личностные, метапредметные, предметные результаты обучения. Это общее изменение, касающееся всех учебных предметов, в том числе, и математики, важно с той точки зрения, что концептуальные основания стандарта остались прежними, и он продолжает свое развитие в той же парадигме, при этом с учетом изменений, происходящих в науке, обществе и государстве. Во-вторых, впервые во ФГОС основного общего образования зафиксированы требования не только на базовом, но и углубленном уровне, причем, математика здесь оказалась не единственным предметом (такой прецедент уже имел место): углубленный уровень освоения предмета предусмотрен обновленным Стандартом также и для предметов 7 математического и естественно-научного направлений - информатики, физики, химии и биологии. Данное нововведение подхватывает и развивает традиции российского математического образования, позволяет углубленному курсу обучения существовать в том же правовом поле, формироваться в той же логике и структуре, что и базовый курс, а также поддерживаться другими предметами. В этом направлении появилась перспектива взаимодействия и интеграции как в рамках предметной области «Математика и информатика», так и предметной области «Естественно-научные предметы». Третий важный момент: в обновленном Стандарте было реализовано новое понимание базового и углубленного уровней изучения математики, дано соответствующее этому распределение между ними требований к математической подготовке выпускника основной школы. Прежде всего, определяется ориентация базового курса на интересы и потребности тех учащихся, кому математика будет нужна только «для жизни», но не в профессии, а углубленного курса – на потребности и возможности всех тех учащихся, кто будет математиком или будет использовать математику в профессии (инженеры, программисты, технологи и пр.). До этого традиционная программа углубленного изучения математики была ориентирована на тех обучающихся, кто планирует связать свою будущую профессиональную деятельность с математикой. В-четвертых, предметные результаты описаны с использованием единой терминологии «оперировать понятием/свободно оперировать понятием», что позволяет соблюдать преемственность в развитии программ базового и углубленного уровней, математических курсов, математического развития обучающихся. Пятым важным моментом является новое представление структуры учебного предмета «Математика» для учащихся 7-9 классов, которую 8 образовали три изучаемых параллельно учебных курса: Алгебра, Геометрия, Вероятность и статистика. Основное содержание учебного курса «Вероятность и статистика» ранее было представлено в курсе алгебры. Основными линиями содержания этого курса стали вероятность, статистика, комбинаторика, графы, логика, множества. Данный курс сразу получил прикладной и практический характер, включающий практические работы и эксперименты. Раскрытие идей Стандарта осуществляется в таких методических документах как Федеральная основная общеобразовательная программа основного общего образования (далее – ФООП) и Примерная рабочая программа по учебному предмету «Математика» (далее - ПРП, Примерная рабочая программа), одобренных ФУМО по общему образованию. В ФООП зафиксирован учебный план, согласно которому на изучение математики в 7-9 классах на углубленному уровне отводится 8 ч в неделю в течение каждого года обучения, в частности, на курс «Алгебры» - 4 ч, курс «Геометрии» - 3 ч, курс «Вероятности и статистики» - 1 ч. Примерная рабочая программа содержит результаты обучения, содержание обучения и тематическое планирование, распределенные по годам обучения. В тематическом планировании дано примерное распределение учебного времени и описаны основные виды деятельности обучающихся, обеспечивающие достижение планируемых результатов обучения. 1.1.2. Отличия новой программы углубленного изучения математики от традиционной программы Углубленное изучение математики зародилось в 1960-х годах и имело целью обеспечить на фоне перехода к всеобучу для учащихся, проявляющих способности и интерес к математике, более высокий уровень математического образования, соответствующий их повышенным возможностям. По сути, это было воспитание будущей элиты 9 математической науки. Поэтому программа была рассчитана на творческий уровень изучения предмета, для начала такого обучения был выбран 8 класс, как возраст, когда учащиеся начинают проявлять осознанный интерес к математике, уже начав изучение систематических курсов алгебры и геометрии. Для программы углубленного изучения были разработаны соответствующие учебники, а также проводился и отдельный экзамен, причем разрабатывались отдельные варианты для математических и для физико-математических классов. Появление физико-математических классов стало отражением потребности в математической подготовке высокого уровня будущих специалистов в области теоретический физики, инженерных дисциплин, а также прикладных математических дисциплин, в частности, программистов. Согласно новой программе, соответствующей обновленному ФГОС ООО, углубленное изучение математики начинается с 7-го класса. Это важное нововведение, но основное и принципиальное отличие, причина которого обусловлена тем, что современный уровень развития науки и техники требует серьезного уровня математической подготовки для значительно большего числа специалистов, чем ранее, причем, не только в точных отраслях, но и в гуманитарных. Ответом на этот вызов становится «массовая углубленка», рассчитанная на тех, кто будет использовать математику в профессии в качестве инструмента, в профессиях, связанных с использованием прикладной математики, информатики или приложений математики. При этом содержание углубленного курса можно считать параллельным базовому, поскольку он отличается от базового не настолько серьезно, чтобы исключить возможность создания единого учебника, обеспечивающего условия для обучения на базовом и углубленном уровнях в рамках одного класса. Новая программа не потребует разработки нового или отдельного экзамена, действующая модель ОГЭ вполне приемлема для оценки достижения результатов, заявленных в новой программе. 