Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 16 из 37

Пример 2.2.7. Проведено измерение результатов в беге на 30 м у двух групп исследуемых. Определить с помощью метода Фишера, являются ли полученные показатели выборками из одной генеральной совокупно, если данные таковы:

^xi^{, с 6,4; 6,6; 6,2; 6,1; 6,5; 6,3; 6,0; 6,2; 6,4; 6,5; 6,3; 7,4; 5,9; 6,8 (n}x<sup>= 14);

y</sup>i^{, с 6,1; 5,8; 5,9; 6,0; 5,9; 5,7; 5,9; 6,0; 6,1; 5,9; 6,7 (n}y^{= 11).}

Решение.

1. 
   Данные тестирования заносим в рабочую таблицу и сделаем необходимые расчеты.
   

xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2	yi	(yi — ȳ)	(yi — ȳ)2
6,4	0	0	6,1	0,1	0,01
6,6	0,2	0,04	5,8	-0,2	0,04
6,2	-0,2	0,04	5,9	-0,1	0,01
6,1	-0,3	0,09	6,0	0	0
6,5	0,1	0,01	5,9	-0,1	0,01
6,3	-0,1	0,01	5,7	-0,3	0,09
6,0	-0,4	0,16	5,9	-0,1	0,01
6,2	-0,2	0,04	6,0	0	0
6,4	0	0	6,1	0,1	0,01
6,5	0,1	0,01	5,9	-0,1	0,01
6,3	-0,1	0,01	6,7	0,7	0,49
7,4	1,0	1,00
5,9	-0,5	0,25
6,8	0,4	0,16
x̄ = 6,4		∑(xi — x̄)2= 1,82	ȳ = 6,0		∑(yi — ȳ)2 = 0,68

2. 
   На основании расчета средних величин выборок выдвигаем рабочую гипотезу.
   

Рабочая гипотеза: т.к. x̄ = 6,4 с  ȳ = 6,0 с, то предположим, что результаты в беге на 30 м в группе Y выше, чем в группе X, и выборки взяты из разных гене- ральных совокупностей.

3. 
   Подтвердим выдвинутое предположение расчетом F-критерия Фишера по формуле (2.2.7), рассчитав величины дисперсий выборок хи у:
   

₂ ^∑(x_i — x̄)²

1,82


₂ ^∑(y_i — ȳ)²


0,68

σ_x =

n_x — 1 ⁼

₁₃ ≈ 0,14; σ_y =

n_y —1 ⁼

₁₀ ≈ 0,07.

х ₌

σ
Тогда, т.к. σ² > σ², то <sup>Fф =

2</sup> 0,14

= 2,00.

σ
x y 2

у

0,07

4. 
   Рассчитаем число степеней свободы для выборок хи укак
   

^k1^{= n}x^{– 1 = 14 – 1 = 13 и k}2^{= n}y^{– 1 = 11 – 1 = 10.}

5. 
   ^{Сравним расчетное значение F-критерия (F}ф ^{= 2,0) с табличным значением для k}1 ^{= 13 и k}2 ^{= 10 при}  ^{= 5% (прилож. 2) и сделаем вывод.}
   

^{Вывод: т.к. F}ф ^{= 2  F}st ^{= 2,89 для k}1 ^{= 13 и k}2 ^{= 10 при  = 5%, то различия} результатов в беге на 30 м в исследуемых группах недостоверны, а, следовательно, выборки взяты из одной генеральной совокупности.

Пример 2.2.8. Проведено измерение показателей ЖЕЛ у двух групп школьни- ков 13-14 лет. Определить с помощью метода Фишера, являются ли полученные показатели выборками из одной генеральной совокупно, если данные таковы:

^хi<sup>, мл 2200; 2700; 2700; 2700; 2400; 2600; 2700; 2300; 2400; 2500; 3000; 2200;

2300; 2500; 2600; 2400; 2300; 2700 (n</sup>х<sup>= 18).

у</sup>i<sup>, мл 3400; 2400; 2700; 2500; 2600; 2900; 2800; 3200; 2300; 3300; 3300; 2900;

3400; 2100; 2100; 2500; 3200 (n</sup>у^{= 17);}

Решение.

1. 
   Данные тестирования заносим в рабочую таблицу и сделаем необходимые расчеты.
   

xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2	yi	(yi — ȳ)	(yi — ȳ)2
2200	-300	90000	3400	600	360000
2700	200	40000	2400	-400	160000
2700	200	40000	2700	-100	10000
2700	200	40000	2500	-300	90000
2400	-100	10000	2600	-200	40000
2600	100	10000	2900	100	10000
2700	200	40000	2800	0	0
2300	-200	40000	3200	400	160000
2400	-100	10000	2300	-500	250000
2500	0	0	3300	500	250000
3000	500	250000	3300	500	250000
2200	-300	90000	2900	100	10000
2300	-200	40000	3400	600	360000
2500	0	0	2100	-700	490000
2600	100	10000	2100	-700	490000
2400	-100	10000	2500	-300	90000
2300	-200	40000	3200	400	160000
2700	200	40000
x̄ = 2500		∑(xi — x̄)2= = 800000	ȳ = 2800		∑(yi — ȳ)2 = = 3180000

2. 
   На основании расчета средних величин выборок выдвинем рабочую гипотезу.
   

Рабочая гипотеза: т.к. x̄ = 2500 мл  ȳ = 2800 мл, то предположим, что пока- затели ЖЕЛ в группе Yвыше, чем группе X,и выборки взяты из разных генераль- ных совокупностей.

