МАТЕМАТИКА (углубленный уровень). Реализация требований ФГОС осн. Методическое пособие для учителя Рослова Л. О., Алексеева Е. Е., Буцко Е. В. и др. под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао
 Скачать 2.94 Mb.
|
|
2.2.4. Расширение задач на построение алгебраической составляющей Формирование умений решения геометрических задач на построение в соответствии с теорией формирования умственных действий П. Я. Гальперина должно осуществляться поэтапно. Базируясь 91 на последовательности раскрытия методов построения при решении простейших задач на построение (табл. 7) можно выделить этапы и выявить основные формируемые действия на нём и задачи, которые используем для организации деятельности учащихся, а также задачи, которые расширят и углубят содержательную линию геометрических построений. На первом этапе обучения составлению и решению задач на построение при рассмотрении элементарных задач целесообразно организовать деятельность учащихся на «открытие» соответствующих предписаний, составление предписаний, например, построение отрезка, равного данному отрезку (пример 11). Пример 11. Построение на прямой отрезка, равного данному отрезку. Построение Действия построения Результат построения 1) отроим прямую a; 1) прямая a; 2) отмечаем на прямой a точку A; 2) A, A a; 3) строим полуокружность (A; AB) 3) полуокружность (A; AB) ∩ прямую a= B 1 ; полуокружность (A; AB) ∩ прямую a= B 2 Получили: AB 1 = AB, (AB 2 = AB), что и требовалось построить На следующем этапе учебный материал можно расширить «открытием» учащимися алгебраического метода для решения задач на построение. Учитель организует построение отрезка XY, длина которого x выражена математическими выражениями (формулами): , – , , Рис. 12. Иллюстрация к примеру11 A B 2 B 1 a 92 , , – и др. (отрезки a, b, c, и др. заданы), с помощью проведения прямых и окружностей (основных операций построения). Введение построения конкретного математического выражения происходит при изучении соответствующего материала основного курса геометрии. Например, составление предписания для построения выражения , где m – натуральное число, учитель организует при изучении теоремы Фалеса (8-й класс), выражений , – – при изучении теоремы Пифагора (8-й класс); , – соотношения между сторонами и углами треугольника (9-й класс) (примеры 12–15). Пример 12. Построение выражения , где n, m – натуральные числа. При построении отрезка XY, длина которого в m раз меньше длины данного отрезка, обоснованного теоремой Фалеса (рис. 13), используются: 1) построение выражения nb; 2) построение параллельной прямой, проходящей через данную точку (элементарная задача). Построение Действия построения Результат построения 1) Строим луч, выходящий из одного конца данного отрезка 1) Луч AC 2) Откладываем последовательно на луче n раз произвольный отрезок b, n= m 2) n равных отрезков на луче AC, n= 7. AK 1 = K 1 K 2 = K 2 K 3 = K 3 K 4 = K 4 K 5 = K 5 K 6 = K 6 K 7 A=X Y B Рис. 13. Иллюстрация к примеру 12 C p K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 p 1 b 93 3) Проводим прямую через конец последнего отрезка на прямой и второй конец данного отрезка 3) Прямая p; B p, K 7 p 4) Через конец первого отрезка, лежащего на прямой, проводим прямую, параллельную прямой, проведенную в п. 3 4) Прямая p 1 , p 1 p, K 1 p 1 ; p 1 ∩ AB=Y Так как получили: XY, XY= , то x= , что и требовалось построить. Пример 13. Построение математических выражений: , – Для построения отрезка XY, длина которого в процессе анализа представлена выражениями или – ( ), используем отношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника (рис. 14). Тогда: – если длина отрезка равна , то XY – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b (рис. 14, а); – если длина равна – (a b), то XY – катет прямоугольного треугольника с гипотенузой a и катетом b(рис. 14, б). b Рис. 14.Иллюстрация к примеру 13 a b б) a а) 94 Пример 14. Построение отрезка XY, если известны отрезок a и β – острый угол. Если длина отрезка XY выражается через тригонометрические функции острого угла прямоугольноготреугольника: , , то искомый отрезок является одним из катетов прямоугольного треугольника (рис. 15). Пример 15. Построение отрезка XY, если известны отрезок с и β – острый угол. Если длина искомого отрезка в процессе анализа задачи представлена выражениями или , то искомый отрезок является частью катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой c и острым углом β. Построение: 1) ΔABC: , , гипотенуза , катеты , ; 2) ΔABF: , , гипотенуза (п. 1); катеты , ; 3) ΔDBF: , , гипотенуза (п. 2); катеты , ; 4) ΔAFC: , , гипотенуза (п. 1); катеты (п. 2), ; 5) ΔEFC: , , гипотенуза (п. 4); Рис. 15. Иллюстрация к примеру 1 β 95 катеты , Отрезки или построены с использованием построения прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу (элементарная задача) и высоты этого треугольника. После решения этой задачи учителем целесообразно организовать анализ построения выражений или и выявление учащимися возможности построения отрезков, длины которых представлены выражениями, содержащими тригонометрические функции: или , при помощи выполнения аналогичных построений. Анализ задач на построение, представленных в УМК, по которому работает учитель, позволяет ему в процессе обучения решению задач на построение расширить основной курс геометрии дополнительным материалом. Например, рассмотреть теорему о возможности построения фигуры с помощью циркуля и линейки, выявить разрешимые и неразрешимые задачи на построение треугольника с помощью циркуля и линейки; включить задачи: об удвоении куба, о трисекции угла, о квадратуре круга; показать построение правильного пятиугольника и т.д.; предложить учащимся самим составить задачи на построение треугольника и решить те из них, условие которых содержит набор элементов искомого треугольника, отличный от набора рассматриваемых в учебнике. Рис. 16. Иллюстрация к примеру 15 β A B C D E F 96 Например, школьниками 9-го класса, обучающимися на углублённом уровне, по требованию «построить треугольник» составлена задача: построить треугольник по радиусам вписанной и вневписанной окружностей и периметру. Покажем поэтапное решение этой задачи. Пример 16. Условие (дано): r – радиус вписанной окружности, r a – радиус вневписанной окружности, 2p – периметр треугольника (p – полупериметр). Требование: построить треугольник, используя указанные элементы. Анализ задачи. Пусть ΔABC построен. В ΔABC вписана окружность (O; r) и вневписана окружность (O a ; r a ). Рассуждения учащихся: 1) окружности (O;r) и (O a ; r a ) вписаны в CAB, M, N и N a , M a – точки касания соответствующих окружностей со сторонами углов; 2) AM a – расстояние от вершины угла до точки касания вневписанной окружности равно периметру треугольника; 3) при построении касательной к окружности (O a ; r a ) (элементарное построение) получим местоположение точки A; 4) построим M a AN a =2 M a AO a , т. к. AO a – биссектриса; AN a – касательная к окружности (O a ; r a ); сторона AB искомого треугольника ABCпринадлежит AN a ; 5) построим окружность (O;r) – вписанную в M a AN a ; 6) построим CB – касательная к окружностям (O;r) и (O a ; r a ) или сторона искомого треугольника. 97 Результат: отыскание действий построения искомого треугольника на основе установленных связей между элементами искомого треугольника и данными задачи. Исследование существования решения задачи и его единственности Построение возможно, если OO a r + r a , 1) так как ΔAO a M a – прямоугольный, AO a – гипотенуза, то (теорема Пифагора); 2) так как ΔAOMи ΔAO a M a подобны (признак подобия прямоугольных треугольников), то ; 3) так как AO a = OO a + AO (свойство отрезка), то Тогда: M N N a A B C Рис. 17. Анализ построения искомого треугольника O a M a r a r O α n m k AM a =p 98 Затем учащиеся задают радиусы вписанной и вневписанной окружностей, периметр треугольника, удовлетворяющие этим условиям, и выполняют построение. П ос тр ое ни е тр еуг ол ьн ик а п о ра ди уса м вп ис ан но й и вн ев пи са нн ой ок ру ж но ст ей и пе ри A O O a M a С m N a n B k Рис. 18. Построение треугольника по радиусам вписанной и вневписанной окружностей и периметру 99 ме тр у Д е й с т в и я п о с т р о е н и я Р е з у л ь т а т п о с т р о е н и я 1 ) С т р о и м о к р у ж н о с т ь 1 ) О к р у ж н о с т ь ( O a ; r a 100 ( O a ; r a ) ) 2 ) С т р о и м m – к а с а т е л ь н а я к о к р у ж н о с 2 ) M a – т о ч к а к а с а н и я 101 т и ( O a ; r a ) 3 ) С т р о и м о к р у ж н о с т ь ( M a ; p ) 3 ) ( M a ; p ) ∩ m = A , A – в е р ш и н а и с 102 к о м о г о т р е у г о л ь н и к а 4 ) С т р о и м n – к а с а т е л ь н а я 4 ) N a – т о ч к а к а с а н и я , N a ≠ 103 к о к р у ж н о с т и ( O a ; r a ) M a 5 ) С т р о и м о к р у ж н о с т ь 5 ) ( O ; r ) – в п и с а н н а я 104 ( O ; r ) в M a A N a 6 ) С т р о и м k – о б щ а я к а с а т е л ь н а я к о к 6 ) k ∩ m = C , k ∩ n = B ; B и C – в е р ш и н ы и 105 р у ж н о с т я м ( O a ; r a ) и ( O ; r ) с к о м о г о т р е у г о л ь н и к а Т ак как A, B, C– вер ши ны ис ко мо го тре уго ль ни 106 ка, то ΔA BC – ис ко мы й, ч то и тре бо вал ось по стр ои ть При решении задачи на построение примера 16 использовались умения выполнения элементарных построений: построение окружности, касательной к окружности, окружности, вписанной в треугольник. В процессе решения задачи учащиеся выдвигали гипотезу о возможности построения треугольника по указанным элементам, подтверждали её при проведении исследования существования решения задачи и его единственности. Подведём итоги. Изучение