10 С точки зрения преемственности обучения на углубленному уровне важно сохранить все важнейшие принципы, на которых успешно развивалась данная система на протяжении нескольких десятилетий. Принципы работы математических классов были сформулированы одним из их создателей, - Н.Н. Константинов. Это: • Тщательность, который означает, что тема проходится тщательно, законченным по смыслу фрагментом, что не исключает последующего возврата к теме на новом, более высоком, содержательном уровне. «Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить». Н.Н. Константинов. • Неторопливость,который означает, что на каждую трудность учитель тратит столько времени, сколько нужно. «Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно что-то «пройти» к определенному сроку». Н.Н. Константинов. • Самостоятельность,который означает, что значительная часть теоретического материала осваивается учащимися самостоятельно — они сами обосновывают большую часть предлагаемых для изучения фактов и утверждений. «Прямой рассказ учителя малоэффективен, … основным способом подсказки учителя становится структурирование материала». Н.Н. Константинов. Эти принципы также легли в основу концепции разработки ПРП по математике углубленного уровня. 1.2. Особенности Примерной рабочей программы по учебному предмету «Математика» углубленного уровня Выделим четыре основных момента, связанных с новой программой углубленного уровня. 11 1. Структура Примерной рабочей программы учебного предмета «Математика» на углубленном уровне отвечает общей структуре рабочих программ и аналогична ПРП по математике базового уровня. В нее входят: Пояснительная записка, включающая: • общую характеристику учебного предмета «Математика»; • цели и особенности изучения учебного предмета «Математика»; • место учебного предмета «Математика» в учебном плане. Планируемые результаты освоения учебного предмета «Математика» на углубленном уровне: • личностные результаты; • метапредметные результаты. Программы курсов (3 программы), включающие: • цели изучения учебного курса; • место учебного курса в учебном плане; • предметные результаты освоения Примерной рабочей программы (по годам обучения); • содержание учебного курса (по годам обучения); • тематическое планирование учебного курса (по годам обучения). Как было отмечено выше, личностные и метапредметные результаты освоения учебного предмета «Математика» представлены в ПРП не по отдельным курсам, а по предмету в целом, при этом даны они в соответствии с единой принятой структурой, но конкретизированы именно с учетом специфики математики и ее изучения на углубленном уровне. 2. Отметим изменения в обучении математике на углубленном уровне, которые были реализованы в Примерной рабочей программе. 1) Разгрузка объема изучаемого материала за счет отказа от части содержания, снижения требований к освоению формальных элементов содержания и сложных понятий. Прежде всего, это связано с новым вектором в распределении акцентов углубленного курса. 12 2) Более распределенное во времени и по классам изучение фундаментальных и сложных понятий, важных практико-ориентированных тем, что позволит ученику возвращаться к ключевым понятиям и элементам содержания на более высоком уровне развития его математических знаний, с новыми связями между понятиями, способами действий, с учетом его взросления. 3) «Ножницы» между распределенными по годам обучения содержанием и требованиями к овладению этим содержанием. Проиллюстрируем данные тезисы на примере темы «Делимость». В содержании курса алгебры 7 класса эта тема представлена следующим образом: Делимость целых чисел. Свойства делимости. Простые и составные числа. Чётные и нечётные числа. Признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11. Признаки делимости суммы и произведения целых чисел при решении задач с практическим содержанием. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. Взаимно простые числа. Алгоритм Евклида. Деление с остатком. Арифметические операции над остатками. В 8 классе изучение темы продолжится со следующим содержанием: Действия с остатками. Остатки степеней. Применение остатков к решению уравнений в целых числах и текстовых задач. При этом требования к освоению данного содержания по классам имеют следующий вид: 7 класс (Отметим, что требования по теме «Делимость» не представлены в 5-6 классах и появляются впервые только в 7 классе): — Доказывать и применять при решении задач признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11, признаки делимости суммы и произведения целых чисел. — Раскладывать на множители натуральные числа. 13 — Свободно оперировать понятиями: чётное число, нечётное число, взаимно простые числа. — Находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел и использовать их при решении задач, применять алгоритм Евклида. — Оперировать понятием остатка по модулю, применять свойства сравнений по модулю. 8 класс: — Свободно оперировать понятием остатка по модулю; применять свойства сравнений по модулю; находить остатки суммы и произведения по данному модулю. На этом примере мы можем видеть следующее: на углубленном уровне от обучающегося требуется не только «оперировать понятием», но «свободно оперировать понятием» (например, понятием четного числа), а это более высокий, теоретический уровень овладения понятием; формирование понятия осуществляется последовательно, от «оперировать понятием» к «свободно оперировать понятием», например, от «оперировать понятием остатка по модулю» в 7 классе, к «свободно оперировать понятием остатка по модулю» в 8 классе. 