МАТЕМАТИКА (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС осн. Методическое пособие для учителя Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др. под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
движение Пример 2. Текстовая задача на движение, 9 класс. Два поезда отправляются из пунктов и навстречу друг другу. Если поезда выйдут одновременно, то они встретятся через 3 ч 45 мин. Если поезд из выйдет на 2 ч раньше, чем поезд из , то встреча произойдёт на середине пути. Найдите скорости поездов и расстояние между и , если известно, что скорость одного поезда на 40км/ч больше скорости другого. 1 этап. Формулирование ситуации на математическом языке. На этом этапе учитель организовывает анализ текста задачи учащимися. При необходимости учитель оказывает помощь: задаёт наводящие вопросы; предоставляет предписание для составления математической модели ситуации; организовывает фронтальное обсуждение текста задачи. В результате этой деятельности учащиеся: 1) определили, что это задача на движение по суше; 4 Тексты задач для примеров: 1) Открытый банк задач ОГЭ и ЕГЭ. – ФГБНУ «ФИПИ». – [Электронный доступ]. – URL: https://fipi.ru/ 2) ОГЭ. Математика и ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационный варианты. – 2023. Решение задач – авторское. 62 2) структурировали текст задачи, выявив условие и требование задачи; 3) определили, что основной частью условия является то, что поезда движутся навстречу друг другу, т. е. встречное движение, и выдвинули гипотезу, что составление математической модели может быть основано на понятии «скорость сближения»; 4) выявили, что в разъяснительной части условия описываются две ситуации: а) поезда выехали одновременно; б) сначала выехал один поезд, а через некоторое время другой; 5) составили модель условия задачи в виде схемы – перевели условие задачи в схему, отражающую ситуации в динамике (рис. 5). 2 этап. Конструирование аналитической модели, соответствующей проблеме заданной ситуации. Учитель организовывает составление модели интерпретации. Показывает логически верное построение высказываний. Рассуждения учащихся: 1) так как задача на движение по суше, то ситуации характеризуется тремя параметрами: скоростью, временем и расстоянием, взаимосвязанными формулой пути ; 2) т. к. встречное движение, то с ситуацией связано понятие “скорость сближения” ; 63 Дальнейшие рассуждения по составлению модели учащиеся могут оформить в виде цепочки рассуждений и/или фиксируя результаты рассуждений в таблице. Прокомментируем процесс составления модели. 3) Так как в первой ситуации поезда вышли одновременно из пунктов и навстречу друг другу и встретились через 3 ч 45 мин, то время A Через 3 часа 45 минут=3,75ч A 1 ситуация A 2 ситуация A Через t часов A Через 2 часа Рис. 5. Модель иллюстрация описываемой ситуации, пример 2 64 движения каждого поезда равно 3,75 ч. Внесём эти известные величины в соответствующие ячейки таблицы. 4) Так как неизвестны скорости движения поездов, время движения поездов во второй ситуации, расстояния, которые проехали поезда в каждом случае, то пусть время первого поезда , время движения второго поезда во второй ситуации , . 1 ситуация Первый поезд (из в ) Второй поезд (из в ) 2 ситуация Первый поезд (из в ) Второй поезд (из в ) Далее учащиеся выражают через введённые переменные все неизвестные величины. После заполнения всех ячеек таблицы ищут условие для составления аналитической модели – модели интерпретации. 5) Так как в первой ситуации поезда выехали одновременно и встретились, то расстояние между пунктами равно сумме расстояний, которые проехали поезда, т. е. 6) Так как во второй ситуации поезда встретились на половине пути, то каждый поезд проехал расстояние равное 65 Запишем систему уравнений Таким образом, моделью интерпретацией – аналитической моделью является система уравнений с двумя переменными. 3 этап. Исследование модели с использованием математического аппарата алгебры. В результате решения системы получим, что , ; 4 этап. Интерпретация полученных результатов. При интерпретации полученных результатов, во-первых, значения переменных, соотносят с тем, какие неизвестные величины (параметры)обозначили за эти переменные (этап 2, п. 4); во-вторых, оценивают полученные значения переменных на соответствие ситуации, описанной в задаче. Находят величины, которые соответствуют требованию задачи. Результат деятельности на этом этапе учащиеся оформляют в форме вывода. Вывод. 1) Так как , и , то эти числа не удовлетворяют условию задачи. 