учебного курса «Геометрия» учебного предмета «Математика» на углублённом уровне ориентировано на расширение и углубление теоретической и практической составляющих содержания курса. Геометрические задачи являются основным средством обучения геометрии. Задачи повышенного и высокого уровня сложности входят во вторую часть КИМов ОГЭ и ЕГЭ, задачи высокого и олимпиадного уровня сложности включены в геометрическую составляющую олимпиад 107 всех уровней. Это подчеркивает значимость обучения решению геометрических задач. В процессе решения геометрических задач выполняется большая умственная деятельность, базирующаяся на методах научного познания, на применении познавательных универсальных учебных действий. Поэтому при изучении геометрии требуется специально организованная учебная деятельность в направлении формирования и развития умений решения геометрических задач. Использование описанных подходов к организации обучения геометрии на углублённом уровне, задач аналогичных рассмотренным будет способствовать формированию и развитию умений решения геометрических задач на более высоком уровне. 2.3. Лабораторные работы по учебному предмету «Математика» 2.3.1. Общие рекомендации по проведению лабораторных работ по математике Традиционно лабораторные работы широко используются в обучении школьным предметам естественнонаучного цикла, например, физики и химии, но в организации школьного математического образовательного процесса этот вид деятельности учащихся приобретает особый акцент в свете обновления содержания математики и достижения планируемых результатов обучения. Поэтому в обучение разным курсам учебного предмета «Математика» на уровне основного и среднего общего образования целесообразно включить лабораторные работы, разработанные под руководством ФГБНУ «Институт стратегии развития образования РАО». 108 Цель лабораторных работ по математике – развитие умений проведения исследования и эксперимента на основе углубления, расширения и применения теоретических знаний. В ходе лабораторных работ, являющихся одним из видов самостоятельной практической работы, у учащихся формируются метапредметные результаты обучения, в частности, познавательные УУД и функциональная математическая грамотность, которые необходимы им на следующем уровне обучения, в познании окружающей природы и успешной личностной реализации в реальной жизни. Лабораторная работа – одна из форм организации учебного процесса. В зависимости от подхода к организации обучения той или темы курса учитель может организовать проведение соответствующей лабораторной работы на разных этапах изучения темы. Например, учитель может создать проблемную ситуацию, если организует выполнение работы перед изучением теоретического материала. Они могут проводиться в процессе изучения темы, являясь составляющей системы средств обучения теме. Лабораторные работы могут завершать изучение темы и исполнять роль средства обобщения и систематизации знаний и умений. Вводная и заключительная части лабораторной работы проводятся фронтально, основная часть работы может проводиться как при фронтальной работе, так индивидуальной или групповой. В рамках заключительной части работы проводится: подведение общих итогов лабораторной работы; обсуждение и оценивание результатов работы всех или отдельных учащихся; рекомендации учащимся в направлении самостоятельного изучения темы, углублённого изучения темы или устранения пробелов в системе знаний. На этапе подготовки к проведению лабораторных работ могут быть разработаны учителем совместно с учащимися критерии оценки результативности выполнения работы. Например, критериями оценки результативности могут быть: степень реализации цели и задач работы; 109 качество выполнения заданий; соответствие результатов работы заданным требованиям; сформированность у учащихся умений и знаний, соответствующих теме работы; личностная ценность информации, содержащейся в работе. Структура лабораторных работ представлена несколькими блоками: мотивационное видео с интерактивным вопросом; методические рекомендации для учителя; теоретический материал; система четырех модулей (работ) взаимосвязанных единой темой и целью лабораторной работы; задания для итогового контроля; литература. Задания каждой работы, составляющих систему, с одной стороны, составляют единое целое с теоретическим и задачным материалом темы, а с другой, расширяют и углубляют её содержание. Отметим, что учитель математики в подходе проведения лабораторных работ в большей степени должен ориентироваться на организацию исследования, постановки проблемной задачи, когда учащийся самостоятельно выдвигает гипотезу и результатом выполнения работы является её подтверждение или опровержение. Приведём примеры некоторых работы учебного предмета «Математика» в 7 классах. |