Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 10 из 18

Непрерывные функции (4 определения). Теорема о непрерывности сложных функций.

Существует четыре основных определения непрерывных функций:

1. 
   Функция называется непрерывной в искомой точке х₀, если: 1. существует предел функции, при х стремящемся к х₀
   

2.предел функции равен значению функции в точке х₀, к которому стремиться х

2. 
   (по Коши) Функция называется непрерывной, если ∀ Е> 0 ∃ δ = δ(E) ∀ x ∈ D(f): |x – x₀| <δ ⇒ |f(x) –f(x₀)|
   
3. 
   (по Гейне) Функция называется непрерывной, если ∀ x_n→ x₀, n → ∞, f(x_n) → f(x₀)
   
4. 
   Δx = x – x₀ – приращение аргумента
   

Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀) – приращение функции

Функция называется непрерывной в x₀, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции, при Δx → 0, должно Δy→ 0

7. Точки разрыва и их классификация.

Функция называется разрывной, если не выполняется одно из условий определения 1, а сама точка, в которой нарушается условие непрерывности, называется точкой разрыва. Точки разрыва бывают разного вида.

Классификация точек разрыва:

1. Пусть ∃ lim f(x), x→x₀, но либо f(x₀) не определяется, либо lim f(x) ≠ f(x₀), x→x₀, в этом случае x₀ называется точкой устранимого разрыва.

2. У функции существуют левосторонний и правосторонний пределы, и оба этих предела конечны, но не равны х₀, в этом случае х₀ называют точкой разрыва первого рода (скачок)

3. Если хотя бы один из односторонних пределов равен ∞, то х₀ называют точкой разрыва второго рода (но оба односторонних предела существуют).

7. Первая теорема Коши.

Пусть функция непрерывна на [a, b] и при этом выполняется f(a)*f(b) <0, тогда найдётся такая с ∈ [a, b]: f(c) = 0.

Возможны три случая: 1. f(c) = 0

2. f(c) > 0

3. f(c) < 0

1. В случае, когда f(a)>0, f(b)>0 и [a, b] делится точкой с пополам, если f(c)= 0, значит с – искомая точка

2. Точкой с отрезок [a, b] будет поделен на 2 части [a, c] и [c, b], возьмём, например, отрезок [a, c], который будем обозначать [a₁, b₁], у которого f(a₁) <0, f(b₁) >0, продолжая этот процесс получим либо с, для которой f(c) = 0, либо будет построена последовательность отрезков [a_n, b_n], для которых: 1. b_k – a_k → 0

2. f(a_k) <0

3. f(b_k) >0

Тогда, по теореме о вложенных отрезках, существует единственная точка с ∈ [a_n, b_n], причем a_n→ c  ↑, b_n→ c ↓, по теореме предельных переходов получим f(c) ⩾ 0, а с другой стороны f(c) ⩽ 0 ⇒ f(c) = 0, это возможно только тогда, когда f(c) → 0 ЧТД