Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 12 из 37

Пример 2.1.6. Найдем стандартную ошибку среднего арифметического ре- зультатов в беге на 30 м из примера 2.1.4.

Решение.

1. 
   Рассчитанные в примере 2.1.4 значения выборочных характеристик:
   

^{x̄ = 5,7c и σ =} √^{0,149 ≈ 0,39c.}

2. 
   Объем выборки n= 50, отсюда стандартная ошибка среднего арифметиче- ского равна:
   

m = ± ^0,39 ≈ ±0,06^(c).

√50

Вывод:стандартное отклонение выборочного среднего от среднего генераль- ной совокупности (его стандартная ошибка) составляет 0,06 с.

Коэффициентвариации.

Изложенные выше характеристики совокупности (среднее арифмети- ческое и стандартное отклонение) имеют один недостаток: они дают по- казатель варьирования (изменчивости) признака в именованных величи- нах, а не в относительных. Поэтому сопоставление (или сравнение) раз- ноименных признаков по этим параметрам невозможно. Пусть, например, результаты в беге на 30 м, показанные группой школьников 11 лет, имеют стандартное отклонение 0,38 с (данные примера 2.1.4), а исследование ро- ста тех же учащихся показывает, что его стандартное отклонение состав- ляет 5,3 см (при среднем росте 147 см). Какой из признаков варьирует сильнее? Очевидно, что только на основании стандартных отклонений на этот вопрос ответить нельзя. Требуется сопоставить стандартные откло- нения со средними арифметическими этих признаков. Поэтому вводится относительный показатель

V = ^σ, (2.1.20)

x̄

называемый коэффициентомвариацииили коэффициентомизменчиво-сти(V) признака.

Обычно он выражается в относительных величинах, а именно в про- центах:

V = ^σ ⋅ 100%. (2.1.21)

x̄

Коэффициент вариации является относительной мерой рассеяния при- знака.

Для рассматриваемых выше примеров:

V = ^0,39 ⋅ 100% ≈ 6,8%; _V


= ^5,3 ⋅ 100% ≈ 3,6%.

¹ 5,7

² 147

Как видим, результаты в беге на основании полученных выборочных данных варьируют сильнее, чем рост учащихся.

Коэффициент вариации используется и как показатель однородности выборочных наблюдений. В спортивной практике вариативность резуль- татов измерений в зависимости от величины коэффициента вариации счи- тают небольшой, если они находятся в пределах от 0 до 10%, средней – от 11 до 20% и большой при V> 20%.

Коэффициент вариации можно использовать как относительную меру рассеяния только в тех случаях, когда значения признака измерены в шкале с абсолютным нулем. На практике коэффициент вариации приме- няется в основном для сравнения выборок из однотипных генеральных совокупностей.

Кроме того, необходимо еще отметить, что в практике спортивных ис- следований при образовании вариационных рядов часто возникают затруд- нения, связанные с тем, что один или несколько показателей резко отлича- ются от остальных. В этом случае возникает естественный вопрос: чем вы- звано такое различие? Означает ли это, что исследователь ошибся и провел неверные измерения или такое отличие указывает на какую-то скрытую за- кономерность исследуемых объектов. Понятно, что в первом случае от та- ких измерений следует избавляться и дальнейший расчет проводить без них, во втором случае к ним следует отнестись с полным вниманием.

Для определения этого существует такое приближенное правило:

1. 
   следует вычислить среднее арифметическое (x̄) и среднее квадрати- ческое отклонение (  ) выборки без варианты, которая резко отличается от остальных;
   
2. 
   вычислить величину (x̄ ± 3σ);
   
3. 
   если сомнительная варианта выходит за пределы (x̄ ± 3σ), её сле- дует исключить из дальнейших расчетов. В противном случае этот пока- затель не случаен и подлежит дальнейшим исследованиям.
   

Таким образом, для определения пригодности резко отличающихся параметров выборки можно пользоваться формулой:

(x̄ — 3σ) ≤ A ≤ (x̄ + 3σ), (2.1.22)

где А– величина сомнительного показателя;

x, – среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение,

вычисленные без учета сомнительного показателя.

Иногда в формуле (2.1.22) вместо 3 употребляют R_z, где R есть так называемый размах вариации, равный R=х_max–х_min, т. е. разности макси- мального и минимального значения вариант, а z– величина, зависящая от объема совокупности nи определяемая по таблице 2.1.4.

Таблица 2.1.4

5	6	7	8-9	10-11	12-15	16-22	23-25	26-23	64-150
1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8

Таким образом, сомнительная варианта остается в ряду, если её значе- ние не выходит за пределы:

(x̄ — R_z) ≤ A ≤ (x̄ + R_z). (2.1.23)

Пример_2.1.7.'>Пример 2.1.7. При проведении измерений показателей пульса покоя в группе ^{яхтсменов, состоящей из 20 спортсменов, получили величины (х}i^{) от 69 до 91} уд/мин. При этом два показателя имели значения, равные 86 и 91 уд/мин. Осталь- ные – 69-80. Следует ли результаты измерений, равные 86 и 91 уд/мин, исключить из дальнейших расчетов?

