МАТЕМАТИКА (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС осн. Методическое пособие для учителя Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др. под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
Ответ: 10 тыс. руб. Отметим, что в задачах, аналогичных рассмотренной надо делать проверку, чтобы убедиться, что найденное значение переменной удовлетворяет всем условиям задачи. Подведем итоги. В практике обучения математике при традиционном подходе к составлению модели под моделью подразумевается уравнение или неравенство, их совокупность или система. В примерах 2–6 рассматривается понятие «математическая модель» в более широком смысле. На каждом этапе решения задачи учитель может организовать деятельность учащихся по математическому моделированию реальной ситуации. Пример 3 раскрывает возможность применения геометрии для создания модели при решении текстовых задач в алгебре, что подчеркивает единство учебных курсов предмета. Такой подход к формированию умений математического моделирования будет способствовать формированию планируемых результатов обучения математике более высокого уровня. 79 2.2. Формирование умения решать геометрические задачи на углублённом уровне изучения математики 2.2.1. Направления формирования у обучающихся умения решения геометрических задач На углублённом уровне курс представлен содержательными линиями: «Начала геометрии», «Треугольники», «Окружность», «Четырехугольники», «Подобие», «Элементы тригонометрии», «Площади», а также «Метод координат», «Векторы», «Преобразования плоскости». Изучение курса геометрии на углублённом уровне основано на расширении и углублении содержания в направлении теоретического материала и практической деятельности. В теоретический компонент, например, включена учебная информация о теоремах, в которой представлены: структура теорем, виды теорем и методы их доказательства, через сравнение и анализ теорем, которые учащиеся изучили в предыдущих темах. Практический компонент – система задач, которые учитель использует для организации активной учебно-познавательной деятельности учащихся. Геометрические задачи являются одним из важных средств обучения в направлении достижения планируемых результатов обучения математике. Задачи входят во все темы курса геометрии в 7–9 классах. Отметим, что геометрические задачи входят во вторую часть КИМов ОГЭ и ЕГЭ профильного уровня и относятся к задачам повышенного уровня сложности. Геометрические задачи высокого уровня сложности включены в тематическое содержание одного из направлений олимпиад по математике всех уровней. Это акцентирует важность геометрической составляющей учебного предмета «Математика». Геометрические задачи классифицируют, например, в зависимости от требования: на вычисление неизвестных геометрических величин; доказательство математических отношений; построение геометрических фигур. Значительная часть задач - это задачи на вычисление и 80 доказательство. Умение решать геометрические задачи многокомпонентная сложная система, в состав которой входят математические знания и специальные умения, опыт их применения, включающий мыслительные умения научного познания (см. табл. 2, рис. 2). В процессе решения математической задачи выделяют четыре основных этапа: осмысление текста задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, интерпретация полученных результатов. На каждом этапе решения задач выполняются определённые действия, уровень сформированности которых связан с успешностью решения задачи. Основные затруднения у учащихся возникают на первых двух этапах, так как школьники часто ищут известный способ решения; идут по пути применения теоретических знаний к фактам задачи, которые представлены в явном виде, лежат на поверхности; работают над одним путём решения задачи, над идеей, которая появилась первой. Часто учащиеся не найдя путь решения задачи перестают с ней работать, отказываются от её решения. Осуществление плана решения на третьем этапе связано с логической культурой мышления. Основные затруднения связаны с недостаточной сформированностью умения корректно записать цепочку логических утверждений, пренебрежением обоснования выводов. На четвертом этапе решения задачи возникает проблема соотнесения полученных результатов с условием и требованием задачи. Таким образом, обучение школьников решать геометрические задачи является необходимым условием формирования умений решения геометрических задач на углублённом уровне изучения математики. Выделенные поэтапные затруднения учащихся характеризуют направления формирования у обучающихся умения решения геометрических задач. 81 2.2.2. Рекомендации к организации обучения решению геометрических задач Начиная с изучения систематического курса геометрии в 7 классе учителю необходимо организовывать деятельность учащихся в направлении формирования умения осознанного прочтения геометрического текста и перевода текста задачи в символьную форму и на язык чертежа. Такое прочтение способствуют лучшему пониманию отношений между фигурами, которые в явном виде описаны в задаче. На этом этапе обучения решению задач нельзя пренебрегать организацией процесса в направлении анализа текста, поиска пути решения задачи и фиксацией гипотез. В умении найти путь вычисления или доказательства проявляется логическая и геометрическая культура мышления. Рассмотрим примеры, акцентируя внимание на важных моментах формирования у обучающихся действий, входящих в состав умения решения задач. На начальном этапе формирования у учащихся умения решать задачи необходимо сформировать умения осознанного прочтения текста, выявления основной фигуры, её элементов и математических отношений в процессе анализа текста. Деятельность учащихся в этом направлении учитель может организовать на основе теоретического материала темы после изучения какого-либо понятия или всей темы. Учитель, например, предлагает задания по выявлению верных утверждений, сравнения фигур и выявления у них общих существенных признаков. Утверждения составлены на основе определений понятий и их свойств (пример 7). Утверждения могут сопровождаться рисунками и тогда учащиеся должны выявить верные утверждения, описывающие отношения между геометрическими объектами. Кроме этого особо надо обратить внимание на изучение, анализ текста задачи. В процессе этой работы учитель рекомендует учащимся начинать изучение задачи с выполнения наглядных рисунков, схем, чертежей, информационных таблиц, помогающих осознанию и пониманию задачи. 