3. Изучение курса «Вероятность и статистика» на углубленном уровне осуществляется в рамках входящих в него следующих содержательных линий: • Представление данных и описательная статистика; • Вероятность; • Элементы комбинаторики; • Введение в теорию графов; • Логика. 14 Что касается принципов изучения данного содержания, то они в связи с новой структурой и выделением нового курса не изменились. Во-первых, основой его изучения остается первичность статистики: истоки содержания – это наблюдения над случайной изменчивостью и закономерностями в случайном. Во-вторых, обучение строится на некомбинаторном подходе: теория вероятностей выступает как математическое описание случайности, а сама вероятность – как мера правдоподобия событий. В-третьих, курс имеет ярко выраженную практическую направленность; по итогу освоения курса у обучающихся должны сформироваться: • умение представлять, описывать и использовать данные; • представление о роли маловероятных событий в природе и обществе; • понимание закона больших чисел как фундаментального закона природы, имеющего математическое выражение; • функциональная грамотность. 4. В тематическом планировании, как и принято, дается распределение содержания по темам с указанием рекомендуемых часов на их изучение. Содержание представлено крупными тематическими блоками, чтобы авторы программ и учебников, учителя, составляющие свои авторские программы, могли вписаться в эти рамки и найти структурирование, адекватное отработанным и зарекомендовавшим себя в практике обучения методическим подходам и принципам. В программе отмечено: «Автор рабочей программы вправе увеличить или уменьшитьпредложенное число учебных часов на тему, чтобы углубиться в тематику, более заинтересовавшую учеников, или направить усилия на преодоление затруднений. Допустимо также локальное перераспределениеи перестановка элементов содержания внутри данного класса». 15 Принципиальная позиция разработчиков программы заключается в том, что контроль не фиксируется в программе, количество проверочных работ (тематический и итоговый контроль качества усвоения учебного материала) и их тип (самостоятельные и контрольные работы, тесты) остаются на усмотрение учителя. Также учитель вправе увеличить или уменьшить число учебных часов, отведённых на обобщение, повторение, систематизацию знаний обучающихся. Подчеркнуто, что «единственной целью и критерием является достижение планируемых результатов обучения, указанных в программе». Для обеспечения процесса формирования предметных и метапредметных результатов обучения в тематическом планировании представлены соответствующие виды деятельности, направленные на формирование прочных предметных навыков: выполнять преобразования алгебраических выражений, геометрические построения, проводить статистический эксперимент, работать с формулами, решать уравнения и задачи и т.п., и метапредметных навыков: строить цепочки логических утверждений, рассуждать, находить закономерности, работать с информацией, проводить эксперименты, практические работы и исследования, в том числе с использованием цифровых ресурсов. Специфика углубленного курса проявляется в интеллектуализации видов деятельности (выбирать, предлагать и обсуждать алгоритмы, способы решения задачи), в увеличении доли заданий исследовательского характера, в усилении теоретической составляющей (работа с теорией), логической компоненты (приводить примеры и контрпримеры, решать задачи на доказательство). В целях усиления практико-ориентированной направленности обучения практические работы в курсе вероятности и статистики вставлены в планировании как элемент содержания. Необходимость использования цифровых ресурсов также отражена в видах деятельности в тех темах, где это целесообразно, подчеркивается 16 потенциал цифровых ресурсов, прежде всего, для развития исследовательских умений обучающихся, осваивающих программу углубленного уровня. В видах деятельности уделено внимание формированию функциональной математической грамотности, во многих темах всех курсов предлагается «решать задачи из реальной жизни», «применять математические знания для решения задач из других предметов». Для учащихся, осваивающих математику на углубленном уровне, актуально достижение высоких уровней математической грамотности, что соответствует уровням 5 и 6, выделенных в международном исследовании PISA. Для обучающихся, достигших этих уровней, характерно умение исследовать и моделировать сложные проблемы, разбираться с нетипичными контекстами, работать с разными источниками и информацией, представленной в различных формах, создавать новые стратегии, проявлять интуицию, рассуждать, делать выводы и предъявлять аргументацию в письменной форме, использовать формальный язык математики. Акцентированное формирование функциональной математической грамотности, феномен которой изучается как в ходе международных исследований, так и российских, поможет учителю сделать изучение математики на углубленном уровне более прикладным и мотивированным. В заключение отметим, что реализация в образовательной практике обновленного нормативно-методического программного комплекса, который с одной стороны, базируется на традициях и достижениях математического образования, а с другой стороны, открывает новые возможности и ресурсы, позволит сделать углубленное обучение математике более результативным, а процесс овладения математическими знаниями – более творческим. |