Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 17 из 37

Пример 2.2.9. Две группы школьников выполняют штрафные броски по бас- кетбольному кольцу, учитывается число попаданий из 20 бросков. Результаты та- ковы:

^{1 группа – 7, 10, 14, 15, 12, 16, 12 x̄1 = 12,3 (n}1<sup>= 7);

2 группа – 11, 12, 16, 13, 18, 15 x̄2 = 14,2 (n</sup>2^{= 6).}

Разность средних величин составляет 1,9. Необходимо выяснить, достоверна ли она, то есть, достоверны ли различия между выборками.

Решение.

1. 
   Результаты двух выборок, объединив в один ряд, проранжируем, подчерк- нув данные первой группы:
   

Показатели: 7 10 11 12 12 12 13 14 15 15 16 16 18.

Ранги: 1 2 3 5 5 5 7 8 9,5 9,5 11,5 11,5 13

2. 
   ^{Подсчитываем суммы рангов выборок. Для первой групп она равна Т}1 ^{= 42, а для второй – Т}2 ^{= 49. Общая сумма рангов, рассчитанная по формуле (2.2.8),} равна 13 (13+1)/2 = 91
   
3. 
   ^{Меньшую сумму рангов (Т}ф^{= 42) сравним с табличным значение при 5%}
   

^{уровне значимости для n}1 ^{= 7 и n}2 ^{= 6. Табличное значение при этом равно 27 (Т}st

= 27). Сделаем вывод.

^{Вывод: т. к. Т}ф ^{> Т}st^{, и нулевую гипотезу о том, что во второй группе резуль-} таты бросков лучше, отвергать нельзя. То есть различия в результатах штрафных бросков между данными двух групп достоверны по 5% уровню значимости, или с уверенностью в 95% можно говорить о том, что более результативны игроки вто- рой группы.
КритерийВилкоксона(W-критерий).

Критерий Вилкоксона применяется для сравнения независимых вы- борок, а также и сопряженных пар.

При установлении достоверности различий между данными незави-симых выборок применение W-критерия Вилкоксона основано на един- ственном предположении: выборки получены из однотипных непрерыв-

ных распределений. При этом вид распределения генеральных совокуп- ностей X и Y никак не оговаривается. Допущение о непрерывности рас- пределений может быть принято, когда исследуемый признак имеет боль- шое число возможных градаций.

Если выдвигается утверждение о том, что функции распределения обеих генеральных совокупностей одинаковы F(х)=F(у), то обе выборки получены из одной и той же генеральной совокупности, и эффект обра- ботки отсутствует.

Поскольку функции распределения F(х) и F(у) равны, то, следова- тельно, равны и характеристики положения этих распределений (среднее значение и медиана). Поэтому если эффект оценивается по различию средних арифметических двух выборок, то нулевую гипотезу можно было бы записать в виде Н₀ :_x=_y. В этом случае критерий Вилкоксона явля- ется непараметрическим аналогом t-критерия для независимых выборок. Но если эмпирическое распределение получается сильно асимметрич- ным, то среднее арифметическое теряет свою практическую ценность (оно плохо отражает среднее значение признака), и в этих случаях более подходящей характеристикой положения является медиана Ме.

Однимизценныхсвойствранговыхкритериевявляетсяито,чтоонимогутприменятьсякданным,выраженнымвшкалепорядковилившкаленаименований. Для таких данных вычисление среднего арифметического не имеет смысла, а в качестве характеристики положения также исполь- зуется Ме.Поэтому гипотезу Н₀ для непараметрических критериев обычно записывают в виде Н₀ : Ме_х = Ме_у. Эта запись относится к медиа- нам генеральных совокупностей, хотя здесь используется тот же символ Ме, что и для выборочной медианы. В частном случае, когда распределе- ние симметричное (нормальное), эта запись эквивалентна Н₀:_x=_y, так как для симметричных распределений среднее значение и Ме совпадают. Альтернатива – Н₁ : Ме_x Ме_у(это двусторонняя альтернатива). Ее, как обычно, применяют тогда, когда нет уверенности в знаке ожидаемого различия (допускается как положительный, так и отрицательный эффект обработки). Если нужно доказать, что, результаты в экспериментальной группе выше, чем в контрольной, то можно сформулировать и односто-

роннюю альтернативу, например, Н₁ : Мe_у>Мe_x,

Если учесть, что сравниваемые выборки получены из однотипных не- прерывных распределений, то последовательность применение W-крите- рия Вилкоксона будет следующей. Данные двух выборок объединят в одну и ранжируют в порядке возрастания. Отдельно рассчитывают суммы рангов первой и второй выборок (R_xи R_у). Для контроля правильности подсчета сумм рангов выборок рассчитывается общая сумма рангов по формуле:


2
R = R_x + R_y = ^n⋅(n+1), (2.2.9)

где n – объем объединенной выборки, равный n_x + n_y; R_хи R_у– суммы рангов выборок Хи Y.