2) Так как , то скорость первого поезда равна 60 км/ч, а время движения второго поезда во второй ситуации равно 3 часа. Тогда скорость второго поезда равна 100 км/ч, расстояние между пунктами и – 600 км. Ответ: 60 км/ч, 100км/ч, 600 км. Рассмотрим ещё один пример задачи на движение. Покажем другой подход к составлению математической модели. Пример 3. Из пункта в пункт расстояние между которыми равно 10 км, в 7:00 выехала машина. Проехав 2/3 пути, машина миновала пункт C, 66 из которого в этот момент в пункт A выехал велосипедист. Как только машина прибыла в B, оттуда в противоположном направлении сразу выехал автобус и прибыл в A в 9:00. На каком расстоянии от B автобус догнал велосипедиста, если велосипедист прибыл в пункт Aв 10:00 и скорость каждого участника постоянна? Составим с целью лучшего понимания и осознания описываемой ситуации модель восприятия и иллюстрации (рис. 6). Составим геометрическую модель, соответствующую ситуации, описываемой в задаче (рис. 7). через 10 км 7:00 через ? км через 9:00 10:00 Рис. 6. Модель описываемой ситуации, пример 3 67 1) Так как скорость машины, велосипедиста и автобуса постоянны, то пройденный путь каждым участником ситуации выражается линейной функцией, графиком которой является прямая. 2) Так как машина проехала путь из точки в точку – расстояние, пройденное автобусом равно отрезку . Построим отрезок . 3) Так как в момент времени, когда машина проезжала пункт , она проехала расстояния между пунктами, то , 4) Так как велосипедист выехал из точки , а автобус из точки , то автобус проехал расстояние, отображенное отрезком , а велосипедист до момента, когда автобус приехал в пункт – отрезком , – точка, где автобус догнал велосипедиста. Таким образом, построили геометрическую модель, соответствующую ситуации, описанной в задаче. Решение задачи свели к исследованию с использованием теоремы Менелая. Рис. 7. Модель иллюстрация описываемой ситуации, пример 3 68 2.1.3.3. Построение математической модели при решении задач с экономическим содержанием Текстовые задачи с экономическим содержанием входят в КИМы ЕГЭ базового и профильного уровней. Учащимся 7–9 классов, изучающим математику на углублённом уровне, вполне посильны задачи на вклады, кредиты и оптимизацию, в которых можно ответить на вопрос задачи, не используя учебный материал, в частности производную, изучаемый в 10– 11 классах. Поэтому такие задачи целесообразно включить в содержание обучения математике на углублённом уровне в 9 классах. На первом этапе обучения решению задач на проценты учитель организует вводное занятие, на котором знакомит учащихся с видами задач с экономическим содержанием, отмечая, чем отличаются реальные процессы вклада и кредита друг от друга; чем отличаются задачи на вклады от задач на кредиты и на оптимизацию. Организует повторение темы «Проценты» и совершенствование знаний и умений перевода процентов в десятичную дробь, актуализирует знания о решении задач на нахождение части от целого и целого по значению дроби. Акцентирует особенности процессов, которые надо учитывать при построении соответствующей математической модели. Рассмотрим составление моделей при решении конкретных задач. Пример 4. Текстовая задача с экономическим содержанием на вклады. 1 апреля 2017 г. Андрей Петрович положил 10000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под % годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличивается ровно на %. Через 6 месяцев сумма вклада составила 10500 рублей. Найдите . 1 этап. Формулирование реальной ситуации на математическом языке. 69 На этом этапе учитель организует анализ текста задачи, его структурирование в таблице (модель восприятие). Для лучшего понимания учащимися процесса, описанного в аналогичных задачах, составляется модель восприятия и иллюстрации в виде «ленты времени», отражающей реальный процесс, описанный в задаче (рис. 8). Условие Первоначальный вклад Срок вклада Процентная ставка Через шесть месяцев 10500 руб. Результат через год Требование: найти При структурировании информации учитель обращает внимание учащихся на коэффициенты и , формирует у учащихся понимание, что коэффициент позволяет вычислить сумму, которую начислит банк (начисленный процент), а коэффициент – сколько денег будет на счету после начисления процентов. 1 июля 1 апреля мая 1 июня Первый период – первый финансовый месяц Рис. 8. Лента времени реального процесса 12 периодов – 12 финансовых месяцев (год) Увеличивается на вклада составила 10500 рублей Второй период – второй финансовый месяц Третий период – третий финансовый месяц 70 2 этап. Конструирование математической модели, соответствующей реальной ситуации. Учитель организовывает процесс составления математической модели. Учащиеся фиксируют результаты своих рассуждений в таблице, отображая реальный процесс начисления процентов на вклад. Пе риод вкл ада Сумма вклада до начисления %, тыс. руб. Сумма вклада после начисления %, тыс. руб., 1 2 … … 6 … … 12 После заполнения выявляют условия для составления математической модели. Рассуждения учащихся: 1) Так как через шесть месяцев вклад равен 10500 рублей = 10,5 тыс. руб., то (1) 2) Так как вклад положили на один год и сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, то 3) Так как через 12 месяцев сумма вклада увеличивается ровно на %, то конечная сумма будет равна: (3). Значит, запишем систему уравнений, которая и будет математической моделью реальной ситуации, описанной в задаче. 