МАТЕМАТИКА (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС осн. Методическое пособие для учителя Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др. под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
РАЗДЕЛ II. ОРГАНИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ 7-9-х КЛАССОВ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ УГЛУБЛЕННОГО УРОВНЯ 2.1. Математическое моделирование при решении математических задач 2.1.1. Понятие «математическое моделирование» С раннего детства каждый человек встречается с различными моделями, выполняет действия моделирования, порой, не осознавая этого. Например, строят дома из кубиков, собирают модели из конструктора. Затем на уровне школьного образования практически при изучении каждого школьного предмета учащиеся строят модели в той или иной форме. Например, при изучении русского языка морфемный разбор слова по составу или фонетический разбор слова и представление разбора в виде схемы, синтаксический разбор предложения по частям (рис. 1). Учитель русского языка может предложить учащимся обратный переход – составление слова или предложения, соответствующего конкретной модели. При изучении географии учащиеся составляют географические карты, например, климатические с использованием различных знаков, которые в свою очередь также являются моделями, отражающими определённые погодные условия. Конкретизируем понятие «моделирование» для школьного курса математики. Рис. 1. Примеры моделей по русскому языку 50 Моделирование – общенаучный метод познания окружающего мира, тех или иных сторон материальной действительности (рис. 2) [Введение в математическое моделирование: уч. пособие / под ред. П. В. Трусова. – 2007. – С. 16].Таким образом, моделирование является одним из методов научного познания, на основе которого в единстве с другими методами строится особый объект – абстрактное или обобщенное представление, схема изучаемого процесса, явления. Этот объект и есть модель. Предметом моделирования может быть окружающая среда и реальных процессы, происходящие в жизни людей, системы компонентов природной среды, социальные процессы. Л. М. Фридман рассматривает понятие модели в широком смысле. Он пишет: «моделью некоторого объекта (оригинала, прототипа) называется объект , «в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу , но отличающийся от него, выбранный или построенный субъектом » Методы научного познания Частнонау чные Общенаучные Общие Сравнение Анализ Синтез Аналогия Моделирование Эмпирические Наблюдение Эксперимент Измерение Теоретические Абстрагирование Идеализация Формализация Индукция Дедукция Рис. 2. Методы научного познания пример 10Математическое моделирование 51 [Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. – 248 с. – С. 210]. Это позволяет рассматривать понятие моделирования с позиции математики и говорить о математическом моделировании реальных ситуаций. Математическое моделирование – моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием математического аппарата. Современная наука достаточно широко использует математическое моделирование при изучении объектов. Практически все естественные области науки (астрономия, биология, география, физика, химия и др.), общественные науки (управление, социология, экономика и др.) заменяют изучаемый объект математической моделью, соответствующей своей области, исследуют её с помощью методов математики. Процесс моделирования также имеется практически во всех видах деятельности человека, в том числе и в профессиональной сфере, например, политиков и предпринимателей, экономистов и финансистов и др. Поэтому для личностной успешной реализации в жизни выпускников школы важно, чтобы у них были сформированы умения математического моделирования. Ценность научного познания – одно из направлений личностного развития обучающихся (табл. 1) – характеризуется готовностью к осуществлению проектной и исследовательской деятельности. Осуществление проектной и исследовательской деятельности базируется на умении выполнения исследовательских действий, входящих в универсальные познавательные действия (табл. 2). Одним из важных умений для осуществления проектной и исследовательской деятельности является умение перевода проблемы (задачи) реальных ситуаций в математическую сферу и построения соответствующей математической модели, т. е. математическое моделирование. 52 А. А. Ляпунов, выдающийся советский математик, занимающийся математической лингвистикой, определяет математическое моделирование, как исследование объекта, при котором изучается не сам объект, а его математическая модель, являющаяся математическим представлением реальности 1 . Российские математики А. А. Самарский и А. П. Михайлов рассматривают математическую модель как «„эквивалент“ объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства – законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям 2 ». А. И. Короткий и Л. Г. Гальперин называют процесс формулировки математической модели постановкой задачи 3 При изучении учебного предмета «Математика» на уровне основной и средней школы под математической моделью понимается уравнение (неравенство), их совокупность или система, график или чертеж, план или схема, а также математические отношения, например, принадлежность, равенство, подобие, параллельность, перпендикулярность, отражающие свойства изучаемого объекта или явления. Математическая модель, описывающая объект, может иметь словесную, аналитическую, графическую или геометрическую форму, например, область определения функции (табл. 4). Таблица 4 Пример математической модели в разных формах Функция Область определения функции , , 1 Блехман И. И. