Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 11 из 37

Пример 2.1.3. Рассмотрим вначале пример вычисления характеристик рассе- яния по несгруппированным первичным данным. Необходимо определить дис- персию и стандартное отклонение результатов измерения пульса покоя для кон- трольной группы студентов.

Решение.

1. 
   Промежуточные расчеты приведены в таблице 2.1.2.
   

Таблица 2.1.2

Расчет дисперсии результатов измерения пульса покоя

1	2	3		1	2	3
№ п/п	хi, уд/мин	x2 i		№ п/п	хi, уд/мин	x2 i
1	68	4624		7	83	6889
2	72	5184		8	85	7225
3	72	5184		9	71	5041
4	73	5329		10	82	6724
5	75	5625		11	75	5625
6	74	5476		12	70	4900
				Сумма	900	67826

2. 
   По формуле (2.12) получаем:
   

Расчет дисперсии результатов в беге на 30 м
Таблица 2.1.3

xi, c	ni	ni xi	n x2 i i
5,0	7	35,0	175,0
5,2	4	20,8	108,16
5,4	5	27,0	145,8
5,6	9	50,4	282,24
5,8	6	34,8	201,84
6,0	15	90,0	540,0
6,2	4	24,8	153,76
Сумма		282,8	1606,8

₂ 1 900² 326 ₂

σ = _{12 — 1} ⋅ [67826 — ₁₂ ] = ₁₁ ≈ 29,64(уд/мин) .

3. 
   Стандартное отклонение составит:
   

σ = ±√29,6 ≈ ±5,4^{(уд/мин)}.

Вывод:для показателей пульса величина дисперсии ( ²)составляет 29,64 (уд/мин)², а стандартного отклонения () – 5,4 уд/мин.

Пример 2.1.4. В качестве примера расчета для сгруппированных данных найдем дисперсию и стандартное отклонение результатов в беге на 30 м по данным.

Решение.

1. 
   Взвешенная сумма квадратов срединных значений интервалов группировки на основании расчетов в таблице 2.1.3 составит:
   

7
_ n x²  1606,8.

i i

i1

7

2. 
   Взвешенная сумма срединных значений _{ ni xi 282,8.}
   

i1

3. 
   По формуле (2.1.14) находим
   

₂ 1 282, 8² 7,2832 ₂

σ = _{50 — 1} ⋅ [1606,8 — ₅₀ ] = ₄₉ ≈ 0,149(c ).

^{Отсюда стандартное отклонение σ =} √^{0,149 ≈ 0,39(c).}

Вывод:для результатов в беге на 30 м  ²=0,149 с², а  =0,39 с.
Стандартная ошибка среднего арифметического или ошибка репре-зентативности.

Характеристики генеральной совокупности – средняя величина ()

дисперсия ( ²) и среднее квадратическое отклонение () – представляют собой величины постоянные (параметры). По отношению к ним соответ- ствующие выборочные характеристики (среднее выборки, выборочная дисперсия и стандартное отклонение), которые служат оценками гене- ральных параметров, являются величинами случайными: они могут сов- падать и не совпадать с величиной генеральных параметров.

Возможные отклонения выборочных показателей от их параметровв генеральной совокупности, которая обычно представляет собой сово- купность неограниченно большого объема, называются ошибками репре-зентативности.

Размеры выборочных ошибок или ошибок репрезентативности зави- сят, главным образом, от объема выборки и от размаха варьирования при- знака; на них также сказываются способы отбора вариант из генеральной совокупности.

Если взять очень много независимых выборок объема nиз одной и той же генеральной совокупности и определить для каждой из них среднее арифметическое, то оказывается, что полученные средние арифметиче- ^{ские варьируют вокруг своего среднего значения (равного ) в} √^{n раз} меньше, чем отдельные варианты выборки.

Поэтому вкачествеоценкистандартногоотклонениявыборочногосред-него от среднего генеральной совокупности используется величина, называ- емая стандартной ошибкой среднего арифметического или ошибкой репре-зентативности(m),которая вычисляется по следующим формулам:

m = ± ^σ

_{m = ±} √_σ^n–1


, при n 30; (2.1.18)

_√n, при n> 30. (2.1.19)

Величина mпоказывает, какая ошибка в среднем допускается, если ис- пользовать вместо генерального среднего  его выборочную оценку x̄.

Поэтому вычисленное среднее арифметическое часто указывают в виде x̄ ± m_x̄, чтобы оценить точность оценки x.

Из формулы (2.1.17) видно, как зависит стандартная ошибка mот объ- ема выборки n: с увеличением объема выборки n стандартная ошибка m уменьшается пропорционально корню квадратному из n.

Свойства стандартной ошибки среднего арифметического следующие:

1. 
   Стандартная ошибка выражается в тех же единицах измерения, что и сопровождаемые ею показатели.
   
2. 
   При вычислении стандартное отклонение определяют с точностью на один десятичный знак больше, чем точность, которую применяют для вычисления средней арифметической для того же ряда.
   
3. 
   Если каждую варианту совокупности увеличить на одну и ту же вели- чину, то, как и дисперсия, стандартное отклонение от этого не изменяется.
   
4. 
   При умножении каждой варианты на одно и тоже число Кстандарт- ное отклонение увеличится в К раз. При делении каждой варианты на одно и то же число оно уменьшится в Краз.
   
5. 
   При увеличении объема выборки стандартная ошибка уменьшается. Это свойство ошибки репрезентативности обусловлено действием стати- стического законабольшихчисел.
   

Пример 2.1.5. Найдем стандартную ошибку среднего арифметического пока- зателей пульса покоя 12 исследуемых из примера 2.1.3.

Решение.

1. 
   Расчет выборочного среднего произведем по формуле (2.1.1):
   

n

1 900

x̄ = ⋅Σ x = = 75^{(уд/мин).}

n ⁱ 12

i=1

2. 
   Величина стандартного отклонения составляет:
   

σ = ±√29,6 ≈ ±5,4^{(уд/мин)}.

3. 
   Объем выборки n= 12, отсюда стандартная ошибка среднего арифметиче- ского равна:
   

_{m = ±} 5,4

√^12—1
≈ ±1,6^{(уд/мин).}

Вывод:стандартное отклонение выборочного среднего от среднего генераль- ной совокупности (его стандартная ошибка) составляет 1,6 уд/мин.