Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 18 из 37

Пример 2.2.11. Проведено тестирование двух групп исследуемых в показате- лях становой динамометрии. Определить достоверность различий методом Вил- коксона в полученных результатах, если данные выборок таковы:

^xi^{, кГ 140; 140; 130; 115; 120; 105; 125; 125; 140; 120 (n}x<sup>= 10).

y</sup>i^{, кГ}

^{145; 125; 125; 105; 120; 125; 105; 130; 143; 140 (n}y^{= 10).}

Решение.

1. 
   ^{Производим расчет рангов и значений медиан (Ме}х^иМеу^{),проранжировав} данные выборок в порядке возрастания:
   

^xi ^{105; 115; 120; 120; 124; 126; 140; 140; 140; 140}

ранги: 1 2 3,5 3,5 5 6 8,5 8,5 8,5 8,5

^yi ^{105; 105; 120; 125; 125; 125; 130; 140; 143; 145}

ранги: 1,5 1,5 3 5 5 5 7 8 9 10

Тогда R_Me = ¹⁰⁺¹ = 5,5; R_Me = ¹⁰⁺¹ = 5,5;

x ₂ y ₂

Me_x = 125; ^{Mey = 125.}

2. 
   ^{Рабочая гипотеза: т.к. Ме}х ^{= Ме}у ^{= 125 кг, то предположим, что по показа- телям становой динамометрии группы различий не имеют (Н}0^{: Ме}х ^{= Ме}у^{). Выби-} раем уровень значимости  = 0,05.
   
3. 
   ^{Объединяем обе выборки в одну, объем которой будет n = n}х ^{+ n}у ^{= 20. Ран-} жируем объединенную выборку, располагая данные в порядке возрастания, и за- носим в рабочую таблицу, отмечая данные, относящиеся ко второй выборке.
   

1	2	3	1	2	3
№ п/п	xi, yi	R	№ п/п	xi, yi	R
1	105	2	11	125	10
2	105	2	12	126	12
3	105	2	13	130	13
4	115	4	14	140	16
5	120	6	15	140	16
6	120	6	16	140	16
7	120	6	17	140	16
8	124	8	18	140	16
9	125	10	19	143	19
10	125	10	20	145	20

4. 
   ^{Находим ранги R}i^{объединенной выборки. Отмечаем ранги, относящиеся ко} второй выборке.
   
5. 
   Рассчитать суммы рангов выборок Xи Y, учитывая, что общая сумма рангов рассчитывается по формуле (9.9):
   

R = R

_{+R =} n ⋅ (n + 1) ₌ 20 ⋅ 21 _{= 210;}

^{x y} 2 2

^Rx^{= 108; R}y^{= 102.}

6. 
   ^{Меньшую сумму рангов (R}y^{) принимаем в качестве расчетного значения W-}
   

^{критерия Вилкоксона.: W}ф^=Ry^{= 102.}

7. 
   Из таблицы приложения 4 находим критическое значение W-критерия Вилкок- ^{сона при уровне значимости  = 0,05 и при объемах выборки n}1 ^{= 10 т n}2 ^{= 10 (в при- лож.4 n}1^{и n}2^{– меньший и больший объемы выборок показателей Xи Y): W}st^{= 78.}
   

^{Вывод: т.к. W}ф^{= 102  W}st^{= 78 для n}1 ^{= 10 и n}2 ^{= 10 при  = 5%, то у двух групп} исследуемых наблюдаются достоверные различия в показателях становой дина- мометрии с уверенностью  = 95%, несмотря на то что выявлено равенство в зна- чениях медиан. Значения показателей становой динамометрии выше в группе Y, чем в группе X.
Как видно из примеров, применение критерия Вилкоксона основано на очень простых вычислениях сумм рангов. Это характерно для всех ран- говых критериев. В то же время эффективность этого критерия довольно высока. Если он применяется для сравнения выборок из нормальных ге- неральных совокупностей, то при неограниченном увеличении объема выборок эффективность его равна 0,95. Это означает, что при n = 1000 критерий Вилкоксона имеет такую же мощность (т. е. с такой же вероят- ностью правильно обнаруживает различие), как и оптимальный для этого случая t-критерий при n= 950. Если же распределения несимметричны, то эффективность критерия Вилкоксона может быть и значительно больше, чем t-критерия.