71 Надо обратить внимание учащихся, что в задачах на вклады и кредиты часто идёт речь о достаточно длительном периоде времени: 12 месяцев, 36 месяцев. При составлении модели важно понимание процесса, что позволяет отображать в таблице не все финансовые периоды, а только те, в которых содержится информация значимая для составления модели. Рассмотрим задачу на кредиты. Процесс составления модели базируется на умении оперировать понятием «арифметическая прогрессия». Пример 5. Задача с экономическим содержанием на кредиты. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: – 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; – со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; – 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Представим рассуждения в форме таблиц и прокомментируем процесс их заполнения. 1 этап. Формулирование ситуации на математическом языке. Условие Первоначальный вклад Срок вклада 72 Процентная ставка Действия За первые 12 мес. выплачено: 177,75 тыс. руб. Результат через год Требование: найти 2 этап. Конструирование математической модели, соответствующей ситуации. На первом этапе анализируется условие задачи, выявляются все характеристики процесса, известные величины и неизвестные величины. На втором этапе рассуждения сводятся к следующему. 1) Так как кредит полностью погашен за 24 месяца, то на начало 25 месяца долг равен 0 рублей. 2) Так как кредит и начисленные проценты выплатили, то сделали переход от суммы , которую взяли в кредит, до полного погашения, т.е. до 0 рублей за 24 месяца. 3) Долг на одну и ту же величину меньше долга предыдущего периода, то долг убывает равными долями На основе этих утверждений заполняем в таблице столбец «Сумма долга до начисления %». Сумма долга до начисления %, тыс. руб. Сумма долга после начисления %, тыс. руб. Выплаты тыс. руб. 1 2 73 3 … 1 2 1 3 … 2 4 2 5 0 Начисляя проценты на полученные суммы, заполняем столбец «Сумма долга после начисления %». Затем находим суммы выплат и заполняем последний столбец в таблице. Сумма долга до начисления %, тыс. руб. Сумма долга после начисления %, тыс. руб. Выплаты тыс. руб. 1 2 3 … 1 2 1 3 … 74 2 4 2 5 0 4) Так как за первые 12 мес. выплачено: 177,75 тыс. руб., то надо найти сумма выплат за 12 месяцев. 5) Так как в результате анализа сумм, записанных в первом и в последнем столбце, выявлено, что суммы долга до начисления процентов и суммы выплат – арифметические прогрессии, то используя формулу для вычисления суммы членов арифметической прогрессии, запишем сумму выплат за 12 месяцев. Сумма долга до начисления %, тыс. руб. Сумма долга после начисления %, тыс. руб. Выплаты тыс. руб. 1 2 3 … 1 2 1 3 … 2 4 2 5 0 Получим: 75 Это и будет математическая модель. После решения системы получим 300000 рублей. Ответ: 30000 рублей. Пример 6. Задача с экономическим содержанием на оптимизацию. Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн. рулей в год. Если продукцию завода производить по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении строительство завода окупится не более, чем за три года? 1 этап. Формулирование проблемы ситуации на математическом языке. В раках первого этапа учащиеся анализируют текст задачи и представляют текст задачи в таблице. Такой подход к проведению анализа и записи его результатов, помогает учащимся обобщить и структурировать информацию, содержащуюся в тексте задачи. Условие Строительство завода Количество единиц продукции (тыс. ед.) Цена за ед. продукции (тыс. руб.) Затраты на производство 76 продукции, млн. руб. в год Прибыль фирмы за один год, млн. руб. Окупится не более чем за 3 года Требование: найти – наименьшее 2 этап. Конструирование математической модели, соответствующей проблеме реальной ситуации. 2.1. Рассуждения учащихся при поиске пути решения: выручка равна сумме затрат и прибыли, то прибыль равна разности между выручкой и затратами. Учащиеся выбирают способ фиксации поиска пути решения задачи, например, , и 2.2. Рассуждения учащихся при составлении математической модели: 1) Т. к. затраты на строительство (по условию), прибыль фирмы за один год и затраты должны окупиться за три года (по условию), то 2) Т. к. (по условию) и (п. 1), то тогда 3 этап. Исследование составленной модели с использованием математического аппарата алгебры. Получили неравенство В результате анализа требования и неравенства учащиеся делают вывод, что нужно найти значения параметра , при которых неравенство имеет решение, и выбрать наименьшее положительное значение, так как – 77 цена за единицу товара и требуется найти наименьшее значение. 1 подход. Решение неравенства относительно введением функции. После преобразования неравенства получим Для нахождения введем функцию – квадратичная функция, парабола, ветви вверх. , (1) Решение неравенства (1): . 2 подход. Используя свойства квадратичной функции, найдём количество единиц продукции , при котором прибыль будет наибольшей. Т. к. , – квадратичнаяфункция, график – парабола, ветви вниз, точка находится в вершине параболы: Т. к. (п.2) и , то (2) Решение неравенства (2): . 4 этап. Интерпретация полученных результатов. В результате исследования модели и при первом, и при втором подходах получили, что . p –6 10 + + – p –6 10 + + – |