Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Вторая теорема Коши.Пусть f(x) непрерывна на [a, b], возьмём произвольные х1 и х2 из области определения данной функции, обозначим значение с, которое находится между f(x1) и f(x2), тогда найдётся такая с ∈ [a, b]: f(c) = с. Доказательство: Возьмём в рассмотрение вспомогательную функцию F(x)=f(x)-c, для определённости рассмотрим возрастающую функцию: ∀ х1, х2 ∈ [a, b], х1 < х2 ⇒ f(x1) < f(x2). Если с находится между f(x1) и f(x2), тогда вспомогательная функция F(x) меняет свой знак на [a, b] или непрерывна на этом отрезке. f(x1) ⩽с ⩽f(x2), F(x1)= f(x1)-c < 0 F(x2)= f(x2)-c > 0 f(x) – непрерывна по условию теоремы, F(x) – непрерывна как разност двух непрерывных функций ⇒ по 1т.Коши ∃ с ∈ [x1, x2] < [a, b]: f(c) – c =0 ⇒ f(c)=c ЧТД ЛеммаПусть xn последовательность со значениями, лежащими на отрезке [a, b], тогда из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой так же лежит на [a, b] Первая теорема Штрасса.Если f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Доказательство (от противного): Допустим, функция не ограничена, например, сверху ∃ xn∈ [a, b]: f(xn)>n, тогда по вышеизложенной лемме можно выделить сходящуюся подпоследовательность xnk → x0, nk→∞, тогда в силу нашего допущения f(xnk)>nk, переходя к пределу f(x0) > ∞, этого быть не может, поскольку f(x) – действительное число и f(x0) < ∞, получили противоречие. ЧТД Вторая теорема Штрасса.Если f(x) непрерывна на [a, b], то она достигает свой верхней и нижней граней на этом отрезке. Доказательство (для верхней грани): Согласно 1ой теореме Штрасса f(x) ограничена сверху, а значит существует некоторый предел S=sup f(x), пользуясь определением верхней и нижней граней можем получить xn ∈ [a, b]: f(xn)> S – 1/n, f(xn) ⩽ S S – 1/n ⩽ f(xn) ⩽ S Очевидно, что если взять некоторую подпоследовательность и воспользоваться леммой получим, что xnk → x0, nk→∞, S – 1/nk < f(xnk) < S, переходя в последнем двойном неравенстве к пределу при nk→∞, получим S⩽ f(x0) ⩽ S, а это доказывает нашу теорему, т.е. f(x0)=S в силу непрерывности функции f(x) и теоремы о двух перпендикулярах, т.е. в точке х0 достигнута верхняя грань. ЧТД Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Е, если ∀ E>0 ∃δ ∀ x,y: |x - y|< δ ⇒ |f(x) – f(y)|<E Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она равномерно непрерывна на этом отрезке. доказательство (от противного): ∃ E>0 ∀ δ = δ(E) ∃ xn, yn: |xn - yn| <δ ⇒ |f(xn) – f(yn)| ⩾E, δ = 1/n ∃ E>0 ∀ δ = 1/n ∃ xn, yn: |xn - yn| <1/n ⇒ |f(xn) – f(yn)| ⩾E !????????????????? которая была изложена на пред. лекции. Выделим подпоследовательность xnk→ x0, nk→∞; выделим подпоследовательность ynk т докажем, что ynk→ x0, nk→∞; получим | ynk – x0| = | ynk – xnk + xnk – x0| ⩽ | ynk – xnk| + |xnk – x0| <1/n + |xnk – x0| → 0, nk→∞ ⇒ ynk→ x0, nk→∞. |f(xn) – f(yn)| ⩾E |f(xn) – f(yn)| =0 |f(xn) – f(yn)| <E – допущение не верно, получили противоречие. ЧТД |