Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 13 из 18

Теорема о производной параметрически-заданной функции. Пример.

Пусть функции x = φ(t) и y = ψ(t) дифференцируемы в точке t₀, a функция φ – удовлетворяет условию теоремы о производной обратной функции, тогда параметрически заданная функция дифференцируема в точке x₀ и равна

f'(x) = ψ'(t₀)/ φ'(t₀) [y'(x)=y'(t)/x'(t)]

Доказательство:

f(x) = ψ(φ^-1(t)), то согласно теореме о производной сложной функции получим:

f'(x₀) = ψ'(φ^-1(x₀))*(φ^-1(x₀))' = {(φ^-1(x₀))' = 1/ φ'(t₀)} = ψ'(φ^-1(x₀))/ φ'(t₀) = ψ'(t₀)/ φ'(t₀) ЧТД

Пример:

x = sin²t

y = cos²t

y'(x) = y'(t)/x'(t) = 2cost(-sint)/2sint(cost) = -1

7. Теорема о производной обратной функции. Пример.

Пусть функция f(x) строго монотонна в окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точка, причем f'(x₀)!=0, тогда обратная функция дифференцируема в точке y₀, причем f'(y₀) = 1/f'(x₀) = φ'(y₀).

Доказательство:

lim Δf/Δx, Δx→0 = f'(x₀) = lim (f(x) – f(x₀))/(x – x₀), x→x₀ = { y=f(x); x= φ(y) } = lim (y – y₀)/(φ(y) – φ(y₀)), y→y₀ =

= lim 1/((φ(y) – φ (y₀)/(y – y₀)), y→y₀ = 1/ lim (φ(y) – φ(y₀)/(y – y₀), y→y₀ = 1/ lim Δφ/Δy, Δy→0 = 1/φ'(y₀).

f'(x₀) = 1/φ'(y₀) ⇒ φ'(y₀) = (f^-1(x₀))' = 1/f'(x₀) ЧТД

Пример:

y = arcsinx; x=siny;

y'(x) = 1/x'(y) = 1/cosy = 1/√(1 – sin²y) = 1/√(1 – x²)

y'(x) = (arcsinx)' = 1/√(1 – x²)