Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Дифференциал. Свойство инвариантности.f(x) ∈ Uδ (x0), если существует такое число L, что f(x) – f(x0) = L(x – x0) + 0(x – x0) x – x0 = Δx; f(x0 + Δx) – f(x0) = L Δx + 0(Δx) f называется дифференцируемой в точке х0, а L Δx дифференциалом функции при данном Δx. dx = Δx Что бы f(x) была дифференцируема в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы в той точке существовала f'(x). Доказательство: Пусть существует f'(x), тогда lim f(x0 + Δx) – f(x0)/ Δx = f'(x0) f(x0 + Δx) – f(x0)/ Δx = f'(x0) + 0(Δx) f(x0 + Δx) – f(x0) = f'(x0) Δx + 0(Δx) Δx т.е. L = f'(x0) d f(x0) = f'(x0) Δx d f(x0) = f'(x0) dx dx = Δx Доказательство в обратную сторону проводится по той же схеме что и 1 часть теоремы. ЧТД Дифференцируемая функция непрерывна в точке; непрерывная функция не всегда может быть дифференцируема ( f(x)=|x| ) Теорема Ферма.Пусть функция f(x) имеет экстремум и дифференцируема в этой точке, тогда f'(x0) = 0, точка х0 называется точкой минимума(максимума), если для функции f(x) выполняются условия: ∃ Uδ(x0) ∀ х∈ Uδ(x0) f(x0) ⩽ f(x) min [f(x0) ⩾ f(x) max] Доказательство: Для определенности доказательство рассмотрим случай, когда f'(x)>0: f(x) – f(x0) = f'(x0)(x – x0) + 0(x – x0) (1) f(x) – f(x0) =(x – x0) ( f'(x0) + 0(x – x0)/ (x – x0)) (x0 – δ; x0 + δ) ∃ Uδ(x0): |0(x – x0)/ (x – x0)| < f'(x0) [f'(x0) + 0(x – x0)/ (x – x0)] ⩾0 (1) ⇒: x∈(x0 – δ; x0) ⇒ f(x) – f(x0) <0 x∈(x0; x0 + δ) ⇒ f(x) – f(x0) ⩾0 это означает, что на промежутке (x0 – δ; x0 + δ) экстремальных точек нет, ⇒ f'(x)<0 доказывается аналогично. ЧТД Пояснение: в начале теоремы мы предположили, что f'(x0) != 0, для определенности взяли f'(x0) > 0 и пришли к противоречию. Геометрический смысл: в точке экстремума касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. |