Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
|
1. Множества. Правила и действия над множествами. 2. Теоретико-множественные операции. Примеры. 3. Принцип мат индукции. Примеры 4. Бином Ньютона. 5. Понятия функции. Свойства функции. Типы функции (инъекция, биекция, сюръекция). 6. Аксиоматика действительных чисел. 7. Последовательность. Их виды. Грани множества. 8. Теорема Архимеда 9. Свойства сходящихся последовательностей. 10. Теоремы о предельных переходах в неравенствах. 11. Теорема о вложенных отрезках 12. Теорема Больцано-Вейерштрасса 13. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши. 14. Число Неппера. 15. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Теорема об их эквивалентности. 16. Свойства функций (теоремы аналогичны теоремам о предельных переходах). 17. Сравнение бесконечно малых. Примеры. 18. Первый замечательный предел. 19. Второй замечательный предел. 20. Непрерывные функции (4 определения). Теорема о непрерывности сложных функций. 21. Точки разрыва и их классификация. 22. Первая теорема Коши. 23. Вторая теорема Коши. 24. Первая теорема Штрасса. 25. Вторая теорема Штрасса. 26. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. 27. Непрерывность монотонной функции. 28. Определение производной. Геометрический смысл. 29. Теорема о производной сложной функции. Примеры. 30. Теорема о производной параметрически заданной функции. Примеры. 31. Теорема о производной обратной функции. Примеры. 32. Дифференциал. Свойства инвариантности. 33. Теорема Ферма. 34. Теорема Роля. 35. Теорема Лагранжа. 36. Теорема Коши. 37. Производные и дифференциалы порядка выше первого. 38. Формула Лейбница. 39. Первое правило Лопиталя. Следствие 1, 2. 40. Второе правило Лопиталя. 41. Формула Тейлора. 42. Теорема об остатке формулы Тейлора в форме Пиано. 43. Теоремы о достаточных условиях строгого экстремума. 44. Теорема о достаточных условиях точки перегиба. 45. Схема исследования графика функции. Множества. Правила и действия над мн.Совокупность явлений и процессов, обладающих определенными свойствами называются множеством (A, B, C, D … ). То, из чего состоит множество, называется элементом множества ( обозначается через малые латинские буквы ) A={a, b, c…} B={1, 2, 3…} Множество, в котором нет элементов называется пустым и обозначается ∅. Для сокращения записи в мат. анализе применяют логические символы (кванторы). ∃ - существует ∀ - для любого ∈ - принадлежит ∉ - не принадлежит ⊂ - квантор включения : - такое что ⇒ - следование - эквивалентность В математических рассуждениях часто применяют союзы «И», «ИЛИ», вводят так же обозначения, которые заменяют эти союзы ∧ - и ∨ - или Действия над множествами ∀ А: ∅ ⊂ А Предположим противное, пустое множество не лежит в А. Эта запись обозначает, что в пустом множестве есть элементы, не принадлежащие А, чего быть не может, противоречие. ЧТД ∀ А: А ⊂ А Пусть x ∈ A ⇒ x ∈ A ЧТД (A⊂B) ∧(B⊂D) ⇒ A⊂D Пусть {x ∈ A, A⊂B} ⇒ x ∈ B, {x ∈ B, B⊂D} ⇒ x ∈ D, x ∈ A⇒ x ∈ D, A⊂D ЧТД ∀ A, B: A∨B=B∨A A∧B=B∧A x ∈ (A∨B) ⇒ {(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ⇒ {(x ∈ B) ∨(x ∈ A)} ⇒ x ∈ (B∨A) ЧТД ∀ A, B, D: (A∨B) ∨ D = A ∨ (B∨D) x ∈ ((A∨B) ∨ D) ⇒ {(x ∈ (A∨B)) ∨ (x ∈ D)} ⇒ {(x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ D)} ⇒ {(x ∈ A) ∨ (x ∈ (B∨D))} ⇒ ⇒ x ∈ (A ∨ (B∨D) ЧТД ∀ A, B, D: A ∧ (B∨D)=(A∧B) ∨ (A∧D) x ∈ (A ∧ (B∨D)) ⇒ {(x ∈ A) ∧ (x ∈ (B∨D))} ⇒{(( x ∈ A) ∧ (x ∈ B)) ∨ (( x ∈ A) ∧ (x ∈ D))} ⇒ x ∈ (A∧B) ∨ (A∧D) ЧТД ∀ А, B ( А ⊂ x, B ⊂ x): C(A∧B) = CA∨CB x ∈ (C(A∧B)) ⇒ x ∉ (A∧B) ⇒ {(x ∈ CA) ∨ (x ∈ CB)} ⇒ x ∈ (CA∨CB) ЧТД ∀ А, B ( А ⊂ x, B ⊂ x): A/B = A∧CB x ∈ A/B ⇒ {(x ∈ A) ∨ (x ∉ B)} ⇒ {(x ∈ A) ∨ (x ∈ CB)} ⇒ x ∈ (A∧CB) ЧТД |