Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Второе правило Лопиталя.Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки x0, при чем g'(x) ≠ 0, lim f(x) = lim g(x), x → x0. Тогда, если существует lim f'(x)/g'(x), x → x0, то тогда существует lim f(x)/g(x), x → x0 и при чем они равны. Доказательство: Доопределим функции f(x), g(x) в точке х0   f(x), x!=x0, x ∈ Uδ (x0) g(x), x!=x0, x ∈ Uδ (x0) F(x) = G(x) = 0, x = x0 0, x = x0 Тогда, на основании теоремы Коши найдётся такая точка с, с ∈ [x0, x], получим f(x)/g(x) = F(x)/G(x)= = F(x) – F(x0)/G(x) – G(x0) = F'(c)(x – x0)/G'(c)(x – x0) = F'(c)/G'(c) = f'(c)/g'(c), т.к. с произвольная точка [x0, x], то переходя к пределу в последнем равенстве lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) ЧТД Формула Тейлора.Задача – разложить функцию по степеням (х – х0). f(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0)2 + … + cn(x – x0)n , пусть х0 = 0, тогда f(x0)=f(0)=c0 f’(x) = c1+ 2c2(x – x0) + 3c3(x – x0)2 + … + ncn(x – x0)n-1 f’(x0)=f’(0)=c1 f’’(x) = 2c2 + 6c3(x – x0) + … + n(n – 1)cn(x – x0)n-2 f’’(x0)=f’’(0)=2c2 c2=f’’(x0)/2! f’’’(x) =6c3 + … + n(n – 1)(n-2)cn(x – x0)n-3 f’’’(x0)=f’’’(0)=6c3 c3= f’’’(x0)/3! продолжая этот процесс и дифференцируя функцию n раз, получим: cn= f(n)(x0)/n! (1) Полученные результаты подставим в исходное выражение: f(x) = f(x0) + f’(x0) (x – x0) + f’’(x0)/2! (x – x0)2 + f’’’(x0)/3! (x – x0)3 + … + f(n)(x0)/n! (x – x0)n + Rn (2), где Rn – остаточный член, который может выражаться в форме Пеано, Лагранжа, Коши. Коэффициенты cn, выраженные формулой 1 называются коэффициенты функции f(x), а многочлен 2, представляющий собой разложение функции, называется формулой Тейлора для функции f(x). |