В тех случаях, когда сравниваемые выборки коррелированы друг с другом, т. е. представлены рядами сопряженных попарно вариант, для оценки достоверности различий в предположении нормальности распре- деления разностей результатов измерений используется t-критерий для связанных выборок. Если же предположение о нормальности не делается, то наиболее часто в таких случаях применяется непараметрический кри- терий W-критерийВилкоксонадлясвязанныхвыборок, являющийся непа- раметрическим аналогом упомянутого t-критерия.

Нулевая гипотеза Н₀ в данном случае – это утверждение о том, что рас- пределение разностей d_i=х_i–у_iсвязанных пар наблюдений х_iи у_iявляется симметричным относительно нуля. Вид распределения при этом не имеет значения. Это означает, что медиана распределения разностей (Ме_d) и среднее значение (_d), в том случае, если оно может быть определено, равны нулю, т.е. Н₀ :Ме_d= 0.

Альтернатива H₁ :Ме_d 0 в двустороннем случае, когда допускается как положительный, так и отрицательный эффект обработки. Можно сформулировать и одностороннюю альтернативу, например, Н₁ : Ме_d> 0 Методика использования критерия Вилкоксона сводится к следую- щему. Сначала находятся разности между парными вариантами сопря- женных рядов (d_i); при этом учитываются знаки разностей. Затем эти раз- ности (по абсолютным величинам) ранжируют и определяют их ранги

(R_i). Ранги суммируются отдельно с положительными и отрицательными знаками. Причем, если разность между парными вариантами равна нулю, она в расчет не принимается, т. е. исключается, и число наблюдений (n) соответственно уменьшается.

Меньшая сумма рангов, независимо от знака, принимается в качестве расчетного значения критерия Вилкоксона (W_ф) и сравнивается с крити- ческим, указанным в таблице (прилож. 4) для уровня значимости  и числа парных наблюдений n, которое не должно быть меньше 6. Если W_ф

< W_st, т. е. табличное (стандартное) значение критерия W превышает его фактическое значение (меньшую сумму рангов), это указывает на досто- верность наблюдаемых различий. В противном случае, если W_ф W_st, ну- левая гипотеза сохраняется и различия, наблюдаемые между рядами со- пряженных вариант, признаются статистически недостоверными.

Ниже приводятся примеры использования критерия Вилкоксона.

Пример 2.2.12. В группе из 10 легкоатлетов на двух этапах годичного цикла тренировки произведена регистрация результатов в беге на 500 м. Определить до- стоверность различий методом Вилкоксона в полученных результатах, если дан- ные выборок таковы:

^{Первый этап: x}i<sup>,с 77,1; 76,8; 77,8; 80,0; 79,4; 75,9; 78,4; 76,6; 78,1; 78,9.

Второй этап: y</sup>i^{, с 77,0; 76,2; 78,0; 79,2; 79,4; 75,4; 78,0; 76,7; 77,9; 78,2.}

Решение.

1. 
   Полученные данные заносим в рабочую таблицу и рассчитываем разности показателей первого и второго тестирования.
   

№ п/п	хi	yi	di= xi–yi	Ранги (Rdi)
1	77,1	77,0	0,1	3(+)
2	76,8	76,2	0,6	7(+)
3	77,8	78,0	-0,2	2(–)
4	80,0	79,2	0,8	9(+)
5	79,4	79,4	0
6	75,9	75,4	0,5	6(+)
7	78,4	78,0	0,4	5(+)
8	76,6	76,7	-0,1	1(–)
9	78,1	77,9	0,2	4(+)
10	78,9	78,2	0,7	8(+)

2. 
   ^{Производим расчет разностей d}i ^{= x}i ^{– y}i^{, вычисляем значение медианы раз- ностей (Ме}d^{) и выдвигаем рабочую гипотезу.}
   

^{Рабочая гипотеза: т.к. Ме}d ^{= 0,4  0, то предположим, что результаты в беге} на 500 м на втором этапе у исследуемой группы выше, чем на первом.

