Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 8 из 18

Определения предела функции по Коши и по Гейне. Теорема об их эквивалентности.

Определение по Коши:

Функция определена от (а; +∞), число с называется пределом f(x), если ∀E>0 ∃δ∈R, ∀ x∈D(f): |x|>D |f(x) – c|<E

Определение по Гейне:

Функция определена от (а; +∞), число с называется пределом f(x) при х→∞, если ∀ x_n: lim x_n = +∞, lim f(x_n)=c

Определение по Коши:

Число с называется пределом функции в точке х₀, если ∀E>0 ∃δ=δ(Е): ∀ x∈D(f) 0 <|x – x₀| <δ ⇒ |f(x) – c| <E (1)

Определение по Гейне:

Число с называется пределом функции в точке х₀, если ∀x_n со значением D(f) (x_n!=x₀) будет выполняться:

x_n→x₀; f(x_n)→c, n→∞ (2)

Теорема об эквивалентности определений Коши и Гейне:

Число с является пределом f(x) в точке х₀ тогда и только тогда, когда оно является пределом f(x) в точке х₀ по Гейне.

Доказательство:

Пусть с удовлетворяет условию 1, тогда ∀E>0 возьмём x_n!=0 со значением D(f), такую что x_n→x₀ при n→∞, тогда получим окрестность, которая фигурирует в условии 1, из условия 1 ⇒ что f(x) ⊂U_E(c). Допустим, с не удовлетворяет условию 1, возьмём такое δ_n = 1/n и тогда по условию получим x_n→x₀ (|x – x₀| <1/n, n→∞),

|x – x₀| = δ, δ=1/n, получаем при f(x_n) не стремящемся к с из условия (|x – x₀| = δ, δ=1/n) f(x_n) →c, получили противоречие. ЧТД

7. Свойства пределов функции (теоремы аналогичны теоремам о предельных переходах).

1. Т1

Функция имеющая конечный предел в т.х₀, ограниченна в некоторой окрестности этой точки (доказательство см. предел последовательности)

2. Т2

Если существуют пределы lim f(x) = a, lim g(x) = b, x → x₀, то существуют:

lim f(x) ± g(x) = a ± b, x → x₀

lim f(x)*g(x) = lim a*b, x → x₀

lim f(x)/g(x) = lim a/b, x → x₀

3. T3

Если существуют пределы lim f(x) = a, lim g(x) = b и при этом a >b, ∃ U_δ(x₀): f(x) >g(x)

4. T4

Если существуют пределы lim f(x) = a, lim g(x) = b и при этом в U_δ(x₀) f(x) >g(x) ⇒ a >b

5. Т5

Если существуют пределы lim f(x) = a, lim g(x) = а, f(x) ⩽φ(x) ⩽g(x) ⇒ lim φ (x) = a

6. T6

Если f(x) монотонна (для определнности монотонна возрастает и ограничена), то существуют конечные пределы.