Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Понятия функции. Свойства функции. Типы функции (инъекция, биекция, сюръекция).Всякое правило (закон), по которому каждому x ∈ A ставится в соответствие y ∈ B, то в этом случае говорят, что задана функция y=f(x) Это правило называется функцией. Если А и В Подмножества числовой прямой, то функция называется числовой А – область определения функции D(f) y – значение функции В – область значений функции E(f) Свойства функций: Ограниченность Монотонность (возрастание, убывание) Периодичность Четность и нечетность Способы задания функций: Аналитический ( с помощью формул y=f(x)) В параметрическом виде (координаты x и y зависят от t): {x=x(t); y=y(t)} В полярных координатах: {x=r cos a; y=r sin a} Типы функций: Сюръекция (наложение) f(A)=B; ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A: y=f(x) (в множестве В нет элементов, которые не были бы образами какого-либо х из А) Инъекция (вложение) или обратимая функция ∀ х1,х2 ∈ А: х1 ≠ х2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) Биекция f одновременно является и сюръекцией, и инъекцией Два множества называют равно мощными, если между ними можно установить хотя бы одну биекцию A = {2, 4, 6, 8 … }, a ∈ А N = {1, 2, 3, 4 … }, n ∈ N a=2n Аксиоматика действительных чисел.Рассмотрим множество действительных чисел, как некоторое множество, наделенное определенными свойствами, которые будем называть аксиомами, т.е. все правила работы с действительными числами будут следовать из этих аксиом. Пусть на множестве А определено правило, которое каждым двум элементам из этого множества ставит в соответствие третий элемент из этого множества, такую операцию называют бинарной на этом множестве А (сложение, умножение, пересечение, объединение) I-ая группа аксиом Пусть на А введена бинарная операция φ: a φ b = b φ a (коммутативность) (a φ b) φ c = a φ (b φ c) (ассоциативность) ∃ e ∈ A: a φ e = a (существование нейтрального элемента, для сложения е=0; для умножения е=1) ∃ a-1 ∈ A: a φ a-1 = e (существование элемента обратного а) В этом случае множество А называют абелевой группой, а операцию φ – групповой операцией. Для сравнения действительных чисел вводят так называемую операцию сравнения (она не относится к бинарным операциям, а относится к бинарным отношениям). Пусть дано множество х, из элементов этого множества построим множество всевозможных пар (a, b), если a ≠ b, то (a, b) и (b, a) – различные. Выделим подмножество Т, которое называется бинарным отношением на х, если (a, b) ∈ Т, то а находится в отношении Т с элементом b (aTb). В зависимости от конфигурации множества Т бинарные отношения могут обладать различными свойствами: аТа: (а, а) ∈ Т (рефлективность) (aTb) ∧ (bTc) ⇒ aTc (транзитивность) (aTb) ∧ (bTc) ⇒ a=b линейность Множество N , на котором введены операции сложения или умножения, а так же линейные сравнения, по правилам написанным выше, называются линейным упорядоченным полем, а его элементы вещественными или действительными числами. Теоремы: О единственности нуля 01;02 01+02=01; 01+02=02 ⇒ 01=02 ЧТД О единственности обратного элемента к данному, относительно операции сложения Допустим, что у элемента а существует два обратных элемента: b, c a+c = 0; a+b = 0 c = (a+b)+c = (a+c)+b = b ⇒ c=b ЧТД Элемент обратный данному относительно операции сложения называется противоположным и обозначается –а a – b = a + (-b) – так вводится вычитание: сложение элемента с противоположным др. Обратным элементом к элементу b называется элемент 1/b, который обозначается b-1 (четвертое свойство первой группы аксиом) a/b = a*1/b Все промежуточные правила (+, -, *, /) хорошо известны из курса математики. В школьном курсе достаточно часто опускают одну очень важную аксиому, которая называется аксиома непрерывности. Аксиома о Дедекиндовом сечении: пусть даны А, В, в каждом найдем a ∈ A, b ∈ B. A⩽B – обозначает, что ∀ a∈A, ∀ b ∈ B : а⩽b А и В – непустые множества А ∪ В = R A⩽B тогда пара числовых множеств А и В называется Дедекиндовым сечением в поле действительных чисел. Для каждого сечения А и В существует элемент с, который называется секущим элементом A⩽ с ⩽B. Поле R называется числовой прямой, если в нем принята какая-либо из аксиом непрерывности (замечание: аксиома о существовании точных дробей, если для А ≠ 0 существует с ⩾А (с ⩽А), то среди всех таких чисел существует наименьшее т наибольшее) |