Далее меньшую из сумм рангов (R_xили R_у) принимают в качестве эмпи- рического значения критерия (W_ф) и сравниваю с критическим значением

(W_st) критерия Вилкоксона (прилож. 4) для уровня значимости  и при объ- емов выборок n₁ и n₂. Если W_ф> W_stнулевая гипотеза о принадлежности выборок к однотипным непрерывным распределениям отбрасывается, т. е. различие считается статистически значимым на уровне значимости . В противном случае, если W_ф W_st, различие статистически незначимо.

Рассмотрим применение W-критерия Вилкоксона это на конкретном примере.

Пример 2.2.10. В двух групп исследуемых произведен расчет показателей ин- декса Руфье. Необходимо определить наблюдаются ли различия в полученных ре- зультатах, если данные выборок таковы:

^xi^{, усл.ед. 18,3; 10,8; 7,4; 7,8; 13,2; 6,4; 15,4; 5,4; 7,1 (n}x<sup>= 9).

y</sup>i^{, усл.ед. 8,8; 8,8; 2,8; 14,8; 14,2; 17,1; 7,9; 7,8; 11,9; 15,3 (n}y^{= 10).}

Решение.

1. 
   ^{Производим расчет рангов и значений медиан (Ме}х^иМеу^{),проранжировав} данные выборок в порядке возрастания.
   

^xi ^{5,4; 6,4; 7,1; 7,4; 7,8; 10,8; 13,2; 15,4; 18,3}

ранги: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

^yi ^{2,8; 7,8; 7,9; 8,8; 8,9; 11,9; 14,2; 14,8; 15,3; 17,1}

ранги: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Тогда R_Me = ⁹⁺¹ = 5; R_Me = ¹⁰⁺¹ = 5,5;

x ₂ y ₂

^{Mex = 7,8;} Me<sub>y

=</sub> 8,9 + 11,9 _{= 10,4.}

2

2. 
   ^{Рабочая гипотеза: т.к. Ме}х ^{= 7,8  Ме}у ^{= 10,4, то предположим, что полу- ченные показатели индекса Руфье в группе X выше, чем группе Y (Н}0^{: Ме}х ^{< Ме}у^). Выбираем уровень значимости  = 0,05.
   
3. 
   ^{Объединяем обе выборки в одну, объем которой будет n = n}х ^{+ n}у ^{= 19. Ран-} жируем объединенную выборку, располагая данные в порядке возрастания, и за- носим в рабочую таблицу. При этом отмечаем данные, относящиеся к одной из выборок (все равно какой), например второй.
   

1	2	3	1	2	3
№ п/п	xi, yi	R	№ п/п	xi, yi	R
1	2,8	1	11	10,8	11
2	5,4	2	12	11,9	12
3	6,4	3	13	13,2	13
4	7,1	4	14	14,2	14
5	7,4	5	15	14,8	15
6	7,8	6,5	16	15,3	16
7	7,8	6,5	17	15,4	17
8	7,9	8	18	17,1	18
9 10	8,8 8,9	9 10	19	18,3	19

4. 
   ^{Находим ранги R}i^{объединенной выборки. Отмечаем ранги, относящиеся ко} второй выборке, подчеркиванием.
   

5. 
   Производим расчет сумм рангов выборок Xи Y, учитывая, что общая сумма рангов рассчитывается по формуле (2.2.9):
   

R = R

_{+R =} n ⋅ (n + 1) ₌ 19 ⋅ 20 _{= 190;}

^{x y} 2 2

^Rx^{= 80,5; R}y^{= 109,5.}

6. 
   ^{Меньшую сумму рангов (R}х^{) принимаем в качестве расчетного значения W-}
   

^{критерия Вилкоксона.: W}ф^=Rх^{= 80,5.}

7. 
   Из таблицы приложения 4 находим критическое значение W-критерия Вил- ^{коксона при уровне значимости  = 0,05 и при объемах выборки n}1^{= 9 т n}2^{= 10 (в прилож.4 n}1 ^{и n}2 ^{– меньший и больший объемы выборок показателей х и у), для} которых Wst = 65.
   

^{Вывод: т.к. W}ф^{= 80,5 > W}st^{= 65 для n}1 ^{= 9 и n}2 ^{= 10 при  = 5%, следовательно,} различия в показателях индекса Руфье у двух групп исследуемых достоверно зна- чимы по первому порогу доверительной вероятности  = 95%, т.е. данный показа- тель выше в группе Х, чем в группе Y.