82 Пример 7. Геометрия, 7 класс. Укажите номера верных утверждений 1 Два угла называются смежными, если стороны одного угла продолжают стороны другого угла. 2 Сумма смежных углов равна 3 Четыре угла называются вертикальным, если стороны одного угла продолжают стороны другого угла. 4 Биссектрисой треугольника называется луч, делящий угол на два равных угла. 5 Из точки, не лежащей на прямой, можно провести бесконечно много перпендикуляров к этой прямой. Необходимо сформировать у учащихся: умения выполнения не только аккуратного рисунка или чертежа, а, в первую очередь, геометрически грамотного чертежа; понимание роли символических обозначений на чертеже; отслеживания присутствия частных случаев и понимания возможности получения ложных выводов в случае замены общего случая частным, например, произвольного треугольника равносторонним. Например, если трапецию общего вида в примере 11 заменить (изобразить) равнобедренной, то можно сделать неверный вывод, что площади треугольников и равны, так как эти треугольники равны. Пример 8. Геометрия, 9 класс. Диагонали трапеции с большим основанием пересекаются в точке . Доказать, что площади треугольников и равны. Дано: – трапеция, – большее основание; и – диагонали, Найти: A B D C E 83 В рамках анализа текста задачи и составления плана её решения целесообразно сформировать у учащихся действия поиска решения задачи и составления схемы поиска, которые в процессе развития перейдут в умения. Сформированность этих умений на высоком уровне особенно важно в решении задач повышенного уровня сложности и нестандартных задач. При проведении анализ текста задачи учащиеся: 1) выделяют условие и требование задачи; 2) конкретизируют условие – называют, о каких объектах идёт речь, какая фигура является главной, какие величины и математические отношения известны; 3) конкретизируют требование: называют, о каких объектах идёт речь в требовании, что необходимо установить об этих объектах; 4) переводят условие и требование задачи из одной форму в другую, в частности, из словесной формы в символьную и записывают «Дано», «Доказать» или «Найти» или «Построить»; 5) выполняют изображение (рисунок, чертеж) объекта, схему отношений между геометрическими объектами (пример 9). Пример 9. Геометрия, 9 класс. Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются в точке . Найдите , если , . Дано: – трапеция, – боковая сторона; и – биссектрисы, , . Найти: В процессе поиска пути решения задачи учащиеся: 1) выводят следствия из условия и/или требования; A B D C F 84 2) фиксируют процесс поиска, указывая направление рассуждений; 3) отмечают известные теоретические факты или величины; 4) уточняют, конкретизируют последовательность выполненных рассуждений; 5) выбирают путь решения и составляют план решения задачи. Результатом этой работы является схема поиска решения задачи и план решения задачи (рис. 9). Отметим, что для успешного осуществления поиска пути решения задачи полезно помнить некоторые факты (сведения) о математических отношениях между геометрическими фигурами, которые помогают в нахождении пути решения. Например, что диаметр окружности, – трапеция – основания – секущая, – внутренние односторонние углы , – – прямоугольный, – гипотенуза Рис. 9. Схема поиска и план решения задачи 85 проходящий через середину хорды перпендикулярен ей, медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит этот треугольник на два равнобедренных треугольника и др. Часто эти факты при изучении геометрии являются результатом решения другой геометрической задачи. Поэтому учителю необходимо обращать внимание учащихся на эти факты и создать вместе с учащимися своеобразную библиотеку (каталог) фактов, которые надо помнить. Приведём пример. Пример 10. Геометрия 9 класс. Дан остроугольный треугольник . Биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке , а биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке . А) Докажите, что . Б) Найдите , если . Рис. 10. Схема поиска и план решения задачи, а) в) б) г) А) Первая часть задачи 86 Рассуждения учащихся при поиске пути доказательства. 1) Так как и , и – биссектрисы внутреннего и внешнего угла при вершине и треугольника (по условию), то и , тогда и – прямые, значит и – прямоугольные (по определению), – общая гипотенуза (рис. 10, а). 2) Так как и – прямоугольные, – общая гипотенуза (п. 1) и вокруг любого треугольника можно описать окружность, то эти треугольники будут вписаны в одну окружность, – диаметр, центр окружности – середина гипотенузы (рис. 10, б). 3) Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, то , , (рис. 10, в). 4) Так как и – биссектрисы (по условию), то , (по определению биссектрисы) (рис. 10, г). 