3. 
   Ранжируем разности показателей по абсолютным величинам, отбросив пары с нулевыми разностями (объем выборки теперь n = 10 –1 = 9). Отмечаем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей.
   
4. 
   Рассчитываем суммы рангов отрицательных и положительных разностей R(–) и R(+),учитывая, что общая сумма рангов разностей рассчитывается по фор- муле (2.2.9):
   

R = R(—) + R(+) = ^{n ⋅ (n + 1)} = ^{9 ⋅ 10} = 45;

2 2

R(-)= 3; R(+)= 42.

5. 
   Меньшую сумму рангов R(–) принимаем в качестве значения W-критерия ^(Wф ^{= 3), сравниваем с табличным значением для n = 10 при}  ^{= 1% (прилож. 4) и} сделаем вывод.
   

^{Вывод:т.к. W}ф^{= 3  W}st^{= 4 для n= 10 при  = 1%, то с уверенностью  = 99%} можно говорить о том, что результаты в беге на 500 м у исследуемой группы до- стоверно выше на втором этапе тренировки, чем на первом.

Пример 2.2.13. В группе из 11 исследуемых дважды произведено измерение показателей пульса покоя. Определить достоверность различий методом Вилкок- сона в полученных результатах, если данные выборок таковы:

^{1-е тестирование: x}i<sup>,уд/мин 72; 64; 72; 65; 66; 67; 60; 56; 60; 62; 63.

2-е тестирование: y</sup>i^{,уд/мин 74; 64; 67; 64; 62; 60; 67; 60; 60; 60; 65.}

Решение.

1. 
   Полученные данные заносим в рабочую таблицу и рассчитываем разности показателей первого и второго тестирования.
   

№ п/п	хi	yi	di= xi–yi	Ранги (Rdi)
1	72	74	-2	3(–)
2	64	64	0
3	72	67	5	7(+)
4	65	64	1	1(+)
5	66	62	4	5,5(+)
6	67	60	7	8,5(+)
7	60	67	-7	8,5(–)
8	56	60	-4	5,5(–)
9	60	60	0
10	62	60	2	3(+)
11	63	65	-2	3(–)

2. 
   ^{Производим расчет разностей d}i ^{= x}i ^{– y}i^{, вычисляем значение медианы раз- ностей (Ме}d^{) и выдвигаем рабочую гипотезу.}
   

^{Рабочаягипотеза:т.к. Ме}d^{= 1  0, то предположим, что в группе наблюдается} различия в показателях пульса покоя при первом и втором тестировании.

3. 
   Ранжируем разности показателей по абсолютным величинам, отбросив пары с нулевыми разностями (объем выборки теперь n = 11 –2 = 9). Отмечаем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей.
   
4. 
   Рассчитываем суммы рангов отрицательных и положительных разностей R(–) и R(+),учитывая, что общая сумма рангов разностей рассчитывается по фор- муле (2.2.8):
   

R = R(—) + R(+) = ^{n ⋅ (n + 1)} = ^{9 ⋅ 10} = 45;

2 2

R(–)= 20; R(+)= 25.

5. 
   Меньшую сумму рангов R(–) принимаем в качестве значения W-критерия ^(Wф ^{= 20), сравниваем с табличным значением для n = 11 при}  ^{= 5% (прилож. 4)} и сделаем вывод.
   

^{Вывод: т.к. W}ф ^{= 20 > W}st ^{= 12 для n = 11 при  = 5%, то с уверенностью  =} 95% можно говорить о том, что в группе данные первого и второго тестирования показателей пульса покоя не имеют достоверных различий.