3. 
   Подтвердим выдвинутое предположение расчетом F-критерия Фишера по формуле (2.2.7), рассчитав величины дисперсий выборок хи у:
   

₂ ^∑(x_i — x̄)²

x


800000


₂ ^∑(y_i — ȳ)²

y


3180000

σ_x =

n — 1 ⁼

₁₇ ≈ 47058,8; σ_y =

n — 1 ⁼

₁₆ = 198750.

^{Тогда, т.к. σ2 > σ2, то} F

2


^σ 198750
= ^y = ≈ 4,22.

x

σ
^{y x} ф

² 47058,8

4. 
   Рассчитаем число степеней свободы для выборок хи укак
   

^k1^{= n}у^{– 1 = 18 – 1 = 17 и k}2^{= n}х^{– 1 = 17 – 1 = 16.}

5. 
   ^{Сравним расчетное значение F-критерия (F}ф^{= 4,22) с табличным значением для k}1 ^{= 17 и k}2 ^{= 16 при}  ^{= 1% (прилож. 2) и сделаем вывод.}
   

^{Вывод: т.к. F}ф ^{= 4,22  F}st ^{= 3,34 для k}1 ^{= 17 и k}2 ^{= 16 при  = 1%, то различия} в показателях ЖЕЛ у двух групп исследуемых достоверны с уверенностью  = 99%, а, следовательно, выборки взяты из разных генеральных совокупностей.

Непараметрическиекритерии.

Применение параметрических критериев было связано с целым рядом до- пущений. Например, сравнивая выборочные средние значения с помощью t-критерия, принимались следующие предположения: обе выборки являются случайными, т.е. каждая из них получена в результате измерений; обе вы- борки получены из генеральных совокупностей, имеющих нормальное рас- пределение; дисперсии генеральных совокупностей равны между собой.

На практике эти предположения строго никогда не выполняются, по- этому применение параметрических критериев всегда связано с опасно- стью ошибочных выводов, возникающих из-за нарушения принятых до- пущений. В последнее время в математической статистике по этой при- чине интенсивно разрабатываются непараметрические методы, которые строятся так, чтобы их применение зависело от возможно меньшего числа допущений.

Отметим в связи с этим еще одно важное обстоятельство. Параметри- ческие критерии значимости применимы только для сравнения выбороч- ных данных, представляющих собой результаты измерений, выраженных в единицах метрических шкал (метры, килограммы, секунды и т.д.). Но в спортивных исследованиях часто приходится иметь дело с данными, вы- раженными в шкалах наименований или порядка, например произвольная нумерация игроков футбольной команды, места, занятые спортсменами на соревнованиях и т.д. Такие данные нельзя сравнивать с помощью па- раметрических критериев, а непараметрические критерии могут быть успешно применены и к данным этого типа.

Если рассматривать только те случаи, когда выборки можно считать полученными из нормально распределенных совокупностей, непарамет- рические критерии всегда проигрывают соответствующим параметриче- ским критериям, оптимальным в этих случаях, потому что применение непараметрических критериев обычно связано с потерей части информа- ции об измеренных значениях признаков. Поэтому вводится показатель эффективностикритерия(Е). Он представляет собой отношение объема выборки параметрического критерия к объему выборки непараметриче- ского критерия при одинаковой мощности критериев в условиях нормаль- ного распределения генеральной совокупности. Этим показателем и при- нято оценивать эффективность непараметрических критериев.

Важную группу непараметрических критериев составляют ранговыекритерии. Они хорошо разработаны, и эффективность их оказывается очень высокой (для большинства из них при больших объемах выборки эффективность близка к единице). В то же время они просты в пользова- нии и не требуют сложных математических вычислений.

Рассмотрим некоторые из ранговых критериев.

РанговыйТ-критерийУайта.

Одним из критериев, применяемых для установления достоверностиразличий,присравнениидвухнезависимыхраспределений,являетсянепа-раметрический критерий Т Уайта, который в равной мере применим квыборкамравновеликогоинеодинакового объема.

Сущность методики, лежащей в основе применения этого критерия, следующая. Все члены сравниваемых выборок располагаются в возраста- ющем порядке в один ранжированный ряд. Затем каждой варианте при- сваивается порядковый номер или ранг, причем одинаковым по величине членам ряда присваивается один и тот же средний ранг. Общая сумма ран- гов должна быть при этом равна

T = ^n⋅(n+1), (2.2.8)

2

где n=n₁+n₂– общее число наблюдений.

Если сравниваемые выборки не отличаются друг от друга, то суммы их рангов должны быть равны между собой. В противном случае такого равен- ства не будет. И чем значительнее расхождение между выборками, тем больше разница между суммами их рангов. А так как эта разница может быть случайной, то ее следует оценить с помощью Т-критерия Уайта, кри- тические значения которого (Т_st) даются в таблицах для 5% и 1% уровней значимости с учетом объемов n₁и n₂сравниваемых выборок (прилож. 3).

Для оценки Т-критерия всегда берется меньшая из двух сумма рангов, которая сравнивается с табличным (стандартным) значением этого крите- рия для n₁ и n₂, т. е. объемов сравниваемых совокупностей и принятого порога доверительной вероятности. Если Т_ф<Т_st, это указывает на досто- верность наблюдаемой разности и нулевая гипотеза о принадлежности выборок к одной генеральной совокупности несостоятельна и должна быть отвергнута. Если же Т_ф Т_st, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя; разница между сравниваемыми выборками признается статистически не- достоверной.