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов, с примерами из механики: учебное пособие / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Н. Г. Пановко. – Москв : УРСС, 2006.– 376 с. 2 А. А. Самарский и А. П. Михайлов Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – М.: Физматлит, 2001. – 320 с. – с. 7–8. 3 Математическое моделирование /А. И. Короткий, Л. Г. Гальперин – Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2005. – 102 c.]. 53 Таким образом, под математическим моделированием понимается описание объекта на математическом языке. Математическая модель строится на основе математических отношений: принадлежность, равенство, подобие, параллельность, перпендикулярность, отражающих свойства изучаемого объекта или явления. Процесс исследования модели базируется на использовании математического аппарата. 2.1.2. Виды математической модели и предписание для составления модели и ее исследования «Конструирование модели начинается со словесно-смыслового описания объекта или явления. … Данный этап можно назвать формулировкой предмодели» (Самарский А. А., Михайлов А. П.). Процесс построения математической модели и его исследование базируется на выполнении мыслительных операций в соответствии с определенной логикой, в частности, сравнении, анализе и синтезе, абстрагировании и обобщении (табл. 5). Отметим, что анализ и синтез – две взаимосвязанные мыслительные операции, так как в процессе анализа сложный объект разделяется на составные части, а синтез направлен на восстановление объекта из частей. Аналогично, абстракция и обобщение – взаимосвязанные компоненты единого мыслительного процесса. Таблица 5 Мыслительные операции при математическом моделировании Направление Характеристика Сравнение Выявление существенных признаков объектов, родового сходства и видового отличия между объектами, математических отношений между объектами Анализ Выделение составляющих частей сложного объекта или характеристик частей с последующим их сравнением. Синтез Соединение составляющих частей в сложный объект, на основании существенных связей и отношений. Абстрагиро Выделение существенных свойств объекта и его связей 54 вание и отвлечение от несущественных свойств. Обобщение Объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам. Суждение Результат мыслительного процесса, отражающий связь между объектами в форме утверждения или отрицания. Рассуждени е Работа над суждениями. Умозаключе ние Вывод на основе нескольких суждений. Как отмечено выше, при изучении математики под математической моделью понимается уравнение (неравенство), их совокупность или система, график или чертеж, план или схема, а также математические отношения, например, принадлежность, равенство, подобие, параллельность, перпендикулярность, отражающие свойства изучаемого объекта или явления. Вид модели зависит от цели ее составления. Классифицируем модели (рис. 3) в зависимости от цели создания модели: 1) восприятие изучаемой (моделируемой) реальной ситуации (объекта, процесса)через её модель, более удобной для её понимания, осознания; 2) иллюстрация (представление) реальной ситуации (объекта) для лучшего её понимания, осознания; 3) интерпретация (описание) реальной ситуации (процесса, объекта)через описание модели; 4) исследование реальной ситуации (процесса, объекта) через исследование его модели. 55 В УМК практически отсутствует понятие модели и математического моделирования, в обучении часто под моделью понимается уравнение или неравенство, их системы. Ранее было отмечено, что моделирование – процесс познания окружающей действительности. Поэтому важно, чтобы учитель при организации изучения математики на углублённом уровне обращал внимание не только на умения работать с моделью, т.е. на решение уравнения или неравенства. А специально организовывал деятельность учащихся в направлении формирования понятия «математическая модель», умения постановки цели создания модели, выявления наиболее удобного вида модели и умений оперировать этим понятием. Отметим, что модель одно вида может быть сконструирована с разными целями. В процессе построения математической модели ситуации и её исследования выделим основные этапы: Цель создания математической модели Иллюстрация Восприятие Интерпретация Рис. 3. Классификация моделей по цели ее создания Исследование Реальная ситуация Математическая модель Модель иллюстрация схема, план, график, граф, чертеж, рисунок Модель восприятие краткая запись, схема, рисунок, таблица Модель интерпретация уравнение или неравенство, их система (совокупность) Модель исследование уравнение или неравенство, их система, график 56 1) формулирование проблемы (задачи) заданной ситуации на языке математики; 2) конструирование математической модели, соответствующей сформулированной проблеме (задаче) заданной ситуации; 3) исследование модели с использованием математического аппарата; 4) интерпретация математических результатов исследования модели. Учитывая состав познавательных УУД и характеристики мыслительных операций (табл. 2 и 4), методы математического моделирования (рис. 2), конкретизируем действия, выполняемые в процессе моделирования, и составим предписание для составления математической модели и её исследования (табл. 6). Процесс математического моделирования в явном виде выполняется учащимися при решении текстовых задач алгебраическим способом – составление уравнения или системы уравнений; при решении геометрических задач – изображение рисунка (чертежа). 