Множества. Правила и действия над множествами

• Название: Множества. Правила и действия над множествами
• Дата: 17.11.2022
• Размер: 185.66 Kb.
• Имя файла: Ekzamenatsionnye_temy_po_matanu.docx
• Тип: Документы; #795125
• страница: 5 из 18

Теоремы о предельных переходах в неравенствах.

Лемма об отделимости:

U_E (a) – эпсилон окрестность точки а, вокруг точки а есть окрестность с радиусом E

Пусть а, b ∈ R, a! =b, тогда ∃ U_E (a) и U_E (b), которые при пересечении дают пустое множество. Возьмем Е=(b – a)/2, тогда

1. 
   x_n: a – E < x_n < a + E ⇒ x_n
   
2. 
   x_n: b – E < x_n < b + E ⇒ x_n
   

⇒

1. 
   ∀ E>0 ∃ N₁ ∀ n>N₁: x_n < (a + b)/2
   
2. 
   ∀ E>0 ∃ N₂ ∀ n>N₂: y_n < (a + b)/2
   

тогда, соприкасаясь x_n ∈ ∃ U_E (a), y_n ∈ ∃ U_E (b) ⇒ U_E (a) < U_E (b) ⇒ U_E (a) ⋂ U_E (b) = ∅ ЧТД

Теорема 1

Если x_n →a, y_n →b, то начиная с некоторого номера n x_n⩽y_n ⇒ a ⩽ b

Доказательство от противного: пусть a> b, тогда по выше доказанной лемме найдутся такие U_E (a) и U_E (b), что U_E (a) > U_E (b), тогда начиная с некоторого номера n x_n > y_n- противоречие условию теоремы, т.к. x_n⩽y_n ЧТД

Теорема 2

Если x_n →a, y_n →b, a<b, то начиная с некоторого номера n x_n<y_{n (доказательство аналогично 1)}

Теорема 3

О сжимающихся последовательностях (теорема о двух милиционерах): если x_n →a, y_n →b и начиная с некоторого номера n x_n⩽z_n ⩽y_n, тогда z_n→a

Доказательство:

1. 
   x_n→a: ∀ E>0 ∃ N₁ ∀ n⩾N₁: | x_n – a|<E; a – E < x_n < a + E
   
2. 
   y_n→a: ∀ E>0 ∃ N₂ ∀ n⩾N₂: | y_n – a|y_n < a + E
   
3. 
   ∀ E>0: ∃ N₃ = max { N₁; N₂}; A_n⩾ N₃:
   

a - E < x_n⩽z_n ⩽y_n< a + E

a - E < z_n < a + E

z_n→a ЧТД