Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Формула Лейбница.(uv)(n) = ∑ Cnk * u(k) * v(n-k) (k от 0 до n) Доказательство (аналогично биному): 1. (uv)(1) = ∑ C1k * u(k) * v(n-k) (k от 0 до 1) = C10 * u(0) * v(1) + C11 * u(1) * v(0) = uv' + u'v 2. (uv)(n) = ∑ Cnk * u(k) * v(n-k) (k от 0 до n) 3. (uv)(n+1) = (∑ Cnk * u(k) * v(n-k))' (k от 0 до n) = (uv)(n) = ∑ Cnk * u(k+1) * v(n-k) (k от 0 до n) + + ∑ Cnk * u(k) * v(n-k+1) (k от 0 до n) = … (см доказательство п3 бинома Ньютона) = ∑ Cn+1k * u(k) * v(n-k+1) (k от 0 до n+1) ЧТД Первое правило Лопиталя, следствия 1,2.Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в точке x0, причем для этих функций будут выполняться условия f(x0) = g(x0) = 0 и g'(x0)!=0; тогда имеет место следующее правило lim f(x)/g(x), x → x0 = f'(x0)/g'(x0) Доказательство: lim f(x)/g(x), x → x0 = lim (f(x) – f(x0))/(g(x) – g(x0)), x → x0 = lim (f'(x0)(x – x0) + 01(x – x0))/ (g'(x0)(x – x0) + 02(x – x0)), x → x0 = lim ((x – x0)( f'(x0) + 01(x – x0)/(x – x0))/ ((x – x0)( g'(x0) + 02(x – x0)/(x – x0)), x → x0 = f'(x0)/g'(x0) ЧТД Следствие 1: Пусть функции f(x), g(x) определены на интервале (а;+ ∞), причём для этих функций будут справедливы следующие условия g'(x)!=0, lim f(x) = lim g(x) = 0, x→+∞. Если существует lim f'(x)/g'(x), x→∞, то существует lim f(x)/g(x), x→∞ и они равны. Следствие 2: Пусть функции f(x), g(x) дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки х0, причем lim f(x0), x→ x0 =lim g(x0), x→ x0 = ∞ и g'(x0)!=0. Если существует lim f'(x)/g'(x), x→ x0, то существует lim f(x)/g(x), x→ x0 и причем они равны. Замечание: таким образом правило Лопиталя можно применять только для пределов неопределенность 0/0 и ∞/∞, для других неопределенностей правило Лопиталя не действует. |