57 Таблица 6 Предписание для составления математической модели и ее исследования Действие 1 этап. Сформулировать проблему (задачу) заданной ситуации на математическом языке: 1 1. Выявить возможность формулирования проблемы (задачи) ситуации на математическом языке: 1.1 выявить условие и требование проблемы (задачи) ситуации; 1.2 выявить основную и разъяснительную части условия; 1.3 сравнить и проанализировать известные величины и отношения между объектами; 1.4 выявить неизвестные величины и отношения между объектами; 1.5 соотнести известные и неизвестные величины и отношения с математическими понятиями, обеспечивающими возможность перехода к математическим объектам. 2 2. Перевести проблему ситуации на математический язык 2 этап. Сконструировать математическую модель, соответствующую проблеме (задаче) заданной ситуации: 3. 3 3. Осуществить поиск путей решения математически сформулированной проблемы (задачи), применив знания о математических понятиях: 3.1 выявить математические понятия, их свойства и признаки, соответствующие известным величинам и отношениям проблемы (задачи) заданной ситуации; 3.2 выявить математические понятия, их свойства и признаки, соответствующие неизвестным величинам и отношениям проблемы (задачи) заданной ситуации; 3.3 выявить взаимосвязь известных и неизвестных математических понятий; 3.4 выводить следствия из условия и/или требования до тех пор, пока результатом не станет неизвестные величина или отношение; 4 4. Фиксировать процесс поиска путей решения, составляя схему поиска. 5 5. Проанализировать пути решения математической модели и выбрать наиболее рациональный путь решения. 6 6. Записать математическую модель в символьной, аналитической и/или геометрической формах, используя взаимосвязи известных и неизвестных математических понятий, выявленные в п. 3.3, 3 этап. Исследовать модель с использованием математического аппарата: геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры: 58 7 7. Выявить вид сконструированной математической модели. 8 8. Выявить возможные преобразования математической модели. 9 9. Выполнить преобразования модели до тех пор пока не получим значения неизвестных переменных или неизвестные математические отношения станут известными. 1 10. Отобрать из найденных значений переменных или математических отношений те, которые являются решениями сконструированной модели 4 этап. Интерпретировать полученные результаты и соотносить их с заданной ситуацией. 1 11. Соотнести полученные результаты с условием и требованием проблемы (задачи) заданной ситуации. Приведём пример математической модели по курсу алгебры. В примерес целью лучшего восприятия и иллюстрацииреальной ситуации составлена графическая модель текста (рис. 4), в котором описана некоторая ситуация. Этот текст может быть условием задачи повышенного уровня сложности по алгебре в 9 классе. Реальная ситуация, описанная в задаче, отражена на рисунке в динамике происходящего. Такой подход к изображению ситуации помогает учащимся в нахождении соответствующей геометрической модели и понимании изменения отношений между объектами. Учитель к тексту может составить вопросы, например, 1) найдите скорости велосипедистов; 2) встретятся ли велосипедисты на перекрестке; 3) кто из велосипедистов первым приедет на перекресток. Эти вопросы будут основой для проведения исследования. Пример 1. Алгебра, 9 класс. По двум пересекающимся дорогам под прямым углом, по направлению к перекрестку движутся два велосипедиста. В начальный момент первый велосипедист находился в 60 км от перекрестка, а второй – в 80 км. Через три секунды расстояние между велосипедистами стало равно 70 м., а ещё через 3 с. – 50 м. 59 S 60 80 Первоначальный момент времени S 70 Через 3 секунды S 50 Через 2 секунды Рис. 4. Математическая модель, пример 1 60 2.1.3. Конструирование математической модели и её исследование при решении текстовых задач 2.1.3.1. Рекомендации к составлению модели при решении задач Аналитический способ решения текстовых задач основан на составлении математической модели ситуации, описанной в задаче. Поэтому текстовые задачи можно рассматривать как средство формирования у учащихся метапредметных результатов обучения, в частности познавательных и регулятивных УУД, умений составления математической модели некоторой ситуации. Отметим, что текстовые задачи, входящие во вторую часть контрольно- измерительных материалов (КИМ) государственной итоговой аттестации за курс основной и средней школы – ОГЭ и ЕГЭ профильного уровня, относятся к задачам повышенного уровня сложности. «Верно построенная математическая модель» – один из критериев оценивания задания, связанного с решением текстовой задачей. Для успешного выполнения этого задания важно, чтобы у учащихся были сформированы умения построения математической модели, соответствующей ситуации, описанной в задаче, на высоком уровне. Анализ типичных ошибок, которые обучающие допускают при решении текстовых задач, позволяет выделить ошибки связанные с: – непониманием процесса, описываемого в задаче; – неверным выполнением действий, необходимых для составления математической модели описанной ситуации; – непониманием математических отношений между объектами; – установлением неверного математического отношения между величинами, геометрическими фигурами; – неверным составлением математической модели соответствующей ситуации; 61 – недостаточной сформированностью умения работать с математической моделью; – вычислительными ошибками; – запись бесконечной непериодической дроби в виде конечной десятичной дроби. Рассмотрим организацию деятельности учащихся, направленную на формирование у обучающихся умений математического моделирования при решении текстовых задач 4 повышенного уровня сложности, отразив этап построения математической модели, в соответствии с предписанием (табл. 4). 2.1.3.2. Составление модели при решении текстовых задач на |