Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 4 из 18

Последовательность. Их виды. Грани множества. 

Последовательность – функция натурального аргумента, ее значения обычно обозначают f(n) или x_n.

x_n=n/(n²+ 4): 1/5 , 1/4, 3/13, 1/5 …

При определении последовательности нужно ввести понятие граней заданного множества.

• 
  Если существует наименьшая из всех верхних границ из А, то она называется верхней гранью А и обозначается supA (suprenum)
  
• 
  Если существует наибольшая из всех нижних границ из А, то она называется нижней гранью А и обозначается infA (infinum)
  

В символической форме число S называется верхней гранью, если:

1. 
   ∀ x ∈ A: x ⩽ S
   
2. 
   ∀ E > 0 ∃ x_E > S – E
   

Число I называется нижней гранью, если:

1. 
   ∀ x ∈ A: x ⩾ I
   
2. 
   ∀ E > 0 ∃ x_E < I + E
   

7. Теорема Архимеда

Любая последовательность является неограниченной сверху, если лна принадлежит натуральному ряду

∀ а ∈ R ∃ n ∈ N: n > a (доказательство от противного)

допустим, что ∃ а ∈ R ∀ n ∈ N: n ⩽ a, согласно введенному выше определению верхней и нижней граней и существованию S, будут справедливы: 1. ∀ n ∈ N: N ⩽ S

2. ∀ E>0 ∃ n ∈ N: N_E > S - E

пусть E = 1, n₁>S-1, n₁ +1> S – невозможно, т.к. n₁ +1 – принадлежит натуральному ряду, получили противоречие с нашим допущением. ЧТД

Последовательность Х_n называется ограниченной сверху (снизу), если сверху (снизу) ограничено множество её значений.

Последовательность Х_n называется возрастающей, если ∀ n ∈ N: X_n+1 > X_n (X_n+1 < X_n – убывающей)

Последовательность Х_n называется сходящейся, если ∀ E>0 ∃ а ∈ R: ∀ n ∈ N | X_n – a|<E (a-предел последовательности)

7. Свойства сходящихся последовательностей.

1. 
   x_n →a; ∀ E>0 ∃ N ∀ n>N: | x_n – a|<E
   

a – E < x_n < a + E

d = max {E, |a – x₁|, |a – x₂|, …}

∀ n ∈ N a – d< x_n < a + d;

Последовательность ограничена снизу a – d, а сверху a + d.

2. 
   Последовательность имеет единственный предел
   

Допустим x_n →a, x_n →b, a=b

1. 
   x_n →a: ∀ E>0 ∃ N₁ ∀ n>N₁: | x_n – a|<E/2
   
2. 
   x_n →b: ∀ E>0 ∃ N₁ ∀ n>N₁: | x_n – b|<E/2
   

|a – b|= |a – x_n + x_n –b| ⩽ | x_n – a| + | x_n – b| E/2 = E

|a – b| a – b – фиксированное число. ЧТД

3. 
   Любая подпоследовательность, сходящаяся в последовательности, сходится к тому же пределу
   
4. 
   Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится
   

S = sup x_n, множество значений x_n, тогда согласно определению верхней грани оно удовлетворяет двум

условиям: 1. ∀ n> N: |x_n| ⩽ S

2. ∀ E>0 ∃ N ∀ n ∈ N: |x_n|> S – E

тогда ∀ E>0 ∃ N ∀ n ∈ N: S + E> S ⩾ x_n> S – E ⇒ S + E> x_n> S – E ⇒ x_n сходится

5. 
   Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится (аналогично п4)
   
6. 
   Пусть x_n ограниченная последовательность, α_n – бесконечно малая последовательность, тогда y_n – бесконечно малая, y_n = x_n α_n
   

Доказательство:

Т.к. x_n – ограниченная последовательность ∃ m ∈ R: |x_n| ⩽ m, тогда |y_n|= |x_n α_n| = |x_n|| α_n|⩽ m| α_n|

|y_n| ⩽ m| α_n|, т.к. α_n – бесконечно малая, то ∀ E>0 ∃ N ∀ n>N: | α_n| < E/m

7. 
   Если последовательность x_n →a, y_n →b, то последовательности вида
   

• 
  x_n + y_n → a + b
  
• 
  x_n - y_n → a - b
  
• 
  x_n * y_n → a * b
  
• 
  x_n / y_n → a / b
  

так же сходятся и равны соответственно

Доказательство:

| x_ny_n – ab| = | x_ny_n – x_nb + x_nb – ab|⩽ | x_ny_n – x_nb| + |x_nb – ab| = |x_n||y_n – b| + |b||x_n – a| < { x_n- сходящаяся ⇒ ограничена, |x_n| < c, c = const} < |c||y_n – b| + |b||x_n – a|< { 1. ∀ E>0 ∃ N₁ ∀ n⩾N₁: | x_n – a|<E/2|b|; 2. ∀ E>0 ∃ N₂ ∀ n⩾N₂: | y_n – b|<E/2|c|; ∀ E>0: N₃ = max { N₁; N₂} } < |c|*E/2|c| + |b|*E/2|b| = E

| x_ny_n – ab| ⇒ x_ny_n →ab ЧТД