Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Непрерывность монотонной функции.Доказать непрерывность тригонометрических функций не сложно: Δx→0; Δy→ 0; Δy = y(x0 + Δx) – y(x0) = |sin(x0 + Δx) - sin (x0)| = |2sin(Δx/2)cos((2x0+ Δx)/2)| ⩽ 2 Δx/2 = Δx если Δx→0 получим, что Δy→ 0 ЧТД ??????? сложность заключается в том, что в школьном курсе нет четкого определения показательной функции. Если х – иррациальное число, то оно может вводится как предел последовательности рациональных чисел x = lim xn, а возводить в рациональную степень мы умеем, поэтому: 1. нужно доказать, что предел существует 2. он не зависит от выбора последовательности сходящейся к х Определение производной. Геометрический смысл.1. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последнее стремиться к 0, то этот предел называется производно функции y = f(x), в точке (x0, y0). 2. При нахождении углового коэффициента предельное положение секущей даёт нам угловой коэффициент касательной в точке (x0, y0), где k вычисляется по формуле k= f'(x0) 3. f'(x0) существует тогда и только тогда, когда в этой точке существует касательная к графику функции и эта касательная вычисляется по формуле y = f(x) + f'(x0)(x – x0) 4. Если существуют lim Δf/ Δx = f'(x0), Δx →0-0 и lim Δf/ Δx = f'(x0), Δx →0+0, то они называются соответственно левосторонней и правосторонней производной в точке (x0, y0). Геометрический смысл: f'(x0) – есть угловой коэффициент касательной или является tg угла наклона касательной в точке (x0, y0). Теорема о производной сложной функции. Примеры.F(x) = f(g(x)) Путь g определена в Uδ (x0) и g(x0) = y0, f определена в UE(y0), пусть F(x) = f(g(x)) представляет собой сложную функцию, причем g(x) дифференцируема в точке x0, a f(x) дифференцируема в точке y0, тогда сложная функция дифференцируема в точке x0, причем F'(x0) = f'(y0)*y'(x0). Доказательство: F'(x) = lim ΔF/Δx, Δx→0 = lim (f(g(x0 + Δx)) – f(g(x0)))/Δx, Δx→0 = = lim (f(g(x0 + Δx)) – f(g(x0)))/(g(x0 + Δx)) – (g(x0))*(g(x0 + Δx)) – (g(x0)) /Δx, Δx→0 = lim (f(y0 + Δy)) – (f(y0)) /Δy, Δy→0* *lim (g(x0 + Δx)) – (g(x0)) /Δx, Δx→0 = f'(y0)*g'(x0) Пример: y = sin2(ln(1/x))y'=2sin(ln(1/x))*cos(ln(1/x))*x*(-1/x2) = sin(2ln(1/x))*(-1/x) |