Решение.

Расчет среднего арифметического и стандартного отклонения производим для сгруппированных показателей, используя данные таблицы 2.1.5. При этом сомни- тельные варианты 86 и 91 уд/мин исключаем:

Таблица 2.1.5

xi, c	ni	ni ⋅ xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2	(xi — x̄)2 ⋅ ni
69 70 73 75 80 86 91	1 5 3 4 5 1 1	69 350 219 300 400 – –	-5 -4 -1 1 4	25 16 1 1 16	25 80 3 4 80
	n = 20	 = 2038			 = 192

^{x̄ = 1338 =≈ 74,3 = 74(уд/мин);} σ² = ¹⁹² ≈ 10,67(уд/мин)²;



¹⁸ 18

σ = ±√10,67 ≈ ±3,27 ≈ ±3,3^{(уд/мин);} 3σ = 9,9 ≈ 10<sup>(уд/мин).

Отсюда</sup> х̄ ± 3σ = 74 ± 10^{(уд/мин).}

Таким образом, сомнительные варианты 86 и 91 уд/мин не должны выходить за пределы от 74 уд/мин – 10 уд/мин = 64 уд/мин до 74 уд/мин + +10 уд/мин = 84 уд/мин. Варианты 86 уд/мин и 91 уд/мин, как показывает расчет, представляют собой значения, выше допустимого.

Проверим этот же расчет по формуле (2.1.23). Здесь Rесть величина размах ряда с показателями от 69 до 80 уд/мин и R= 80 уд/мин – 69 уд/мин = =11 уд/мин. Нахо- дим из таблицы 2.4 для n = 18 z = 1,1. Тогда значения сомнительных показателей ^{не должны выходить за пределы} x̄ ± R_z = 74 ± ± 11 ⋅ 1,1 = 74 ± 12,1^{(уд/мин).}

Следовательно, варианты 86 и 91 уд/мин не должны выходить за пределы от 61,9 до 86,1 уд/мин. Поэтому показатель 86 уд/мин из расчетов исключить нельзя, в то время как варианту со значение 91 уд/мин следует исключить, так как она больше верхнего предела 86,1 уд/мин.

Как видно из примера, более точный расчёт получается по формуле

(2.1.23).

Таким образом, при помощи расчетов числовых характеристик вы- борки можно решать множество задач в области физической культуры и спорта, производя анализ какого-либо процесса или явления. При этом наиболее распространенными из них будут задачи, носящие анализирую- щий, разделяющий, нормативный и сравнительный характер. Уместно также заметить, что какими бы ни были числовые значения показателей, принцип и схема их обработки одинаковы.

Пример 2.1.8. У 18 исследуемых проведено измерение показателей пульса по- сле выполнения стандартной пробы Руфье. Определить однородность и симмет- ричность распределения полученных данных с помощью расчета основных стати- стических характеристик, если данные выборки таковы: ^xi^,уд/мин168;162;114;126;120;120;174;132;108;114;174;180;108;162;126;114;102;174.

Решение.

1. 
   Заносим данные тестирования в рабочую таблицу.
   

xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2
168	30	900
162	24	576
114	-24	576
126	-12	144
120	-18	324
120	-18	324
174	36	1296
132	-6	36
108	-30	900
114	-24	576
174	36	1296
180	42	1764
108	-30	900

Окончаниетаблицы

xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2
162	24	576
126	-12	144
114	-24	576
102	-36	1296
174	36	1296
x= 138 уд/мин	∑(xi — x̄) =-6 уд/мин	∑(xi — x̄)2 = 13500

2. 
   Рассчитываем величину среднего арифметического по формуле (2.1.1):
   

x̄ = ^∑xi = ²⁴⁷⁸ = 138,33 ≈ 138 ^{(уд/мин).}

n 18

3. 
   Рассчитываем в рабочей таблице величины отклонений вариант от среднего арифметического и их квадраты, а суммы этих отклонений.
   
4. 
   Рассчитываем величину стандартного отклонения по формуле (2.1.17):
   

^{σ = ±√∑(xi–x̄)}2 ^{= ±√13500 =±} √^{813,18 ≈ 28,5 (уд/мин).}

n–1 17

5. 
   Рассчитываем величину стандартной ошибки среднего по формуле (2.1.18):
   

m = ± ^σ

√^n–1

= ± ^28,5 ≈ ±6,91 ≈ ±6,9 (уд/мин).

√¹⁷

6. 
   Ранжируем данные выборки в порядке возрастания и определяем ранг ме- дианы и ее величину по формуле (2.1.3):
   

^xi^{,уд/мин 102;108;108;114;114;114;120;120;126;126;132;162;162;168;}

174;174;174;180.

(ранги) 1 2,5 2,5 5 5 5 7,5 7,5 9,5 9,5 11 12,5 12,5 14, 16, 16, 16, 18

R_Me = ⁿ⁺¹ = ¹⁸⁺¹ = 9,5^; Me = 126 ^уд/мин.

2 2

7. 
   

