Множества. Правила и действия над множествами
 Скачать 185.66 Kb.
|
Теорема о вложенных отрезках(Принцип Кантора) Пусть дана последовательность числовых множеств An: An+1 Теорема: Любая система An, такая что An+1 Доказательство: An+1 Последовательность an – возрастающая, ограничена снизу некоторым числом b1, последовательность bn – убывающая, ограничена снизу числом a1; тогда по теореме о достаточных условиях существуют пределы lim an = а, n→∞, lim bn = b, n→∞, т.к. an Теорема Больцано-ВейерштрассаУ любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность. Доказательство: Пусть xn- ограниченная последовательность, то есть xn ∈ [a, b]. Разделим отрезок [a, b] пополам некоторой точкой с, получится два отрезка [a, с] и [с, b], одно из этих множеств бесконечно, выберем именно то множество, которое бесконечно, любое из натуральных чисел этого множества обозначим n1, а соответствующий этому множеству отрезок обозначим [a1, b1], то есть xn1 ∈ [a1, b1], [a1, b1] снова делим пополам, xn2 ∈ [a2, b2], продолжаем … xnк ∈ [aк, bк], заметим, что последовательность aк bк является вложенной (убывающей), при чем bк - aк= (b – a)/2k→0. По теореме о вложенных отрезках получим, что xnк ∈ [aк, bк] и существует некоторая точка с, которая будет так же принадлежать всем этим отрезкам с ∈ [aк, bк], |xnk – c| →0 и получим, что xnk – искомая подпоследовательность, сходящаяся в точке с. ЧТД |