5) Так как (п. 3 и 4), , то , что и требовалось доказать. Учитель акцентирует внимание учащихся на том, что в процессе поиска пути доказательства понадобились знания фактов: биссектрисы смежных углов перпендикулярны; гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной вокруг него окружности, центр которой – середина гипотенузы; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Учитель обращает внимание учащихся на то, что в первой части задачи было указано, что треугольник остроугольный, т. е. не рассматривался частный вид треугольника, а значит доказанное отшение углов при такой конфигурации будет выполняться для всех остроугольных треугольников. Далее учащиеся отвечают на вопрос «Соответствует ли чертеж выполненный в части А) задачи части Б?». Учащиеся интерпретируют доказанные отношения и анализируют данные о в части Б). Отмечают, что во второй части конкретизируется вид : , т. е. 87 – равнобедренный, – основание. Поэтому требуется корректировка чертежа.Обозначим для удобства величины углов . На основе рассуждений при поиске пути решения учащиеся выполняют чертеж ко второй части задачи (рис. 11). Представим коротко рассуждения учащихся. 1) Рассмотрим ∆ . Так как = = + , = + , то ∆ – равнобедренный, = . 2) – равнобедренный, C – равнобедренный, то . 3) Так как ; , то . 4) Рассмотрим прямоугольный : = Задачи аналогичные рассмотренной способствуют формированию умения актуализации и систематизации знаний, развитию нешаблонного мышления, умению применения знаний в нестандартной ситуации. Используя описанный подход к организации обучения геометрии и такие задачи учитель реализует формирование у обучающихся умений решения геометрических задач на углублённом уровне. Рис. 11. Чертеж ко второй части примера 10 Б) Вторая часть задачи Найдите , если 88 2.2.3. Содержательная линия «Геометрические построения» в 7–9 классах Обучение решению задач на построение является важной неотъемлемой составляющей учебного курса «Геометрия» на углублённом уровне изучения. Геометрические задачи на построение повышенного и высокого уровня сложности часто решаются при помощи простейших (элементарных) геометрических задач на построение, которые рассматриваются в курсе геометрии 7–9-х классов. Поэтому важно, чтобы у учащихся умения решения элементарных геометрических задач на построения были сформированы на достаточно высоком уровне. К элементарным задачам на построение, например, относятся построения: 1) отрезка на прямой, равного данному отрезку; 2) угла, равного данному углу; 3) биссектрисы угла; 4) середины отрезка; 5) прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярную данной прямой; 6) прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой; 7) треугольника по двум сторонам и углу между ними; 8) треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам; 9) треугольника по трём сторонам; 10) касательной к окружности, проходящей через данную точку. Традиционное распределение содержательной линии «Геометрические построения» в 7–9 классах на примере УМК Л. С. Атанасяна и др. представлено в табл. 7. Соотнесение методов решения задач на построение с теоретическим материалом основного курса геометрии позволяет выявить последовательность раскрытия этих методов в обучении предмету. 89 Таблица 7 Распределение содержательной линии «Геометрические построения» по классам на уровне основного общего образования Класс / тема школьного курса геометрии / методы решения задач на построение Задачи на построение, полное решение которых представлено в учебнике [Геометрия. 7–9 классы. Л. С. Атанасян и др.] 7 Начальные геометрические сведения. Построение с помощью чертежного треугольника. Геометрическое место точек (ГМТ) Построение перпендикуляра к прямой 7 Треугольники. Построение циркулем и линейкой (ЦЛ): а) ГМТ; б) алгебраический метод (элементарные задачи) Элементарные задачи на построение 7 Параллельные прямые. Построение с помощью чертежного треугольника и линейки (ТЛ). ГМТ Построение параллельных прямых 7 Соотношения между сторонами и углами треугольника. Построение с помощью чертежного треугольника и линейки (ТЛ): а) ГМТ; б) алгебраический метод Этапы решения задач на построение Построение треугольника по трем элементам: по двум сторонам и углу между ними; по трем сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне; по стороне, медиане, проведенной к одной из двух сторон, и углу между данными стороной и медианой; по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон; по двум сторонам и высоте к третьей стороне 8 Четырехугольники. Построение с помощью циркуля и линейки: а) ГМТ; б) алгебраический метод Построение четырехугольников: параллелограмма по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали; прямоугольника: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями; 90 ромба: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу; квадрата: а) по стороне; б) по диагонали 8 Практическое применение подобия треугольников. Построение с помощью циркуля и линейки. Метод подобия геометрических фигур Построение треугольника: по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла; по углу и медиане, проведенной из вершины этого угла, и отношению сторон треугольника, являющихся сторонами этого угла. Деление отрезка на части в заданном отношении 8 Окружность. Построение с помощью циркуля и линейки: а) ГМТ; б) построение окружностей Построение хорды окружности с заданным углом между хордой и радиусом окружности. Построение касательной к окружности. Построение серединного перпендикуляра к отрезку. Построение окружности вписанной в треугольник. Построение окружности описанной около треугольника. Построение окружности, проходящей через точку, принадлежащую прямой и касающуюся этой прямой в заданной точке. 9 Правильные многоугольники Построение с помощью циркуля и линейки: а) ГМТ; б) построение окружностей Построение правильных многоугольников: шестиугольника; правильный 2 k - угольник, где k 2. Построение вписанного в окружность правильного: а) шестиугольника; б) треугольника; в) квадрата; г) восьмиугольника. 9 Движение. Метод поворота, симметрии Построение отрезка с помощью параллельного переноса. Построение методом поворота отрезка, окружности, прямой |