Основы линейной алгебры. Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений
 Скачать 494 Kb.
|
|
A, у которой число столбцов m больше, чем число строк n. Если матрицу A можно разделить вертикальной чертой на две матрицы: стоящую слева треугольную матрицу размера m и стоящую справа прямоугольную матрицу, то матрицу A назовем трапециевидной или трапецеидальной. Очевидно, что матрица (6) — трапециевидная матрица. Если при применении эквивалентных преобразований к системе уравнений хотя бы одно уравнение приводится к виду 0x1 + 0x2 + 0xn = bj (bj 0), то система несовместна или противоречива, так как ни один набор чисел x1, x2, , xn не удовлетворяет этому уравнению. Если при преобразовании расширенной матрицы системы матрица коэффициентов приводится к трапецеидальному виду и при этом система не получается противоречивой, то система совместна и является неопределенной, то есть имеет бесконечно много решений. В последней системе можно получить все решения, придавая конкретные числовые значения параметрам r и s. Те переменные, коэффициенты при которых стоят на главной диагонали трапецеидальной матрицы (это значит, что эти коэффициенты отличны от нуля), называются базисными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x1, x2, x3. Остальные неизвестные называются свободными. В рассмотренном выше примере это неизвестные x4, и x5. Свободным неизвестным можно придавать любые значения или выражать их через параметры, как это сделано в последнем примере. Базисные неизвестные единственным образом выражаются через свободные неизвестные. Если свободным неизвестным приданы конкретные числовые значения и через них выражены базисные неизвестные, то полученное решение называется частным решением. Если свободные неизвестные выражены через параметры, то получается решение, которое называется общим решением. Все бесконечное множество решений системы можно получить, придавая свободным неизвестным любые числовые значения и находя соответствующие значения базисных неизвестных. Если всем свободным неизвестным приданы нулевые значения, то полученное решение называется базисным. Одну и ту же систему иногда можно привести к разным наборам базисных неизвестных. Так, например, можно поменять местами 3-й и 4-й столбцы в матрице (6). Тогда базисными будут неизвестные x1, x2, x4, а свободными – x3 и x5. Рекомендуем читателю самостоятельно привести последнюю систему к такому виду, чтобы свободными неизвестными были x1 и x2, а базисными – x3, x4, x5. Если получены два различных набора базисных неизвестных при различных способах нахождения решения одной и той же системы, то эти наборы обязательно содержат одно и то же число неизвестных, называемое рангом системы. Рассмотрим еще одну систему, имеющую бесконечно много решений:  .Проведем преобразование расширенной матрицы системы по методу Гаусса:  .Как видно, мы не получили трапецеидальной матрицы, однако последнюю матрицу можно преобразовать, поменяв местами третий и четвертый столбцы: |