Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 15 из 18

Теорема Роля.

Пусть задана функция, которая на отрезке [a, b] удовлетворяет следующим свойствам:

1. f(a) = f(b)

2. f(x) – дифференцируема на (a, b)

3. f(x) является непрерывной на [a, b]

тогда у данной функции существует стационарная точка x₀∈(a, b): f'(x₀) = 0

Доказательство:

В силу условий 2 и 3 у данной функции согласно 2ой теореме Штрасса найдутся такие точки х₁ и х₂, что

f(x₁) = inf f(x); f(x₂) = sup f(x). Тогда в силу условия 1, т.к. f(a) = f(b) может быть f-тождественно постоянная функция и за точку x₀ может быть взята любая точка ∈(a, b). Если х₁ и х₂ лежат внутри (a, b), то она является экстремальной, т.к. попадает в этот интервал с некоторой своей окрестностью, в этом случае по теореме Ферма она является стационарной. ЧТД

7. Теорема Лагранжа.

Пусть функция дифференцируема в каждой точке (a, b), а так же непрерывна в точках x = a и x = b, тогда ∃ c ∈(a, b): f'(c) = (f(b) – f(a))/b – a

Доказательство:

Введем в рассмотрение (2) F(x) = f(x) - (f(b) – f(a))/b – a*(x – a), (2) удовлетворяет всем условиям теоремы Роля

(+) 1. F(a) = f(a); F(b) = f(a)

(+) 2. F'(x) = f'(x) - (f(b) – f(a))/b – a, x∈(a, b) (3)

(+) 3. F(x) – непрерывная, т.к. представляет собой разность двух непрерывных функций

(3) ⇒ F'(c) = 0 = f'(c) - (f(b) – f(a))/b – a ⇒ f'(c) = (f(b) – f(a))/b – a ЧТД

7. Теорема Коши.

Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в каждой точке (a, b), тогда справедливо равенство

(f(b) – f(a))/(g(b) – g(a)) = f'(c)/g'(c) ∀ c ∈(a, b), g'(c) != 0

Доказательство:

Введем к рассмотрению функцию F(x) = (g(b) – g(a))f(x) – (f(b) – f(a))g(x), эта функция удовлетворяет всем 3 условиям теоремы Роля

(+) 1. F(a) = F(b)

F(a) = g(b)f(a) – g(a)f(a) – f(b)g(a) + f(a)g(a) = g(b)f(a) – f(b)g(a) = F(b)

(+) 2. F'(x) = (g(b) – g(a))f'(x) – (f(b) – f(a))g'(x) (4)

(+) 3. F(x) - непрерывная, т.к. представляет собой разность двух непрерывных функций

⇒ (из теоремы Роля) F'(c) = 0 ∀ c ∈(a, b)

(4) ⇒ (g(b) – g(a))f'(c) – (f(b) – f(a))g'(c) = 0 ⇒ (f(b) – f(a))/(g(b) – g(a)) = f'(c)/g'(c) ЧТД

7. Производные и дифференциалы порядка выше первого.

Производная от производной первого порядка называется второй производной, обозначается f''(x) или d²f/dx². Производная от производной n-1 ого порядка называется производной n ого порядка и обозначается dⁿf/dxⁿ.

Если функция имеет производную любого порядка, то её называют бесконечно дифференцируемой в точке х₀, например f(x) = e^x. Функции у которых в окрестности точки х₀ существует производная непрерывная в точке х₀, называют непрерывно-дифференцируемой в точке х₀, независимо от того, существует ли вторая производная.

Существует перечень формул для нахождения производной n ого порядка у некоторых функций:

1. (e^x)⁽ⁿ⁾= e^x

2. (a^x)⁽ⁿ⁾= a^x lnⁿa

3. sin⁽ⁿ⁾x = sin(x + πn/2)

4. cos⁽ⁿ⁾x = cos(x + πn/2)

5. (x^m)⁽ⁿ⁾ = m(m – 1)… (m – n + 1) x^m-n

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка и обозначается d²f =d(df). Дифференциал от дифференциала n-1 ого порядка называется дифференциалом n ого порядка и обозначается dⁿf = d(d^n-1f).

Дифференциалы высших порядков начиная со 2ого не обладают свойством инвариантности.

1. d²f = d(df) = d(f'(x)dx) = d(df(x)) = f''(x) dx² (x – независимая переменная)

d²x/dx² = f''(x) ⇒ d²f = f''(x)dx²

dⁿf = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

2. d²f = d(df) = d(df(x(t))) = d(f'(x(t))*x'(t)dt) = d(f'(x(t))*dx(t)) = f''(x(t))*x'(t)dx(t)dx(t) + f'(x(t))*d(dx(t)) =

= f''(x(t))x'(t)d²x(t) + f'(x(t))d²x(t) = … сразу показали, что они будут различны