   № классов	Границы классов	Частота классов
   1	102 уд/минxi<115 уд/мин	6
   2	115уд/минxi<128 уд/мин	4
   3	128 уд/мин xi<141 уд/мин	1
   4	141 уд/мин xi<154 уд/мин	0
   5	154 уд/мин xi<167 уд/мин	2
   6	167 уд/мин xi180 уд/мин	5

   
   
   
   Рассчитываем величину моды, предварительно определив интервалы клас- сов и частоту накопления величин в них, используя формулу (2.1.5):
   

R= 180 – 102 = 78 уд/мин

^{lg18 = 1,25527} <sup>1,26

N= 1+3,32</sup>^1,26 ^5,18  ⁶

k=i= 13 уд/мин

Mo = 102 + 13 ⋅ ( ^{6 — 0}
M = х +i ⋅ (^p1–p2) ;


0 n
2p₁–p₂–p₃

3


(уд/мин).

) = 102 + 13 ⋅

12 — 0 — 4 4

≈ 102 + 9,75 ≈ 111,75 ≈ 112

8. 
   Рассчитать величину коэффициента вариации по формуле (2.1.21):
   

V = ^σ ⋅ 100%; V = ^{28,5уд/мин} ⋅ 100% ≈ 20,65%.

x 138 уд/мин

Вывод: 1) расчет значений x̄ =138 уд/мин, Ме =126 уд/мин, Мо =112 уд/мин свидетельствует о том, что данные выборки имеют асимметричное или случайное распределение, т.к. x̄  Ме  Мо;

2) по показателю пульса нагрузки группа неоднородна, т. к. наблюда- ется большая вариабельность признака при V = 20,65%  20%.

Пример 2.1.9. Получены результаты прыжков в длину с места у группы из 11 исследуемых. Определить однородность и симметричность распределения с по- мощью расчета основных статистических характеристик, если данные выборки таковы:

^xi^{, см 205; 214; 210; 215; 235; 190; 218; 200; 225; 214; 225.}

Решение.

1. 
   Занести данные тестирования в рабочую таблицу.
   

xi	(xi — x̄)	(xi — x̄)2
205	205 – 214 = -9	81
214	214 – 214 = 0	0
210	210 – 214 = -4	16
215	215 – 214 = 1	1
235	235 – 214 = 21	441
190	190 – 214 = -24	576
218	218 – 214 = 4	16
200	200 – 214 = -14	196
225	225 – 214 = 11	121
214	214 – 214 = 0	0
225	225 – 214 = 11	11
x= 214 см	∑(xi — x̄) = -3 см	∑(xi — x̄)2 = 1459

2. 
   Рассчитать величину среднего арифметического по формуле (2.1.1):
   

x̄ = ^∑xi; x̄ = ^2351см ≈ 213,7^см ≈ 214 см.

n 11

3. 
   Рассчитать в рабочей таблице величины отклонений вариант от среднего арифметического и их квадраты, а суммы этих отклонений.
   
4. 
   Рассчитать величину стандартного отклонения по формуле (2.1.17):
   

_{σ = ±√∑(x –x̄)}2 для n 30;

n–1




σ = ±^√1459 ≈ ±√145,9 ≈ 12,08 ≈ ±12,1^(см).

10

5. 
   Рассчитать величину стандартной ошибки среднего по формуле (2.1.18):
   

m = ± ^σ

√^n–1

для n 30; m = ± ^12,1см ≈ ±3,8^см.



√¹⁰

6. 
   Проранжировать данные выборки в порядке неубывания и определить ранг медианы и ее величину по формуле (2.1.3):
   

^xi^{, см 190; 200; 205; 210; 214; 214; 215; 218; 225; 225; 235.}

(ранги) 1 2 3 4 5,5 5,5 7 8 9,5 9,5 11

R_Me = ⁿ⁺¹ = ¹¹⁺¹ = 6; Me = 214 см.

2 2

7. 
   

   № классов	Границы классов	Частота классов
   1	190 см  xi< 199 см	1
   2	199 см  xi< 208 см	2
   3	208 см  xi< 217 см	4
   4	217 см  xi< 226 см	3
   5	226 см  xi  235 см	1

   
   
   
   Рассчитать величину моды, предварительно определив интервалы классов и частоту накопления величин в них, используя формулу (2.1.5):
   

R= 235 – 190 = 45 см

N = 5

k =i = 9 см

M = х + i ⋅ ( ^{p1 — p2} );

^{0 n} 2p₁ — p₂ — p₃

Mo = 208 + 9 ⋅ ( ^4—2 ) = 208 + 9 ⋅ ²


= 214 см

8—2 —3 3

8. 
   Рассчитать величину коэффициента вариации по формуле:
   

^{V = σ ⋅ 100%}; V = ^12,1 ⋅ 100% ≈ 5,65%.

^x 214

Вывод: 1) расчет значений х = Ме = Мо = 214 см свидетельствует о том, что данные выборки имеют симметричное распределение, близкое к графику закона нормального распределения;

2) по результатам прыжка в длину с места исследуемая группа одно- родна, т.к. V = 8,51%.